APPENDICES

Appendice I. — Nombres complexes 475

Addition et soustraction 476

Multiplication et division 477

Module 481

Racine carrée d'une quantité complexe 485

Exercices 488

Résolution générale de l'équation du second degré 490

Condition pour que deux équations du second degré aient une racine

commune 493

Exercices 498

Équation et trinôme bicarrés 499

Équation bicarrée 499

Équations qui se ramènent au second degré 501

Trinôme bicarré 503

Décomposition du trinôme bicarré en deux facteurs du second degré. . . 503

Exercices 509

Transformation de l'expression yJ\-\-\jB 509

Exercices 513

Appendice II. — Complément à l'étude de la variation des fonctions 514

Continuité des fonctions circulaires 517

Dérivées des fonctions circulaires 519

Dérivée d'une fonction de fonction 522

Variation des fonctions circulaires 525

Variation de la fraction du second degré 529

Exercices 541

Appendice III. — Radicaux et exposants fractionnaires 542

Opérations sur les radicaux 542

Exposants fractionnaires 545

1. La théorie des segments portés par un axe joue un rôle très important dans les applications de l'algèbre à la géométrie. La connaissance des éléments de cette théorie facilite, en outre considérablement, l'exposition des principes de la théorie des nombres négatifs. Pour ces deux raisons, nous commencerons par donner les rudiments de la théorie des segments portés par un axe.

Définitions. — On appelle segment une portion de droite sur laquelle un sens est défini. Pour déterminer le sens du segment, on distingue les deux points qui limitent le segment. -L un de ces points est appelé origine du segment et l'autre extrémité. On appelle alQrs sens du segment le sens dans lequel se déplace un mobile qui parcourt le segment en allant de l'origine vers r extrémité.

On voit qu'un segment n'est autre chose qu'un chemin, décrit par un mobile, auquel on adjoint l'indication du sens dans lequel il a été parcouru. Dans tous les problèmes de mouvement, il est nécessaire de connaître, non seulement le chemin effectué par le mobile, mais encore le sens dans lequel ce chemin a été parcouru. Si on dit qu'un mobile, en partant d'un point A d'une droite, a parcouru un certain chemin sur cette droite, il y a ambiguïté pour le point d'arrivée ; car on ne sait pas si le point d'arrivée est à droite ou à gauche du point de départ. Si, au contraire, on indique le segment décrit par le mobile, il n'y aura pas d'ambiguïté; car on connaîtra, non seulement la longueur du chemin, mais encore son sens de parcours.

On énonce un segment en énonçant d'abord l'origine (point de départ du mobile) et, ensuite, l'extrémité (point d'arrivée). Ainsi en énonçant sgkB on désigne le segment qui a pour origine A et pour extrémité B; tandis que sgBX désigne le segment qui a pour origine B et pour extrémité A.

On appelle longueur d'un segment la distance (géométrique) de

ÀLOfcBRR BL&tBNTAIRB. 1

l'origine à l'extrémité. Un segment est dit nul lorsque sa longueur est nulle, c'est-à-dire lorsque l'origine coïncide avec l'extrémité.

Deux segments, portés par une môme droite, sont dits égaux lorsqu'ils ont même longueur et même sens. Ainsi (fig. 1), on a

xr/AB — sgCh

ai les longueurs AB et CD sont égales et si, de plus, les segments sont de même sens.

On peut toujours faire coïncider deux segments égaux, portés par une même droite, en faisant glisser l'un, le long de la droite, jusqu'à ce que son origine coïncide avec l'origine de l'autre.

Deux segments, portés par une même droite, sont dits égaux et de sens contraires lorsqu'ils ont même longueur, mais des sens contraires. Ainsi (fig. 1), les segments sgKB et sgDC sont égaux et de sens

FlG. t.

contraires. D'ailleurs, étant donnés deux points quelconques A et B sur une droite, ces deux points peuvent définir deux segments, à savoir les segments sgAB etsgbk qui sont égaux et de sens contraires. On ne peut pas faire coïncider deux segments de sens contraires, portés par une même droite, en les faisant glisser le long de cette droite de façon à faire coïncider les origines et les extrémités, mais si on amène l'origine de l'un à coïncider avec l'extrémité de l'autre, l'autre origine coïncidera avec l'autre extrémité.

2. Résultante de deux segments. — Lorsque deux segments, placés sur une même droite, sont tels que l'origine du second coïncide avec l'extrémité du premier, le segment ayant pour origine l'origine du premier et pour extrémité l'extrémité du second est appelé la résultante ou encore la somme géométrique des deux segments.

Ainsi (fig. 1), les deux segments sg AB et s^BC, qui sont tels que \ l'origine B du second coïncide avec l'extrémité du premier, ont pour résultante le segment sg AC dont l'origine est l'origine A du premier, et l'extrémité l'extrémité G du second. De même, les deux segments sg BG et sg CA ont pour résultante sg BA.

Lorsque deux segments, portés par la même droite, ne sont pas placés bout à bout, on forme leur résultante en faisant glisser le second, le long de la droite, jusqu'à ce que son origine coïncide avec l'extrémité du premier. La résultante de ces deux nouveaux seg-

me nts, ou tout autre segment qui lui est égal, est ce qu'on appelle la résultante des deux segments donnés.

Théorème. — Lu résultante de deux segments est indépendante de tordre dans lequel on place les deux segments bout à bout pour la former.

Soient sgKB et sgBC deux segments placés bout à bout de façon que sgKB soit le premier. Leur résultante est, alors, sgXC. Soient d'autre part, deux segments :

sgEF = ,%7/AB, xgtoE = sgBC,

placés bout à bout de façon que sgDE soit le premier. La résultante sgDF de ces deux segments n'est autre chose que la résultante de W7BC et de sgkB formée en prenant sgBC le premier. Je dis que les deux résultantes sgDF et sgkC sont égales.

Il y a deux cas à distinguer :

1° Supposons, d'abord, les segments sgKB et sgBC de même sens (fig. 2). Les segments sgDE et sgEF seront aussi de même sens.