AVERTISSEMENT

Je tiens, avant tout, à remercier M. Darboux d'avoir bien voulu me confier la rédaction de ces « Leçons d'Algèbre ».

Je veux aussi lui exprimer ici toute ma respectueuse reconnaissance pour les conseils qu'il m'a prodigués tant sur la forme que sur le fond de cet Ouvrage.

Ce Livre est destiné, plus spécialement, aux élèves de la classe de Mathématiques Élémentaires; mais, avec les trois Appendices, il contient l'exposition complète des connaissances exigées pour l'admission à l'École de Saint-Cyr, en Algèbre. Il a bien des analogies avec les traités semblables, parus jusqu'à ce jour, mais il en diffère sur certains points dont je dirai quelques mots.

J'ai commencé ce volume par l'exposé complet et détaillé de la théorie des nombres négatifs. J'ai suivi, en cela, le programme de la classe de Mathématiques Élémentaires au pied de la lettre et je m'empresse d'ajouter que je l'ai fait parce que cette façon de procéder est celle qui m'a paru la plus logique. On trouvera, peut-être, ce premier chapitre un peu long; mais je ne crois pas qu'il soit possible, en cette matière, d'être, à la fois, court et complet. Entre deux maux j'ai choisi le moindre et j'ai préféré les longueurs aux omissions. D'ailleurs, si on y

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regarde de près, ^exposition systématique des propriétés commutatives, associatives et dis tribu tives des opérations sur les nombres n'est au fond que celle des « Opérations algébriques ». Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication des polynômes entiers ne sont que des applications directes de propositions sur les transformations des sommes et produits de sommes algébriques. Ces règles apparaissent ainsi sous leur jour véritable : car elles se réduisent à énoncer comment on dispose, pratiquement, une opération pour que, les polynômes donnés étant réduits et ordonnés, le résultat soit lui-même réduit et ordonné.

Aussitôt après avoir défini une expression algébrique, j'ai donné quelques exemples de fonctions d'une variable; puis, dès les équations du premier degré, j'ai montré comment on représentait graphiquement la variation d'une fonction. Ceci m'a conduit à donner quelques notions très brèves de Géométrie analytique et à montrer, en particulier, que Y équation d'une droite est du premier degré. Ces notions si simples ne me paraissent pas du tout dépasser le niveau des Mathématiques dites élémentaires et, tout au contraire, elles me semblent très utiles pour faire comprendre toute la portée de la discussion des équations du premier degré à une et à deux inconnues.

Je n'ai rien de spécial à dire sur les équations du second degré. Je ferai cependant observer que je me suis absolument interdit de parler des nombres imaginaires dans le corps du volume. J'ai réservé l'Appendice I à cette généralisation de l'idée de nombre qui ne m'a pas paru nécessaire, ni même profitable, pour les élèves de Mathématiques Élémentaires, proprement dits.

D'après les conseils de M. Darboux, conseils qu'il m'a été bien agréable de suivre, j'ai résolument abandonné, pour l'étude de la variation des fonctions, la méthode dite élémentaire et j'ai adopté celle des dérivées. Au premier abord, ceci peut paraître une hardiesse ; mais, si on se reporte aux difficultés que présente l'exposition rigoureuse et complète d'une quel-

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conque des méthodes réputées élémentaires (1), on sera forcé de convenir que celle des dérivées, sans être plus difficile à concevoir, est d'une application beaucoup plus régulière et plus aisée (2). D'ailleurs, le domaine de la science mathématique allant en s'élargissant de jour en jour, il faut bien, pour permettre aux jeunes générations d'aller plus loin que nous dans l'étude de cette science, élaguer l'enseignement de tout ce qui fait double emploi. Il faut bien nous résoudre, quelque intérêt qu'ils puissent présenter en eux-mêmes, à reléguer au second plan les procédés particuliers non susceptibles de généralisation.

. C'est dans cet esprit que j'ai conçu tout cet Ouvrage et, chaque fois qu'il m'a fallu choisir entre deux méthodes, j'ai toujours donné la préférence à celle qui était susceptible d'une extension ultérieure. Ainsi, pour les logarithmes, j'ai écarté la définition par la correspondance entre les termes de deux progressions. Il est très facile de montrer, qu'étant donnés deux nombres positifs a et A, il existe toujours un nombre rationnel x (positif ou négatif) tel que aT soit une valeur aussi approchée qu'on le voudra de A. Ceci suffit amplement, au point de vue pratique, le seul auquel on ait à se placer dans le cas présent. Je dirai, en terminant, que, suivant l'exemple que m'a donné M. Tannery, dans ses excellentes « Leçons d'Arithmétique », auxquelles je renvoie souvent le lecteur, j'ai apporté le plus grand soin au choix des exercices. Chaque chapitre est suivi

(l) Par exemple, celle de M. Hermite, qui consiste à ramener l'étude de la fonction

a xx -f b x -\- c

à celle de la fonction :

i-2) L'expérience sur ce sujet est, d'ailleurs, faite. 11 y a longtemps qu'on enseigne la méthode des dérivées dans les classes de l'enseignement moderne et on a pu constater qu'elle ne présentait aucune difficulté insurmontable pour des débutants.

vin AVERTISSEMENT.

(Tune série d'exercices relatifs aux matières qui y sont traitées. Je les ai, en général, rangés par ordre de difficulté croissante, mais cette règle n'est pas sans exceptions : car il pouvait souvent y avoir intérêt à rapprocher des questions analogues ou connexes. Je ne conseille pas aux débutants de s'acharner aux questions difficiles, dans une première lecture. Il y a certains exercices que Ton traitera beaucoup plus aisément lorsqu'on aura lu le volume tout entier (1). Il est bon, d'ailleurs, de revenir, de temps à autre, sur ses pas.