Considérons encore Téquation

8aî — 17=50; — a.

On fera d'abord passer le terme 1 7 dans le second membre en changeant son signe, ce qui donne

8a?=5a;-j- ^7 "~ ^* Hais le terme 5^, qui est en tête de second membre, n'a pas de £%ne ; on procédera comme s'il était affecté da signe + et on le fera passer dans le premier membre avec le signe — ; car, si des deux membres on retranche 5a?, on a

D'où l'on déduit

Quand l'équation contient des dénominateurs, on commence par les faire disparaître en multipliant tous les termes de l'équation par un nombre convenable. Si l'équation ne renferme qu'un seul dénominateur, on multipUe par ce dénominateur. C'est ce que nous avons fait dans les problèmes III et IV. S'il y a dans l'équation plusieurs dénominateurs différents, on multipUe par leur produit ou, plus simplement, par leur plus petit multiple.

9. Problème Y. Trouver un nombre dont le qv^rt augmenté de 7 égale les detix tiers diminués de 3.

En appelant x le nombre cherché, on écrira immédiatement l'équation

10 INT|lQPy«TI09l*

Pour chasser les deux dénominateurs 3 et 4^ WQW W^ tiplierons tous les termes par le produit 12' de ces deux dénominateurs, ce qui donne

Nous remarquons que pour multiplier les deux fractions

ce ^oc

7 et — par 1 2, il suffit de multiplier Jwre nijHiératewrs par

3 et 4» en ôtant les dàiieminateure.

d'où Ton déduit

lao « = — = 114.

VirifieaHon, — Le quart de 24, augmenté de 7, dwme i3 ; les deux tiers 16, diminués de 5, donnât aussi iS.

Mise des problçmûs m équations.

40, La résolutiou d'w problème çx>naprwd â^i^ parties 4î^iqcte? : Qp met d'al^ord le problème ee écju^tiQ^^, Q'ggv Mire qw l'oR établit pp^ ie3 équS'tioiia les reJ^tioQS gui e^ste^t entye les ({liaHtités eo^mies et les qi^Mités incçQquesi on féfiQut epsyite, les é(jpaiiion3, c'est-à-dire <jue rpn çberobe lea v^eurs des inQQnuues qui s^^isfont w^ épations. Nous avons indicpé les règles très-simples par lesquelles on résout les équations k mie inçomiue? La marche i

suivre pour mettre un problème en équations n'est pas susceptible d'être formulée d'une manière aussi nette et précise. Dans beaucoup de cas simples, il suffit, après avoir représenté Tes inconnues par des lettres, d'écrire textuellement l'énoncé du problème au moyen des signes de l'algèbre; c'est ce que nous avons fait notamment pour le problème V. Mais ordi-

nairement renoncé du problème ne se prête pas à cettç traduclion immédiate en laiigage algébrique ; dans ce cas, la mâiUmra règle à 6^^yrQ» c*est, après avoir bien examiné le» conditions de Ténoncé et représenté les inconaues par des lettres, de raisonner comme si ces lettres représentaient des quantités connues et d'écrire les opérations qu'il faudrait faire pour vérifier que ces yalw^ des i900^OTe^ satisfont \im 4 V^WOé i pu arriva m^ ^aqa gr^df) difficulté cinx ^qu«t4(H)s du proWème» C'est ainsi quQ nous avons procédé p(W 1^ problème ÏY ; nous avons représenté par m le capital inconnu çt, r^gpnn^nt comme si ce §*pital était connu,

nous avons écrit quç le revenu de la première personne surpasse de 4oo fi^ancs- cduî d^ la seconde. Les exemples suivants feront encore mieux con^prendre ce précepte.

11. Problème YI. Deux fontaines coulent dans un bassin ; la première^ etmlant êeule^ le remplit en 4 heures; la seconde^ coulant seule^ le rmplit en heures, Copfibien de temps les deux fontaines, coulant ensemble^ mettront-elles à remplir le bassin f

Désignons par x le nombre d'heures qu'il faut aux deux ftmtaines pour remplir le bassin; et raisonnons comme si nous

voçjiûiws ww mmif 5ue» daps cq \mf^ i> supposé connu»

les deux fontaines^ coulant ensemble, remplissent bien le bassin. La premi^ fiDn{^ine, coulant seule, remplit le bassin en 4 heures ; en une heure, elle verse donc j du bassin ;

eu X heures, eU^ eu remplit une fraction marquée par 7,

La seconde fontaine, coulant seule, remplit le bassin en (J heures; en une heure, eUe verse j du l^ass^n^ en cç heu^

res, elle en remplit une fraction ^. Dans le temps x, les deux fontaines, coulant ensemble, verse^^t donc une quan-

tité d'eau représentée par 7 + ^ » la capacité du bassin

étant prise pour unité. Mais, pendant ce temps, elles doivent remplir le bassin; on a donc l'égalité

4 + 6 = *- Telle est l'équation du problème.

Pour la résoudre, on fera d'abord disparaître les dénominateurs ; on voit de suite que 1 2 est le plus petit multiple des nombres 4 et 6. On multipliera donc par 1 2 tous les termes de l'équation, et nous observons que, pour multi-

plier par 1 2 les deux fractions 7 et x , il suffit de mutiplier

leurs numérateurs par 3 et par 2, en ôtant les dénominatexu'S. L'équation devient ainsi

3a:-f-îw?= 12; d'où 5a:=i2.

ar=-—= 2^ + - = 2^ 24".

Ainsi il faut 2 heures et 24 minutes aux deux fontaines, coulant ensemble, pour remplir le bassin.

La vérification a lieu effectivement, si l'on remplace dans

l'équation x par sa valeur -^; car les deux fractions 7 et ^

3 * 2 deviennent, après simplification, t et ^ , dont la somme

est 1.

12. Problème. VIL Un père a 4o am, son fils en a 10. Dans combien de temps Vâge du pèresera-t-il triple de îâge du fil$?

Soit X le nombre d'années cherché. Après ce temps, l'âge du père sera 40 + ^» l'âge du fils sera la + ^« Gomme à cette époque l'âge du père doit être triple de l'âge du fils, on a l'équation

4o-|-^=(io-j-x) X3.

La parenthèse indique que la quantité lo -f- a? est multipliée par 5.

Pour répéta* trois fois la somme lo + a?, il suffit évidemment de répéter trois fois chaque partie; l'équation devient donc

d'où l'on déduit

Ainsi, dans 5 ans l'âge du père sera triple de l'âge du fils. Et, en effet, à cette époque le père aura 4^ ^ns, le fils i5, et 45 est bien le triple de i5.

13. Problème YIII. Deux courriers partent au mime insiant de deux vMes distantes deioo lieues et vont à la rencontre tun de Vautre. Le premier fait 3 lieues à Vhewre^ le second en fait a. Quels chemins les deux courriers par cour-ront-^ls avant de se rencontrer ?

Le choix de l'inconnue a une grande importance pom* la facilité des raisonnements et la simplicité des calculs. Dans le problème actuel, au lieu de prendre les inconnues indiquées par l'énoncé, c'est-à-dire les chemins parcourus, nous prendrons une autre inconnue dont les premières se déduisent aisément, savoir le temps pendant lequel marchent les deux courriers. Soit x ce temps exprimé en heures. Le premier courrier, faisant 3 lieues à l'heure, parcourra en X heures 5x lieues ; le second, faisant 2 lieues à l'heure, parcourra dans le même temps 2X lieues. Mais la somme des chemins parcourus doit être égale à la distance totale 100 lieues. On a donc l'équation

d'où l'on déduit

Ainsi les deux courriers se rencontrent après 20 heures

ii iNnoDUcnoif*

âè imrche* Le premier aura parcouru 60 UeuM, li leQônd 4o. La somme est bien égale à 1 00.

ià. Problème tX. Vne montre marque miài; le$ deu^ aiguilles^ savoir t aiguille des heures et celle des minutes^ sont actuellement au même point du cadran. On demande dans combien de tempsy et en quel point du cadran^ fuiguiUo d9$ minutes rencontrera celle des heures?

Le cadran d'une montre est divisé en 60 parties égales. Dans uiie heure, l'aiguille des tnîûUtes pârèoun les 60 divisions du cadran, tandis que celle des heures n'en parcourt que 5. Prenons l'heure pour unité de temps et appelons A? le temps cherché; dans U temps ir, Taiguili^ 4(A b0Ure$ parcourt iœ divisions, et raiguiUe des oûfiutes 600? ( mais, aprè» ce temps, l'aiguille des minutes^ ayani v^ni l'aî^ guille des heures, a parcouru le tour du Cadraûi c'ett^kr"dire 60 divisions, plus bx divisions* On a douo Téquatioo

6ôar fc=s Cô + 5^ î d'où l'otl déduit