FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES
EMPLOI DES SIGNES ET DES LETTRES COMME MOYEN d'aBRÉVUTION et DE GÉNÉRALISATION.
Signes algébriques.
1. Pour abréger l'écriture et faciliter le raisonnement, on est convenu de représenter les quantités par des lettres. On a coutume d'affecter les premières lettres de l'alphabet a, 69 c,... aux quantités connues, les dernières x, y, z,... aux quantités inconnues.
On a imaginé aussi des signes pour indiquer les diverses opérations de l'arithmétique.
Le signe + , que l'on prononce jpltw, indique l'addition. Ainsi, 5 plus 3 s'écrit
Le signe — , que l'on prononce moins ^ indique la soustraction. Ainsi, 5 moins 3 s'écrit
Le signe k * <iue l'on pronoïK^e tmUipiié par^ indique la multipUaatiOit Mn&ii 5 multiplié paf i 6'éQrit
Pour abréger encore davantage, lorsque les quantités sont représentées par des lettres, on indiqué leui- produit en mettant simplement ces lettres les unes à la suite des autres, et sous-entendant le signe x. Ainsi, le produit axbxc s'écrit plUâ almpleMeUt
ahc.
Le produit 4 X<a X 6 X c s'écrira
On indique la (îivision par une barre horizontale au-dessus de laquelle on écrit le dividende, au-dessous le diviseur. Ainsi, 5 divisé par 3 s'écrit
C'est le signe de la fraction en arithmétique.
On indique la pmsaanca d'un nombre, ou le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre, par des petits chiffres placés en haut et ^ droite et marquant le nombre des fac^ teurs ou le degré de la puissance. Ainsi, la troisième puissance de la quantité a s'écrit
Le nombre 3 se nomme exposahi*
Oti indique la radné par le signe vT^, àu-dèssôtis dtiquel on écrit le nombre dont on extrait là raciûe. AiUâi, là racine quatrième de la quantité d s'écrit
Vindice du radical, qui est ici 4» se met dans Pouverture. Cependant, quand il s'agit de racines carrées, on se dis-
iStHÔDtJCTlON. S
fmse de mettre f indice s. Alïiâi k racine carrée de a s^ô«tAl simpleiMût
On se sert du signe = , <jue Ton prononce ègaïe^ pour
exprimer !* égalité de deux quantités. Ainsi, 5 plus 5 égale 8
s'écrit
Le signe > veut dire p{ti# gmnd fn^i le signe < flUs petit que. Ainsi 5 plus grud que 3 e'écril
Au coÈtraire 3 plus petit (Juè 5 n'écrit
On remaniuera que ces Agnes d'illégalité mit Ift fahne d'un angle, et que la quantité la plus grande est toujours placée dû ôôté dé l*ôûvèrtùrè de Tangle.
Quelques exemples feront bien comprendre l'utilité de ces différents signes et le bût de l'algèbre.
Emploi du signes comme moyen d*abrMaiim.
S. PîiGfitÊSïÊ î. Partager 5o francs ènite trois personnes, de manière que la première ait 6 francs de plus que la seconde^ la seconde 4 francs de plus que la troisième.
Voici comment Dn peut résoudre cette question avec les seules ressources de Tarithmétique.
n est clair que si l'on Connaissait l'une des parts, on obtiendrait ensuite facilement les deux autres. Cherchons, par exemple, la troisième part : la seconde part surpasse la troisième de 4 francs ; la première, surpassant la seconde de 6 francs, «urpaisé là troisièitie de 4 pltis 6, e'est-à-dire de 1 o francs. La somme des trois parts se compose donc de trois fois la troisième part, plus 4» plns lo, c'est-à-dire
à INTRODUCTION.
plus i4« Mais cette somme est égale au nombre à partage* 5o. Si de 5o nous ôtons 149 le reste 36 sera égal à trois fois la troisième part ; si nous divisons 36 par 3, nous aurons la troisième part 12.
Ainsi la troisième part est 12. La seconde, qui. la surpasse de 4 francs, est 16. La première, qui surpasse la seconde de 6 francs, est 22.
3. Reprenons la même question en écrivant .les raisonnements au moyen des signes de Talgèbre.
Nommons la troisième part x,
la seconde, qui la surpasse de 4) sera. . . a; + 4^
le première, qui surpasse la seconde de 6,
sera a? + 4 + 6-
La somme des trois parts est 3a; 4- i4*
Mais cette somme doit être égale au nombre à partager 5o, ce qui s'écrit
On nomme équcUion une égalité dans laquelle entre au moins une lettre représentant une quantité inconnue. Les raisonnements qui précèdent nous ont conduit à F équation
Il s'agit maintenant de résoudre cette équation, c'est-à-dire de trouver la valeur inconnue de x.
Si, de ces deux quantités égales, nous retranchons la même quantité 14» il restera évidemment deux quantités égales,
Enfin, si nous divisons par 3^ nous aurons
La question est résolue, puisqu'il suffit de connaître la troisième part pour avoir les deux autres.
4. Problème IL Partager 167 francs- mtre quatre personnes, de manière que la première ait 2 frana de plus que . la seconde, la seconde 7 francs de plus que la troisième^ et la
troisième 5 francs déplus que la quatrième*
Nommons la quatrième part a; ,
la troisième sera ^+5,
la deuxième ^ + ^ + 7)
la première a?-f-5 + 7 + 2.
La somme des quatre parts itt 4x -|- ^i ; Q^ds cette
somme doit être égale au nombre à partager 167, ce qid
s'écrit
4aî4-3i = 167.
Pour résoudre cette équation, on opérera comme précédemment. Si l'on retranche 3i des deux côtés, on a
Si l'on cBvise ensuite par 4» on trouve
Ainsi, la quatrième part est 54 francs; la troisième 39 francs, la deuxième 46 francs, la première 4S francs. On vérifiera que la somme est bien 167.
5. Problème III. Partager 53 francs entre deux personnes, de manière que la première ait un tiers de plus que la seconde 9 plus encore l\ francs.
Nommons la seconde part. a?,
la première sera * ^ + ¥ +4«
Or la somme des deux parts doit être égale à 53; on a donc l'équation
iimiQDiKiTiQn»
Pvà»qw a + § font g» i« 4' I foot Ç, et l'éqiwtion a'é-
crifa plas simplement
Pour résoudre cette équation, nous retrancherons d'abord 4 de part et d'autre, ce qui donne
Sî nous multiplions wisolte par 5 ces deux quantités égales. Bans amxms
Enfin, si nous divisons par 7, nous trouvons
Quand on connaît la seconde part 2 1 francs, en y ajoutant son tiers 7 franes et eneorQ 4 francs, on ebttont la première part 3 2 francs. Et effectivement la somme des deux parts fait bien 53 francs.
ft. PMBitMfi IVt DiHx perionmè pôiêiêmii le m/tÊU ca- Ittfalt la prmiére plwœ le êim à $ pour 100, la êaetmde à 3 pour 100, Le r et?«Hu àê ta premiètô iurpa$$e de ^oo francs celui de la seconde. TroyLver ce capital
Rappelons d'abord ce principe établi en arîthijiétique : pour trouver l'intérêt d'un capital, on multiplie le taux dç l'intérêt par le capital et on divise p^r 100.
Si donc on désigne par x le capital cherché, le revenu de la première personne sera
celui de 1» secQpcte
Puisque le revenu de la première surpasse çejpi ^e U seconde (}6 490 francs, OQ ^ ré(][uat;ion
100 JOG
bopd -^ — de part et d'autre, ce qui donne 100 ^ 7 ^
00, en ^Rietaaiit la soustpaction,
Multiplions ensuite par 100, nous avons
ax = 40000.
Divisât enfin par 2 , ijous trouvons
hhm }ç C?|tifel ch?rçl)é est ?Qp^p fRiic9*
Vérification. Le ç^^pitai ^0QQ9 franc;?, pl^ç^ ^ 5 pç^^ ^qq^ produit |0Q9 frpflçç d§ revenu i pl^cé i 3 pour jQQ» il ne
produit quç 6qq Iraoçs, Ifi prçmier rçvçuu surpassa biçu k
seçoiid <i« 4î><> fr^flÇS.
7. On voit, p^ <^^ Ç?§înpteai §9ïabi#B î'^WplW i^es lettres et des signes aidç Tesprit et facilite le raisonnement. Ce qui précède nous fournit aussi Toccasion de faire quelques remarques utiles sur la résolution des équations.
8 INTBOOUGTJON.
Nous avons dit qu'on appelle iquatum en algèbre une égalité dans laquelle entre au moins une lettre représentant une inconnue. Les deux quantités égales entre elles sont les deux membres de l'équation. Les diverses parties, séparées les unes des autres par le signe + ou par le signe — , sont les termes de Téquation.
Il est aisé de voir que Ton peut faire passer un terme d'un membre dans l'autre; il suffit, pour cela, de l'écrire dans l'autre membre en changeant son signe. Soit, par exemple, l'équation
Si nous ajoutons 7 aux deux membrei», c'est-à-dire aux deux quantités égales, l'égalité subsiste évidemment et l'équation devient
dar= l3-f-a^ + 7• Le terme 7, qui avait le signe — dans le premier membre, f est passé avec le signe -f- dans le second membre. De
même, si nous retranchons 20? des deux membres, l'équation devient
dar — ax= i5-f-7.
Le terme 2X qui avait le signe -j- dans le second membre est passé avec le signe — dans le premier.
^ Ce principe de la transposition des termes est extrêmement utile ; il remplace les raisonnements et permet d'opérer en quelque sorte mécaniquement la résolution des équations. On fait passer les termes connus dans un membre, les termes inconnus dans l'autre; on réduit et on divise par le multiplicateur de l'inconnue.
Ainsi l'équation précédente est devenue
6a? — aar= i5-|-7.
En réduisant, on a
4ar = ao^
HITBODUGTIOlf. 9
et, en divisant par 4 »
ar = --- =5.
On peut vérifier que 5 est bien la valeur de l'inconnue; car en remplaçant x par 5 dans Téquation proposée, les deux membres deviennent tous deux égaux à 23.
