AB ~ A B

C'est une conséquence immédiate de l'identité (i) du n" 82, en multipliant

ai8 CHAPITRR V.

les deux membres par g(x) et en posant

P^(.r) = A„ Q^(ar) = B,.

Si A, B, ..., L sont des polynômes en .r, premiers deux à doux, et frir)

un polynôme quelconque, il existe des polynômes Ai, Bj, , Lj, tels que Ton

ait identiquement

__g{x) „ A, ^ B, ^ . lyi

82. Quels que soient les polynômes g{x) et A, on peut mettre la fraction ationnelle --^ sous la forme

rationnelle --»-^> où a «lésigne un nombre naturel, et cela d'une seule façon,

\a ^ va-» ** A ^^^\^h

où aj, «i, ..., «a-i désignent des polynômes en x^ dont les degrés sont inférieurs à celui de A et où E{x) est le quotient entier de la division de g{x) par A« {voir Ex. 51).

Si A, B, G, ..., L sont des polynômes premiers entre eux deux à deux et a, p, ..., X des nombres naturels, ou peut mettre la fraction rationnelle

.V«BP...L>- A« ' A«-' ' ■ ■^ BP "^ BP ' "^ •

VAx\

où E(t) désigne le quotient entier de la division de g{x) par A«B?...L^, et où flTo. ..., aa-i sont «les polynômes don le degré est inférieur à celui de A, 6o, ..., 6^-1 des p«dynomes dont le degré est inférieur à celui de B, etc. . ..

Que devient cette pro;) )sition quand les polynômes A, B, ..., F^ sont du premier degré?

83. Etant donnés le pidynome g{x) d'une part et, d'autre part, les polynômes ^{x) et A, premiers entre eux, il existe un polynôme a, de degré inférieur à A, et un seul, tel que g{x) — a ^(x) soit divisible par A.

Déduire de là que la fraction rationnelle —- — '■ — r> où a désigne un nombre

^ A*Cp(J7) ^

naturel, peut se mettre sous la forme

A«(p(^j .va A«-i -V o(x)'

où g\{x), «Oï «1, • • .» «a-1 sont des polynômes en x dont les a derniers sont de degré inférieur au degré de A. Il n'existe qu'un seul système de ])olynomes g\{x)^ ao, «1, ..., «a-iî satisfaisant à cette dernière condition, tels que l'égalité précédente soit une identité.

En conclure une nouvelle démonstration de la proposition principale de l'exercice précédent, et montrer que, lorsqu'on se donne les polynômes g{x). A, B, . . ., L et les nombres naturels a, 3, . . ., À, la fraction

gi-r)

V*BP...L>'

ne peut se mettre sous la forme indiquée que d'une seule façon, c'est-à-dire que les polynômes ao, ..., «a-n •••^ ^X-t sont entièrement déterminés, en supposant que la condition relative au degré de ces polynômes soit vérifiée.

84. Si A et B sont deux polynômes en t premiers entre eux, il ne peut exister de polynômes en x^ y (dont l'un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à A^ -h B.

83. Si A, B, G sont trois polynômes en :r, premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que le polynôme B* — 4-V.G ne soit pas le carré d'un polynôme en ar, il ne peut exister deux polynômes en J7, y (dont l'un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à A^*-h B^ -h G.

8(5. En désignant par m un nombre naturel, il y a deux polynômes (n» 82) f{x) et g{x) de degré m — i, tels que l'on ait identiquement,

x"^ f{x) -\- (\ — x)"^ ff{x) = i;

montrer que l'on a identiquement

fil -.x) = g(x), A>-(i — x)^ /(x).

87. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, G, . . ., L, il existe des polynômes A', B', G', .. ., L' tels que l'on ait identiquement

AA'-t- BB'-h GG'-h . . . -+- LV = A.

88. Si les polynômes Aj, Aj, A3 ont le même plus grand commun diviseur que les polynômes Bj, Bj, il existe des polynômes ai, aj, «3, aJ, a,, ag, jii, ^j,

Pn Pi» ?M Pi tels que Ton ait 1

B, = ai.\, -t-ajAî -h «3 A3, ,

B,= a;Ai-+-a;As-f-aiA3, I

A,= P,Bi-+-?2B,. I

A,= ^;B,-hp;B,,

A,= p'lB,4-3'iBi; I

réciproquement, l'existence de polynômes ai, .,., ^'^ vérifiant ces idcniités, ,

implique que les polynômes Aj, Aj, A, aient le même plus grand commun diviseur que les polynômes Bi, Bj.

Généraliser cette proposition.