L'ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL

Sommaire. — L'origine de la notion rie fonction. — L'origine de la notion de fonctionnelle. — Les débuis du calcul fonctionnel. — Algèbre fonctionnelle et analyse fonctionnelle. — Le passage du fini à l'infini. — La représentation des fonctions par une infinité dénombrable de paranièlres. — Indication des questions traitées dans ce Livre.

1 . L'origine de la notion de fonction. — Le calcul fonctionnel est une branche de l'analyse qui dérive du calcul diflérentiel et intégral de la même manière que ce calcul lui-même dérive de l'algèbre, par une généralisation progressive des opérations effectuées.

Les premiers mathématiciens ne considéraient que les opérations algébriques les plus simples. Les opérations sur les nombres entiers et les questions arithmétiques tenaient naturellement une grande place dans leurs préoccupations; mais l'étude de la géométrie les obligea de bonne heure à envisager des opérations sur des nombres quelconques. Ce n'est que bien plus tard que, par d'autres applications et le progrès des conceptions théoriques, ils furent conduits à étudier, d'abord les transcendantes élémentaires, puis des catégories

plus générales de fonctions, pour arriver au milieu du xviii^ siècle à considérer des fonctions continues absolument quelconques.

A quel moment la notion abstraite de fonction s'est-elle dégagée de ces exemples de plus en plus généraux? On la trouve déjà nettement chez Descartes, qui ramena l'étude d'une courbe à celje des variations simultanées de ses coordonnées. Mais c'est Leibniz qui prononça le premier le mot de fonction, pour donner une expression générale aux notions fondamentales du calcul infinitésimal, notions qui avaient déjà été appliquées dans des cas particuliers, non seulement par les géomètres des xvi'' et xvii® siècles, mais déjà par Archimède (').

2. L'origine de la notion de fonctionnelle. — L'intégrale, dont l'étude obligea les mathématiciens à donner une expression à la notion de fonction, est en outre le premier exemple, encore très particulier, d'une notion nouvelle. Tandis que la fonction est une quantité qui dépend d'une ou plusieurs variables suivant une loi déterminée, l'intégrale définie dépend, suivant une loi déterminée, de toutes les valeurs d'une fonction. C'est ce que M. Hadamard appellera plus tard une fonctionnelle.

Mais, même si Leibniz a peut-être vu le caractère de cette notion nouvelle, l'idée ne pouvait lui venir d'approfondir ce caractère et d'aborder l'étude générale des opérations fonctionnelles. Cette étude ne pourra être envisagée que quand la théorie des fonctions, qui en est le support nécessaire, sera suffisamment développée, et quand, de plus, on connaîtra un plus grand nombre d'exemples particuliers de fonctionnelles.

Laissant de côté la dérivée, qui est bien une fonctionnelle, mais d'une nature tellement spéciale, ne dépendant que des valeurs de la fonction dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable, qu'elle pouvait difficilement donner naissance à la notion générale de fonctionnelle, nous pouvons dire que le deuxième exemple est donné par le calcul des variations. L'intégrale

est une fonctionnelle dépendant de toutes ies valeurs de la fonction j^ (') Cf. VoLTERRA, Leçons sur les fonctions de lignes (igiS), Chap. I.

CHAP. I. — L ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. i

dans l'intervalle («, ^), et constitue un exemple plus général que celui de l'intégrale de la fonction y. Elle fut considérée dans un cas particulier par BernouUi, puis dans le cas général parEuler (*), et c'est à son sujet que Lagrange introduisit la notion de variation^ qui est pour l'intégrale précédente ce qu'est la différentielle pour une fonction, et qui suffira, non seulement pour l'étude d'intégrales de formes plus générales, mais pour l'étude des fonctionnelles en général.

Dès le début du xix'' siècle, l'étude des phénomènes physiques introduit des fonctionnelles très différentes de celles considérées par Lagrange, et dont la définition analytique est beaucoup moins simple : telles sont la capacité électrique du conducteur isolé limité à une surface donnée, ou l'aire de la surface minima limitée à un contour donné. L'étude de ces fonctionnelles devait au début du siècle actuel constituer un nouveau et important chapitre du calcul des variations.

3. Les débuts du calcul fonctionnel. — Le calcul des variations n'est qu'un chapitre du calcul fonctionnel, comme la théorie des maxima et minima n'est qu'un chapitre du calcul différentiel.

On peut, d'une manière précise, dire que c'est en 1887 que le calcul fonctionnel prit naissance, lorsque M. V. Volterra commença à publier dans les Bendlcojitl de la R. Accademia dei Liiicei une série de Notes, rapidement devenues célèbres, sur ce sujet.

Il commença, dégageant la notion générale de fonctionnelle des exemples particuliers qui avaient déjà été envisagés, à considérer une quantité qui dépend de toutes les valeurs d^uiie autre fonction^ quantité à laquelle nous donnerons avec M. J. Hadamard le nom de fonctionnelle. Comme une fonction peut être représentée par une ligne, la notion de fonctionnelle est presque identique à celle de fonction d^une ligne. C'est cette dernière expression que M. Volterra emploie de préférence, même lorsqu'il envisage l'aspect analytique du problème.

Généralisant la notion de variation de Lagrange, M. Volterra montre que la forme de variation considérée par Lagrange s'applique à une catégorie très générale de fonctionnelles ; mais la notion de variation est plus générale encore, et les fonctionnelles admettant

(') J. Hadamard, Leçons sur le Calcul des variations, p.

une variation ont dans l'ensemble des fonctionnelles la même importance que les fonctions admettant une différentielle dans l'ensemble des fonctions.

M. Volterra définit ensuite les dérivées d'ordres supérieurs, qui permettront d'introduire la notion de variations d'ordres supérieurs, et forme une série analogue à celle de Tajlor.

La suite des travaux de l'éminent analyste montre de plus en plus que le calcul fonctionnel est une extension de l'analyse ordinaire, et qu'à chaque chapitre de l'analyse ordinaire correspond un chapitre du calcul fonctionnel qui est souvent plus qu'une généralisation du précédent, par les circonstances qu'il présente et les horizons nouveaux qu'il découvre. Dès lors, la théorie se développe rapidement, tant par les travaux propres de M. Volterra, que par ceux des nombreux géomètres qui ont compris dès le début l'importance du nouveau domaine que celui-ci venait d'ouvrir à la Science.

4. Algèbre fonctionnelle et analyse fonctionnelle. — Ces travaux peuvent se grouper en deux chapitres distincts, que nous appellerons Valgèbre fcmc lionne lie et Vanalyse fonctionnelle. La première partie comprendra des problèmes où les inconnues sont des fonctions ordinaires, mais qui se rattachent au calcul fonctionnel par les méthodes employées pour les résoudre. L'analyse fonctionnelle, au contraire, comprend des problèmes où les inconnues sont des fonctionnelles, ou d'une manière générale des problèmes que l'on ne peut concevoir indépendamment de la notion de fonctionnelle.

11 était naturel que le développement de l'algèbre fonctionnelle précédât celui de l'analyse fonctionnelle. Avant d'étudier en euxmêmes les nouveaux problèmes que pose l'introduction de la notion abstraite de fonctionnelle, les mathématiciens ont dû se persuader de l'intérêt de cette notion, en constatant que le fait de considérer comme variables les fonctions figurant dans divers types d'équations fonctionnelles donne des procédés nouveaux et féconds pour résoudre ces équations. En efï'et, les travaux relatifs aux équations intégrales ou intégro-différentielles, qui constituent peut-être la plus belle conquête des mathématiciens depuis le début de ce siècle, se rattachent à ce que nous venons d'appeler l'algèbre fonctionnelle. S'il est possible d'exposer ces travaux sans mettre en évidence le rôle joué par la notion de fonctionnelle (et cela n'a rien d'étonnant puisque les