PARIS GAUÏHIER-VILLARS ET C'% ÉDITEURS

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55, Quai des Grands-Augustins, 55

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PRÉFACE DE M. HADAMARl)

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La tâche de signaler à Tattention du lecteur le Calcul fonctionnel aurait pu senabler importante il y a un quart de siècle; elle est bien simplifiée aujourd'fiui.

Logiquement parlant, le calcul fonctionnel aurait dû se constituer dès la naissance même de la notion d'intégrale définie ou, plus exactement, lorsque avec cette notion fut élaborée celle même de fonction au sens de Dirichlet, la fonction étant considérée comme définie non par telle ou telle série d'opérations analytiques, mais par la connaissance de toutes ses valeurs ; l'intégrale définie fait précisément intervenir l'ensemble de ces valeurs et par là constituait un premier fait de Calcul fonctionnel. On n'aperçut point cependant qu'il y avait là, et dans le Calcul des Variations qui apparut bientôt après, une branche nouvelle de la Science. Il était réservé à M. Pincherle et surtout à M. Volterra d'en dégager l'individualité et d'en montrer l'importance. Cette importance, il n'est plus permis à un mathématicien de l'ignorer, depuis les Mémoires de M. Volterra sur les fonctions de lignes et les Leçons que l'illustre géomètre a professées à l'Université de Paris sur le même sujet.

Mais un autre fait a tout particulièrement contribué à rendre naturelle et familière à tous les géomètres la discipline d'esprit dont nous parlons : je veux parler de la théorie du problème de Dirichlet et des vues nouvelles que nous a ouvertes sur ce sujet la découverte de M. Fredholm. Celle-ci nous a appris que même dans l'étude d'une équation aux

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dérivées partielles il peut être essentiel de considérer les relations d'une des valeurs de la fonction inconnue non seulement avec les valeurs infiniment voisines, mais encore avec toutes celles que cette inconnue peut prendre dans son domaine entier d'existence. En un mot, il est aujourd'hui impossible de traiter la théorie des équations atix dérivées partielles sans la rattacher au Calcul fonctionnel.

S'il est devenu inutile d'insister sur le sujet du Volume qu'on va lire, est-il nécessaire d'en présenter au public l'auteur? A peine davantage. On sait par quels remarquables débuts M. Paul Lévy s'est signalé au monde scientifique. On sait comment, à côté de la généralisation de la notion de différentielle totale, telle qu'elle résulte des recherches de M. Volterra, il a pareillement étendu au nouveau domaine la notion d'équation aux différentielles totales complètement intégrable et comment cette nouvelle généralisation a jeté sur toute la théorie la plus vive et la plus féconde lumière.

Pendant cinq ans, M. Lévy a donné à la Patrie une activité qui aurait été précieuse pour la Science. A celle-ci, il s'est de nouveau consacré tout entier. En même temps que l'œuvre de M. Volterra et la sienne propre, il en continue une autre qui s'annonçait admirable : celle de R. Gâteaux, tué à l'ennemi en septembre igi/jj et dont l'œuvre si vite et si brutalement interrompue, avait ouvert au Calcul fonctionnel la voie nouvelle de l'intégration.

Le lecteur verra à quel degré de clarté et d'harmonie cette théorie élevée a été amenée par les efforts de pareils savants. Nul doute, et c'est l'essentiel, qu'il n'y trouve également l'occasion d'applications importantes et de progrès nouveaux.

J. Hadamard.