a{a\-h) (a+2*) [a-Kp
+^~- (H-A)a(a+A) [«-Hp - 3)A]
+ (*+*) (H-2*) (*4"3/t) \hJf{p— i)A].
Dans la première partie, la quantité placée à gauche de l'accoladt
est ce que devient le coefficient de . ■ '^7' , lorsqu'on y
dbn^ a en «-4-i( J et dans la Moonde , die est ee lorsqu'on y dangc b en b+k. Or^ par hypothèse:
rf
est le même que cdui qui afTecte — «.l-^-..^ Jao^ I^ s^ne
C9(a4-^}, c'est-à-dire qu'on le suppose réductible à la forme
donc les deux quantités placés avant les accolades s'obtiendront en changeant dans cette dernière expression a en a-^j et 6 en Ih^rk* Ghacnn de ces changemens donne le même lésuhat
ia + b+i)ia+b+2A):a+b+Zk)...la+b+:p--l)lZi
donc , en ayant ^ard à ce facteur commun , la somme des deux parties ci- dessus, qui contiennent zp^ sera
{a+b){a+b+k):a+b + :tt)...[a + l,+^^p^i)t]
laquelle est identique avecle terme en zp delà série 9^^-H'*^*
Ainsi , en admetUnt qu'il y ait égalité entre les termes des terics représentées par 9(^)^70 et par ç^a + b) jusqu à une ceruine pui*sance de z, elle doit encore exbter pour la puissance supérieure* Or, cette égalité a été reconnue pour les trois premiers termes ^ donc elle a lieu pour quatre termes ; si elle a lieu pour quatre termes , elle a donc lieu aussi pour cinq ; et ainsi indéfiniment.
570. La proposition qu on vient de démontrer revient à dire, en d'autres termes , que la série ^^a) est une telle fonction de « que, pour la multiplier. par une fonction semblable de b, il sufiji d'ajouter b k a. Sous ce rapport, elle est parfaitement ai ' à l'exponentielle Z% dans laquelle Z serait une quantité ini dante de a ; et Ton va voir que cette analogie se waînticrt dans les conséquences.
Reprenons Féquatîon démontrée ' [i] r^:a).o'J>)^oia + ù)^
On peut y remplacer a par a — b : alors cUeflMC»ii S3(p(û) , et Ton en tire, pour la division àm ^ï< ftr 5-''
566 lEçof 8 d'aloèbki.
Maintenant remarquons que , dans la partie en zP^ les multipli' cateors où entre/? se prêtent aux décompositions suivantes :
etc.
Alow on verra que toute la quantité affectée de zP peut se séparer en deni parties, dont l'une contient le facteur a dans tous sei termes, tandis qaa l'autre contient le facteur b. Ces parties sont
+^ «^ *(«+*) (»+*) ï.aMp-m\a^
+*(*+*) (H-2*) .., [M-Cp-a)*]^
+ flCa+A) (a+aA) ia+(p—2)k]
+ (*+*) (H-2*) (*4"3/t) .[Ô+Ci»— !)*]•
Dans la première partie^ la quantité placée à gauche de l'accolad» est ce que devient le coefficient de . ^7 î » lows»'®» J
cbange a en a+A: j et dans la seconde , die est ee qnHl denent lorsqu'on y change b en b+k. Or^ par hypothèse^ ee oo^BcieBt
est le même que celui qui affecte ■■ — . dans la série
9(a4-^), c'est«à-dire qu*on le suppose réductible à la forme
donc les deux quantités placés avant les accolades s'obtiendront en changeant dans cette dernière expression a en û-^nfr, et b %u b-^-k. Chacun de ces changemens donne le même nésnltat
{a+b+k){a+b+!ihXa^b+3k)...[a+b+{p'^l)k]i
donc y en ayant égard à ce facteur commun , la somme des denx parties d- dessus, qui contiennent s^, sera
laquelle est identique avec le terme en zf de la série (^{a'^b).
Ainsi, en admettant qu'il y ait égalité entre les tervxes ^ps férici représentées par 9(â}cp(^) et par ^(a -{- b) jusqu'à une Cfsrtaioe puisr sance de z, elle doit encore exister pour la puissance supérieure* Or, cette égalité a été reconnue pour les trois premier^ termes { donc elle a lieu pour quatre termes^ si elle a lieu pour quatre termes , elle a donc lieu aussi pour cinq 3 et ainsi indéfiniment.
670. La proposition qu'on vient de démontrer retient à dire, en d'autres termes , que la série ^(a) est une telle fonction de a que, pour la multiplier. par une fonction semblable de ^, il suffit d'ajouter b k a. Sous ce rapport, elle est parfaitement aâalogue à l'exponentielle Z<>, dans laquelle Z serait une quantité indépeadante de a ; et Ton va voir que cette analogie se maintient anin dans les conséquences.
Reprenons l'équation démontrée
[i] 9W.cp(^)=(p(a4-A).
On peut y remplacer a par a — b : alors elle devient (f(«— •ôj'f (&) sa(p(a) 9 et l'on en tire, ponr la division de (f(a) par çi{b\
§68 lAfom b'Aii«i3U.
Si on change b en ô+c, l'équation [i] devient ç(a).<f(A+c) ss=Q^â-)-é+c). Mais, en yertu de cette même équation, on a ç(i).(p(c)=s(p (4+c) 5 donc
En changeant c en c-f-J, et continuant de la même manière y on Toit clairement, <)uel que soit le. nombre des facteurs, qu'on doit toujours avoir
(p(a).cp(&).Q(c). • •== <p(a-f-M^^* • •)•
Supposons toutes les quantités a,^,c,... égales à a, et leur nombre égal à m, cette équation donnera
[3] [ç(û)]"* = ç(wû).
En remplaçant dans celle-ci a par -, il vient 19^'-' ) 1 *=?9(<>); donc , pour Textraction des racines v on a «
La formule [3] n'est encore démontrée que pour un expo^^ sant entier positif. On retendra à tous les exposans positifs frac* tionnaîres , en remarquant que les formules précédentes donnent
V[ çCa)]"*» V^<^{ma)=(f\j^J . Mais V/Îç(û)F est la même
chose que [ç(<ijï"i donc
[5] [<?wF=(p(v)-
Pour étendre aussi la formule aux exposans négatifs, on remarquera qu'en désignant par m et r des nombres positifs quelcoo* ques , les formules démonl;;rées donnent
[<p(«)]-»= i2^.= -7^'^ =ç(ra-.ma-m),
donc enfin
[6] ç(û)'-* = q>( — ma) .
Ainsi, quel que soit l'exposant, on a toujours
[9(a)]'» = ç(/?iû), ou bien , en remetUnt le* »éries repr^entée^ par (f{a) et (f(mà}f
[7] C l+« f + «(«+*) r^ +fl(a+*) («+2*) -^ 4- etc. 3 -
571. Dans Péqiiation [7] ^ atlk sont quelconques. Si on y fait a=i et As=— •! y elle devient
la formule du binôme est ainsi démontrée pour un exposant quelconque. On sait comment on peut déduire (a+x)'" de (i-f-^)'"*
572. Dans la même équation [7] faisons ksRO ^ ass i , zssi ^ m«ax:ilYiendra
La série numérique du premier membre est le nombre e^ base des logarithmes népériens : ainsi , on peut écrire
c«=i4- -^ 5+etc.
Si on pose e* s= a , « sera le logarithme népérien de a ^ et on retrouvé la série exponentielle
573. Pour avoir la série logarithmique, on changera dans cette dernière formule a en i -4* j: et j: en m. Il vient
, , ^ , ml(i+x) , yw»[l(i+.a:)]* ,
(i +ar)"s=3 1 4 — ^ ^ ^ H- ■ ^ ■■<■'" + etc.
Mais I en développant la puissance (1+^)'"^ ^^ ^
(i+j)'* =3 1+ m- + m (m— i) 1- etc.
Egalons donc les deux sériesi supprimons Tunité de part el d'autrt tt divisons par m, on aura
tj9 UÊf}n$ m^ài^BkwÊûL
Enfitt, en faisant 772=30 dans cette dernière éqaatioO| 011 rttroiiff la formule connue
1(1+^)='- •— Ir-r- — -7-+«^'
(vénération des séries récurrentes.
574* Soit la fraction
en eÇectuant , diaprés la règle ordinaire y la division de a* par
a-^bx , on trouve au quotient une suite de termes dont la loi se manifeste promptement. On pei^t encore écrira la fraction ainsi û'(a-f-ijf)~' , puis se servir de la formule du biuojpe. Mais la méthode des coefficiens indéterminés conduira au même résultat .^ et sera plus commode lorsque la fraction sera plus <;oBipliquée.
Sans entrer dans les détails de la division, on reconnaît 4e suite que le quotient sera une série de la forme A-(rBx-f-Ga:'-|- etc. 5 c^est pourquoi Ton posera
= A+Bir-J-Cor'+Djc^ + etc. ,
a^bx
A » B , G , D , . . . étant des coefficiens à dé^erminei:. En mtdtxpliant de part et d'autre par a-^bx , il viendra
a'=Aû+Bizlr+Cal:c» + Da ^c^ + etc.
-i-A^pj -fB^l 4- Ci
Or y le produit du quotient par le diviseur devant rejM'odiiiri identiquement le dividende 9 on doit avoir
Aa==</, Ba-l-A6s=o, Ca-4-B*=o, Da-{-Gi = o, etc.,
d^oii l'on tire
A = ^, B = --A, C=— -B, D = -^-C, etc. a a a a
Donc y chaque coefficient , à partir du second , est le produit dn
précédent par -« - ^ ou | ce qui est la même chose , chaque
bx terme est le produit du précédent par-* -^^ Ici U série n^eit
qu'une ûmpl^ iN^ogcessÀon gépmétriqtte»
Maintenant considérons le fraction
On posera semblablement
enmnltijdîaiitde part et d'autre par le dénominateur a-4"^^"H^'^*9 il vie ndra
X* +Dfl + Bc
X "y" eic» j
+ B* -4- Ac
pniS| pour que les deux membres soient identiques, il faudra qa*onait
Aasaaff Ba+kbt=ib', Ca+Bi+Acs=30,
D«+C6+B<?5=ao, etc.,
d^où Fon tire ks Taleurs
D«— fB-.*C, etc.
Ici on Toit qu'à partir du 3^ terme, chaque coefficient est la somme
des deux préoédens multipliés respectivement par «•• ^ et -**• -,
ou que chaque terme est la somme des deux précédenf multi-
,./ cx^ hx «
pues par r et — — .
Si Ton posait encore .
on trouverait que chaque terme , à partir du 4"*? se compose dei
dx^ cx^ bx trois précédens multipliés respectivement par ,— — , — — .
Enfin^ il devient alors évident qu^en général une fraction de fa Corme
a -^bx +ra:' ..... .+/:ar"
doit donner naissance à une suite dont chaque terme, après les n
premiers, se composera des n précédens multipliés respectivement k h c h
On appelle r^curren/e^ toutes les suites ainsi formées, et écheîk de relation l'ensemble des quantités par lesquelles il faut multiplier plusieurs termes consécutifs pour avoir le terme suivant. Oa pourra dire aussi que la série est du i^' ordre, du 2* ordre , etc., selon le nombre des termes qui entrent dans l'échelle de relation.
Si l'expression qu'on développe a un numérateur de degré plus élevé que le dénominateur, ou de degré égal, on Toit , par h manière mèm« dont nous déterminons les coefficiens du dévdoppementy que la loi de la série sera toujours la même : seulnnent, elle sera rttardée. Au reste, on pourra, si on ireut, décomposer préalablement l'expression proposée en une partie entière, plus une fraction ayant un numérateur de degré inférieur au dénominateur.
5^5. Dans ce qui précède j'ai porté l'attention uniquement soi les termes entiers du quotient , parce que je ^voulais faire remar« quer la loi de leur composition. Mais si on voulait avoir le quotient exact, il ne faudrait pas ïsanquer d'ajouter aux termes entiers la fraction provenant du reste de la division ; et , d'après les observations faites dans un cas analogue (556) , cette fraction ne doit pas être supprimée, lors même qu'on prolongerait le quotient indéfiniment , à moins qu'on ne prouve que dans ce cas elle doit devenir zéro. Or, il est facile de démontrer que c'est en effet ce qui arrivera si on n'attribue à x que des valeurs plus petites que l'unité et au-dessous d'une certaine limite. Mais , suivant l'usage adopté par tous les auteurs , je supprimerai ces détails et laisserai tu lecteur le soin d'y suppléer.
Retour des séries récurrentes auttfraetions génératrices.
5']6.. Une série récurrente ^tant donnée^ on propose ieretrouver h fraction génératrice.
UCCKâ D'ALGÈfiRE. 673
Dtn9 cet énoncé, on suppose la série récurrente ordonnée par rapport à une indéterminée x. Soit
S = A+ Bx+C:r» + etc. ,
une telle iérîe, ayant pour échelle de relation [/?j:' , qx*^ rx"].
Puisque cette échelle contient trois termes, la fraction génératrice
est de la forme
fl + ^x + ex* + ^^ * Si cette fraction était donnée, on a tu que l'échelle de relation se^
raitl — -x',-— J:*,'—-^ |. Or cette fraction peut s'écrire de cette manière
et alon on Toit que les trois termes en x du dénominateur s'obtiendront sur-le-champ en prenant ceux de l'échelle de relation aVec des signes contraires. Ainsi , on peut mettre la fraction gêné* ratricé sous la forme
a4"/83r4">X* I— ra:— ^x* — px^ '
et il n'y a plus qu'à déterminer «, ^3, y. A cet effet , on pose
- -fd£g2f!3 = A+Bx+C*«+.eic.j # 1— roT— jx'— ^x.
et comme en chassant le dénominateur, l'équation doit devenir identique , oïl conclut , en ne tenant compte que des trois premiecs termes y
^Ar\ —Br -A^l JPar eoméiaent on aura, pour la fraction génératrice,
A+ (B— Ar) X + (C-«r— Agr)x*
5j4 LEÇOHS DALOIBRl*
Par exemple , soit la série récurrente
5=1 — aa:— a:* — 5x^ — 4** — etc. ,
dont IVchelle de relation est [+^^7 +4^*> —2a:]. Dans la formule ci-dei^susy on fera Âs= iyB = — a^Csa^-^iypcsi,
' jr = 4, r ss ■-■ 2 ; et on trouvera
677. Une série étant donnée , on veut reconnaître si elle est récurrente , et^ dans ce cas , retrouver la fraction génératrice.
C'est à Lagbange qu*est due la solution que je yais rapporter. Soit la série donnée
Cherchons d'abord si elle est égale à une fraction de la forme
—r-r-. et posons iS=—rT"' I^® là on tire a-^bx^ '^ a-^-bx
I a-^-bx a , b
donc le quotient de i par la série S doit être exact et de la forme P'\'qx. Alors la fraction génératrice serait exprimée ainsi :
p+qx
Si la division ne s'arrête pas au deuxième terme, la série ne sert pas récurrente , ou elle proviendra d'un fraction plus compliquée.
Posons o =5 — T-r-i ;? on aura
i^ a'\-bx'^cx^ 11^ ^"a:'
c'est-à-dire qu'en divisant i par la série S, si on arrête le quotient aux termes de la forijie p-^-qx , la série SiX^ qu'on obtient pour reste, et qui est toujours divisible par a:*, sera telle qu'après en
avoir été ce facteur ou devra atoir tt ss , , , ■>
De là on tir«
c*cst-à-Aré que la nouyellè division doit se terminer au a* terme; et alors, pour trouver la fraction génératrice ^ on aura les deux équations
d'où
I •Sx I
pj^q^j/^J^ P^M^^'
et par coiiltqiient la fraction génératrice sera
{p'\-q^){px'\-qxx)^r^'^'
iSuppesons que le quotient de S par «9i»ne soit pas exactement /?x 4"7i^ î *î la série est récurrente, elle sera d'un ordre supérieuif
au second. Examnons st i on peut avoir 5 sa — ; , '■. ' , a.
l)e là on tire
c'est-à-dire qu'après avoir poussé jusqu'aux deux premiers termes le quotient de i par la série 5, on trouvera pour reste une série dont tous les termes contiendront x^ ^ et que, si on désigne ce reste
par SxX-k , on devra avoir rr = , , ,; . , ^* ... S a -Y b' X -f-c x^
Cette %alité donne
Jonc , en désignant par S^x^ la série qu'on obtient pour reste , ïprës avoir poussé la division de la série S par la série Si jusqu'aux
ternies pt + qiX , on doit avoir ^ = ^„^^„^' De cette dernière égalité on tire
Sj6 LSÇOlCg D^AicisBiis;
Ici les opérations s^arrêtent^ et, pour remonter à It fraetioû génératrice , on aura les équations
d'oii
U ne reste pins que quelques substitutions à effectuer pour former la fr%ption égale à 5.
Sans aller plus loin, le lecteur aperçoit sans doute que les opéntions Successives, pour trouver les quotiens/?-}* i^fPf^gt^f etc., et pour remonter ensuite à la fraction génératrice, ont une analogie frappante avec celles qu'on fait pour réduire une fraction ordi» naire en fraction continue et revenir ensuite à la fraction ordinaire. Cette observation tiendra lieu de règle générale. Si la série est récurrente, on en sera averti lorsqu'on arrivera à une division qui donnera un quotient exact de la forme P'^gx. 0
Exemple. Supposons qu'on veuille savoir si la série des nombres 1,2,3, etc. est récurrente. Ce n'est point cette série numérique qu^il faut considérer, mais bien celle-<ci
5=3 1+2X+3*' +4^' -j- etc. 5
et tiers les opérations s'exécutent comme ci-dessous :
Dmsion de i par «S.
X {i ^-aa^H- 33?* 4* 4^* •4"^^^* — 1 — ajT — 33:'— 43g^— "Ctc. 1, 23:
— xr — 33:* — 4^' — 5x^ — etc.
>4«23:+4^'4-6j^ + 83:^ 4" etc.
3?'. -4- 2x1 + 3x* + etc. sa S^xK ,
Division de S par Sx»
<^x •— 23r — 3x* — 4^' ^-'Ctc. *- '
CI o o o
Donc la s^rie «9 eit rJénrrente , et Ton a
d»oû
,5' / ^ ^'^ et par conséquent
I — ajp+x* (i — or)*
Remarque. En cherchant uner^gle pour reconnaître si une série est récurrente , nous avons considéré la série comme provenant d^une fraction dont le numérateur est de degré inférieur au déno** minateur. Mais si cette dernière condition n^ayait pas lieui il est facile d^apercevoir que les mêmes explications et par conséquent anssi la même règle subsisteraient toujours.
Sêmmmiien d^un nombre quelconque de termes coneêeutifa d'une êériê \ récurrente. Terme général.
578. Trou^tr la somme et un certain nombre de termes conn sécutifs d'une série récurrente.
Pour fixer les idées y supposons que Téchelle de relation ait trois termes , que )e désignerai simplement par les lettres p^q^r ; et soit
A + fi + C + I)....+K-HL+M+N,
la suite de termes dont ou demande la somme. Par la nature même de la suite , on a
•ty «a a)OiilAnt eet^ëgalités, il vient
-- •• -f.(C+i)...+MJr!
> if.
tj8 u|«n b'amAme.
En àUgataX par S la lomme cherdiée , cefU équation deyicnt
et de là il est facile de tirer la yalear de 5 ,
A+B4-C— rfA+B+N)— o(A+M+N)— KL+M+N).
/ 57g. TVviii'C/' le terme général d'une sérim récurrente.
Cette question est proposée la dernière parce qa'*elle est celle dont la solution est la plu» difficile. Supposons que la série ait pour fraction génératrice
On peut écrire cette fraction ainsi
F«B (a'+yx . . . ^Vaf^^) {a^bx . • . + *jr-)-« j
et alors , en développant la puissance*^ \ , effectuant le prodoit et prenant dans ce produit la partie qui contient x à une puissance quelconque , il est clair qu'on aurait le terme général de la série récurrente. Mais la question se résout ordinairement par un autre procédé que je Tais exposer.
On divise d'abord tous les termes de la fraction F par h et on récrit sous la forme
U a'x'*-'^ + ^^x"*-* -f etc.
V "* ar~ 4- «x"»-» -|- i«x"— • + etc. *
On suppose toujours qu'elle a été réduite a sa plus simple exprès* sion , de sorte que U n'ait plus aucun facteur commun avec Y.
On décompose ensuite le dénominateur en facteurs binômes 'teU que x-^a , soit en égalant ce dénominateur à zéro , soît par topt autre moyen; et alors on considère la fraction comme résultant de la réduction de plusieurs autres, qui auraient pour dénominateurs ces diffcrens facteurs. On détermine toutes ces fractions partielles, puis on forme le terme général du développement de chacune et •n faisant la somme de ces termes généraux, on aura le terme génc- 1^ de la série récurrente.
OuMi iBfiti4fep8ippliti<ni M isolions parUeUei^ il fant soignes*
sèment distinguer dans Y les facteurs simples de ceux qui sont ëlerés à éd puissances. Pour chaque facteur simple j>4-a , «m prendra une fraction de la forme
Pour chaque facteur tel que {x-\-éy on en pourrait prendre une de k forme — - — , t L^ ' '9 ™^ ^ ^^ P^^ oonunode
de n^aToir que des fractions à numérateurs monômes ; et , au Keu d'une fraction comme k précédente, on en prend n comme celles-ci
N N, , Nj . N^,
Il est sans doute inutile d'arertir queM^N^Nn • • • représ^tent des quantités indépendantes àex.
Sn conséquence , iî on admet que Y ss (r-{-â) {x^b)^ *• Ip on posera
et la question sera réduite pour le montent à détermine^- les numérateurs M, Ny N,, etc. Mais cette détermination exigeant des développemens assez étendus, je la renverrai dans un article séparé, et jek regarderai ici comme effectuée.
La décomposition précédente une fois établie , la détermination du terme général de la série récurrente ii*offre aucune difficulté. Chaque fraction partielle peut se mettre sous la forme PùtH-^)""-^» en désignant par x un nombre entier positif qui peut être égal à i • Si on dételoppe eette puissance, on troufe facilement que le terme afiEectc de jt* est
Cest une somme de pareilles expressions , toutes renfermant x^ , et résultant des différentes fractions partielles , qui composent Te terme général cherché.
Quand le dénominateur de la fraction génératrice renferme dei facteurs imaginaires, oc« facteurs amèneut|des quantités imaginaireu dans le terme général. Cependant si on suppose, comme on le fait
I8« UfOM m^àLtMMME.
toujoursy que les coefficiens du numérateur etdudéaoïmiiatcarde la fraction proposée soient tous réels, il est évident â priori qu'en cherchant le développement de cett0 fraction au moyen de la di* vision, le terme général ne renfermerait pas d'imaginaires. Par conséquent on est assuré que toutes les imaginaires provenant des facteurs du dénominateur devront se détruire.
Déeompoêiiion à*une fraction ratUmnellc en/ratUom pbts nmplct.
58o. Reprenons k fraction ralionneUe
que je regarderai toujours comme réduite à sa plus simple exptiesribn. Après avoir décomposé V en facteuis binômes, fai distingué ceuic qui n'y entrent qu'au i*' degré de cenx qui j sont élevé» à ^ pBtksanms, et j'ai dit que, pour chaque fiictoor simple X'^'Oj on prenait une fraction de la forme . ■ > tandis que, pour uil facteur tel que (a>f^)% oti enj^roait n de la f«rme
T=(ar-|-fl)(a:+i&)"- . ., o^ devra poser
et c'est la détermination des numérateurs M| M, N., etc., qui doit nous occuper.
Le moyen qui s'offre tout d'abord est de réduire le second membre en une seule fraction de même dénominateur que oelle du premier; et commcles deux numérateurs doivent alors être identiques, on égalera entre eux les coefficiens des termes semblables. On a ainsi m équations, qui serviront à trouver les m inconnues M, N, Nx, etc. Ces équations sont toutes du i*' degré ; car, dans la réduction du second membre au même dénominateur^ les inconnues ne se multiplient ni entre elles ni par elles-mêmes.
Par exemple, soit la fraction
jp>— jr*— jf+i*
Lioovs d'jllcdee. 56i
•prb aToir reconnu qae le dénom ^zfx-^-iXx — i)*, on posera
x»— JF+6 M W , y,
Ea rédiniaiitaoïniBe dëooiMiialeiir, îi Tient d'abord
puif^ en ^^ant les tenues semblables^ on a
De cea équations on tire Hs=2 , 11=3, IT.=: — i; et par srate la fraction donnée se décompose ainsi :
jfi — x-XS a , 3 I
af^— ar* — ^x+i jr+i (x — i)* jr — i
58i. On sait que des éqnadons da i*' d^é peayent être hioompatlibhi» Ainsi, flya en lien de craindre qoe ce cas ne se présente qoeUfoefoia pour cdies qni serrent à dëtenooiner les numë* rateurs inconnus, et que par suite la décomposition en fractions partielles ne soit impossible. Mais je Tais trouyer les oomérateors de ces fractions par un procédé qni lèvera tous les doutes.
Soit x-f-a un facteur simple de Y, et supposons que la fraction proposée puisse se décomposer ainn
M étant une quantité indépendante de x , U, une quantité entière par rapport à x, etQ le quotient de Y parx-f-^* En réduisant au même dénominateur, il yient
U=MQ+Ut(x+/i), doit U,= ^"-"^Q ,
Pour que U. soit une fonction entière de x, il faut que U — ^MQ soit di-'^iible parx-f-a, ce qui exige que U — ^MQ s^évanouisse en j fSûicmt x= — 41. Si donc on désigne par ii et jr ce que deyiennent alors U et Q, on aura
M^ao, d'ob M=^.
58a LEÇONS b'algèbbb.
Telle doit être la valeur de M, si la dëcompositionest possible.Cette Taleur n'est ui nolle, ni infinie, ni indéterminée : car^ d*an c&té, la fraction proposée étant irrédactible, U ne doit pas contenir le facteur x-(-a, de sorte que u est différent de zéro ^ et d'an ànire côtéy x^a nVntrant qu'une fois dans Y ne doit plus se trouver dans Q, de sorte que q est aussi diilerent de zéro.
La valeur de M n'a été trouvée qu'en supposant la décomposition possible. Ainsi , à parler rigoureusement , celte supposition doit être vérifiée, ce qui est à présent sans difficulté* En effet , si on prend pour M la valeur trouvée , on est sûr que la quantité U — MQ sera nulle en j faisant x=— ^ 5 donc cette quantité est divbible par x-f-a. Or , en nommaut Ui le quotient, on a
U-MQ=U.(x+a), U=MQ+U.(x+a), 5 = ;^+^,
et l'on obtient ainsi la décomposition qu'on voulait opérer.
La fraction j^ doit être irréductible; autrement , on pourrait
réduire le second membre de la dernière égalité à une fraction de dénominateur plus simple que Y; donc la fraction proposée serait simplifiable, ce qui est contre la supposition.
Si xA'b est un autre facteur simple de Y, il sera aussi un fao
teur simple de Q; on pourra donc opérer sur tt une décomposition semblable à celle qui a été faite sur ^ , et continuer ainsi
jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs simples. Mais on peut aussi, pour chaque fraction partielle, revenir à la firaclion proposée elle-même.
Exemple S^oli la fraction
Y ""a:4 + 3^3 -f a:» — 3ar— 2*
Si on pose l'équation afi-^Zx^-^-x^ — 3x — 2 = 0^ et si on cherche ses racines, on trouve Y = (.r— i) (j:-|-2)(ar-j-i)*; par conséquent les deux facteurs simples donneront lieu , dans la décomposition, à deux fractions partielles de la forme
M . Ml jr— I ' jr-f-a'
IMmê D*lLOèMIB. S6S
' Pour trouier M, il hut recourir à la formule Mes- dans laquelle u etq représentent les valeors de U et Q correspondantes àx=i.IcîonaU=a:34-7x*+!i3a:+3, Q=(a:+.2)(x+i)% et la subslilulion de x=i donne i*=24, ?=ia5 doucM=:^=!i. SemblSsblement, pour calculer Mi^ on fera ores — 2 dans U et Q, mais alors il faut prendre Q=(a:— i ) (x+ 1 )M1 vient ainsi U= --3, s=— 3, M[i=:l.
En conséquence les deux fractions partielles sont
582. Occupons-nous maintenant des facteurs qui sont élevés à des puissances dans Y. Soit Y=(j>t*6)"Q. Si on considère la frao-
t on — j-TYjY, ce qui vient d'être dit montre qu'on peut la décomposer ainsi
(^+^)Q"" x+b^ Q * donc, en divisant par (x-f'^}'^S ^^ ^^^^
Des décompositions toutes semblables donneront
Ua ^ N. U3
{x+ by-^Q ^{30 + by^* "^ (ar-f- 6;»-3Q » et ainsi de suite jusqu'à ce que l'exposant n soit épuisé.
Le n" précédent prouve que les valeurs de N, Nxi Nj,. . , sont
N=-,Nx=î^, M.==ilî,ctc,
Vf Wi, i/«,. • . étant ce que deviennent U, U„ U,,. . . par la substitution de a:=s— &, et q étant ce que devient Q: il faut donc oonnattre les polynômes U,, U,,. .. Or, le n» cité montre que ces polynômes s'obtiendront successivement eu effectuant les diyinonf indiquées dans les formules
Sm LEÇONS D^ALGÈBRE.
A r^rd dei numérateurs Nx,N,,. . . quî viennent apri faut observer que quelques uns d'entre eux peuvent être car il est possible que quelques uns des polynômes U„XJÎ renferment le facteur x-f-d-
Pour exemple reprenons celui du n^ précédent , dans on a U = a:3+7j:«4-i3.r+3, V=x4 + 3a:' + x»— 3a:. (x-^i)(a:4-2)(x4-0'* liC facteur (:c+i)» donnera deux tions partielles de la forme
La quantité désignée par Qest Q=(x — i){x-\'7)y et fait ar= — i dans U et Q, on trouve i/= — 4jî= — 2:
Alors on cherche le polynôme U, par la formule U,= —
et tout calcul fait il vient U, = x* +4^+7. La substitutî* jr= — I, dans U, et Q, donne i/,= 4, q= — 2 : doncNa=^ Donc les deux fractions correspondantes à (x-^ i)' sont
{X'{'iY ar+i' et , si on les réunit à celles qui ont été trouvées dans le n* p dent, on aura la décomposition complète de la fraction pro[ savoir :
La décomposilloû lI'iiuc frai;lion raiionnclle est utile norlemcnt pour Îù dctcrminalian du terme général d'une série 1 rente , mais^er^iore dans ni» ihéorie importante du ralcul iut et pour cette r-ison «Vi cru devoir la uaiter avec étçnd^ie.
