Considérons les trois formes linéaires en X\^ x^^ x
Xi = ajiiTi -+- at%x^-\- a^^x^^
et supposons qu'on y remplace respectivement J7|, X2, x^ par
^i37i-^ ^t^yt^ b%%y%\
elles se changeront en des formes linéaires en^i, ^2? ^s, savoir :
Yi = c, ,^i H- Cl, j^, -H cia^s, Y, = ctt^i -h c,s^j-h cjj^j, Ya = Cj, j^i -H c„^, -i- C38 j^„
où Ton a posé
soient maintenant
«11 ait au
«ai «8J «88
Cii = aiiAiiH-au6u-hai8^i3,
Cji = «11^11 + asi^ii+ass ^131
Cji = aji bi 1 -♦- as, 6u -+- «33 ^187
Cit = «M ^11 -<- «It ^ît -*- «13 ^Î3^
Cj, = a,i bu -4- osi ô,î -f- a,8 6,3,
Csî = «SI ^îl -+- «8« *tî -t- «88 biz.
C13 = «11 ^31 •+■ «Il^8î-+- «18^881
^11 ^lî ^18
Cil Cl, Ci3 C,i C,, Ct3 «81 C3, C83
Les formes Y,, Y^, Ys en yt, y^^ yz soiit indépendantes, lorsque les formes X|, X2, X3 en x^^ 0^2, x^ sont indépendantes ainsi que les formes en y^^ y%^ y^ qu'on substitue à a:,, x^^ x^ (n® 1S7) ; elles ne le sont pas quand les formes X|, X2, X3 ne sont pas indépendantes; elles ne le sont pas non plus quand les formes en j^, , j^2 > J^s que Ton substitue à x^^ X2^ x^ ne sont pas indépendantes ; car, si ces dernières formes ne sont pas indépendantes, elles peuvent s'annuler pour des valeurs non nulles de y^^ ^2^ yz et ces valeurs annulent aussi, nécessairement, les formes Y|, Y2, Ys (*).
En d'autres termes le déterminant C n'est pas nul quand les deux déterminants A, B sont différents de zéro ; C est nul quand Tun de ces déterminants est nul. En d'autres termes encore, les valeurs des
(») On arrive à la même conclusion (n»157) en remarquant que les trois formes yv yv y^ étant dépendantes peuvent s'exprimer au moyen de deux d'entre elles, au plus, en sorte que Y,, Y,, Y,, s'exprimant linéairement au moyen de deux formes, ne peuvent être indépendantes.
coefficients an, ..., tzss, 6|i, ..., 633 qui annulent C, ou le produit AB, sont les mêmes.
On peut, en suivant la voie que je me contente d'indiquer, montrer que l'on a C = AB; mais je préfère établir cette égalité en partant de la façon dont le déterminant C est formé au moyen des éléments de A et de B.
162. Chaque élément de ce déterminant C est la somme des produits des éléments d'une ligne de A par les éléments correspondants d'une ligne de B; l'élément cv^, par exemple, est la somme Or« ^n H- «ra 6j2 4- ty^s fr*3 des éléments de la r'*"* ligne de A respectivement multipliés par les éléments correspondants de la 5**™* ligne de B : cet élément Crs appartient à la r**"* ligne et à la s'*"* colonne deC.
Supposons C écrit explicitement, c'est-à-dire chaque lettre Crs remplacée par la somme ar\ b,i -f- «ra 6*2 + ^rz f>s3 qu'elle représente : chaque élément de C est ainsi la somme de trois termes. Convenons de regarder, dans une même colonne de C, dans la 5**"**, par exemple,
«11^51-^ «U^jrî-+- «13 ^fj,
«» I ^si -+- «3î àsi -+- ajj bsi,
les éléments écrits les uns sous les autres comme formant une colonne partielle, et de regarder ainsi cette 5'*"* colonne de C comme la réunion de trois colonnes partielles. On voit que chacune de ces colonnes partielles provient d'une colonne de A, dont les éléments sont tous multipliés par un même élément (6^1, 6^2, ou b,^) de B.
D'après ce que l'on a dit au n® 1 16, C peut être regardé comme la somme de 3 X 3 x 3 = 27 déterminants, dont chacun est formé en associant trois colonnes partielles prises respectivement dans la première, la seconde, la troisième colonne de C. L'un de ces déterminants sera, par exemple,
CaPY =
«la^ia «ip^ip «1Y^3Y «2a^ia «îp^îp «îv^SY «sa^ia «8p^jp «SY^aY
Il a été formé en associant la a'*"* colonne partielle de la première
colonne de C, la ^'*"® colonne partielle de la seconde colonne de C, la ^,ième colonne partielle de la troisième colonne de C; chacun des indices a, p, Y est susceptible de prendre les valeurs i, 2, 3. Le précédent déterminant est égal au produit de fria62pé3Ypar le déterminant
«la «ip «ly a,a «îp «îT «sa «sp «ay
si deux des indices a, p, y sont égaux, le déterminant a deux colonnes identiques; il est identiquement nul. Les seuls déterminants de cette sorte qui ne sont pas nuls s'obtiennent en supposant distinctes les valeurs de a, p, y : chacun d'eux correspond ainsi à l'un des arrangements trois à trois des nombres i, 2, 3 : ils sont au nombre de six.
Le précédent déterminant, si l'on suppose que a, p, y soient les nombres 1, 2, 3 rangés dans un certain ordre, n'est autre chose que le déterminant A, dont on a rangé les colonnes dans un certain ordre; pour ramener ces colonnes à occuper le même ordre que dans A, il faut opérer sur les numéros a, p, y un certain nombre de transpositions, nombre qui ne diffère que par un nombre pair du nombre d'inversions qui se trouvent dans l'arrangement a^y Si l'on désigne par i ce nombre d'inversions, on voit que l'on aura
Capr = (— O^^ia^îP^jyA;
dans les six déterminants non identiquement nuls Cotpy? qui correspondent aux six arrangements trois à trois des numéros i, a, 3, on peut mettre ainsi A en facteur, l'autre facteur ( — O'^fa^sp^sY' ^^ ' est le nombre d'inversions de l'arrangement a^y, est un terme de B; on obtient les six termes de B en considérant successivement les six arrangements trois à trois; l'égalité C = BA est donc démontrée.
La démonstration, bien que faite sur deux déterminants du troisième ordre, est générale, et l'on peut énoncer le théorème suivant :
Si l'on considère les deux déterminants du n'*"® ordre
ai,
«lî .
. . rt,„
bit .
.. bt„
«ji
. . atn
.. brn
«nï .
•■ O'nn
bnx
bnl .
DÉTERMINANTS. 4oi
leur produit AB peut être mis sous forme d'un déterminant du /i'*"* ordre
t C|i Cu ... Cin Cu Cil ... Cin
Cnl Cnt
^nn
dans lequel chaque élément
Crs = «n às\ -h Uri ^.«î -*-••• -*" «rn ^.f
s'obtient en ajoutant les produits des éléments de la r'*"® ligne de A par les éléments correspondants de la 5'^'"* ligne de B.
Il convient de s'habituer à appliquer cette règle, indépendamment de la notation précédente. On a, par exemple,
a'oL-hb'? a'oi'-hb'^'
a a' -H 6 P'-hCY*
rt' a -h é>' 3 -H c' Y a' a' -+- 6' 3' + c' y'
a'a -t- 67 -h c'y a' a' -h 6" 3' -4- c y a' a' -h 6' Ji' -h c Y
Puisque, dans un déterminant, on peut intervertir les lignes et les colonnes, on voit que le produit de deux déterminants pourra s'écrire de façons diverses; on aura par exemple
aoL -+- a'oi' bd -+- b' oi'
ap-ha''?'
La formule qui donne l'expression du produit de deux déterminants s'applique évidemment au carré d'un déterminant; on a, par T. 26
exemple,
aa!-\- bb'
ab -h a' b'
bb'
ab-^a'b'
b*-hb'^
ou
de même
= (a^-^ a'^)(b^ -h b'*) — (ab -h a' b' )^;
aa' -+- bb' ■+■ ce'
aa' -^- 66' H- ce"
aa' -f- bb' -h ce'
a'î H b'^ Hc'2
a'a'H-6'6'-+-cV
aa" -+- bb" -f- ce"
a'a'-KÔ'^^'-Hc'c"
a'îH- 6'* -he'=«
a*-h a'* -H a'* ab -¥- a' b' -h a" b' ac -k- a' c' -h a" c' ab^a'b'-'ra'b" 6^-+- b'^ ^ b'^ bc ^ b' c' ^ b" c' ac -h a' c' -^ a' c" bc -^ b' c' -^ b" c" c'-+- c'* -+- c'*
Il est clair que le carré d'un déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant symétrique du même ordre.
163. Le théorème sur la multiplication des déterminants est d'ailleurs susceptible d'extension. La même loi de formation qui permet de déduire les éléments du déterminant produit de deux tableaux carrés, peut s'appliquer à deux tableaux rectangulaires comprenant respectivement le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
Considérons par exemple les deux tableaux
abc a' b' c
dont chacun comporte deux lignes et deux colonnes; on peut en déduire un déterminant du second ordre
aa-h6p-+-eY aa'-t-6p'-HCY' a'a-+-6'P-f- c'y a' a' h- 6' P' -h c' y'
dont chaque élément est la somme des éléments d'une ligne du premier tableau respectivement multipliés par les éléments correspondants d'une ligne du second tableau. Ce déterminant du second ordre
DÉTERMINANTS. 4o3
peut èlre décomposé en neuf déterminants, par un procédé analogue à celui que l'on a employé dans la démonstration du théorème fondamental. En n'écrivant que les déterminants qui ne sont pas nuls identiquement, on trouve que le déterminant proposé est égal a
l a oc' } a' a'
6? ci
En d'autres termes, on a l'identité
(aa-H6p-hCY)(«'a'-HÔ'P'-hc'Y') — (rtx'-hô?'-t-CY')(a'a-+-6'PH-c'Y) = (é>c' — 6'c)(PY'—P'ï)-+-(ca' — c'a) (Ya' — Y'«)^-(«*' — «''^) («?'—«'?);
et, en particulier,
( a« -f. 62 -f- c« ) ( a'2 -h- 6'* -f. c'a ) — ( aa' -4- é>6' -+- ce' )« = (6c'- ^>'c)*-H(ca'— c'a)»-+-(a6'— a'6)«.
Cette dernière identité tient un rôle assez important en Géométrie analytique. Celle d'où elle a été déduite permet d'ajouter, à la formule du n° 161 relative au produit de deux déterminants du troisième ordre, des identités intéressantes concernant les premiers mineurs du déterminant produit. Si, en efl'et, on reprend les notations de ce n° 161 et si l'on désigne par Ar*, Br„ C^* les mineurs des déterminants A, B, C relatifs aux éléments «r*, 6;.,, Crs des déterminants A, B, C, on trouve sans peine la relation
Crs = A^ri B,, -H Arî B^j -4- A;., B,3,
qui en résume neuf autres, puisqu'on peut donner séparément aux indices r, s la valeur i, 2, 3.
On désigne sous le nom de déterminant adjoint d'un déterminant donné le déterminant du même ordre dont les éléments sont les premiers mineurs du déterminant donné.
Ainsi, en désignant, comme au n*" 14-4, par A, B, C; A', B', C;
4o4 CHAPITRB X.
A", B", C" les mineurs du déterminant
abc a' b' c' a" b' c
relatifs aux éléments a, fr, c; a', 6', c'; a", 6'^, </'; le déterminant adjoint de A sera
Le produit de ces deux déterminants est
