APPLICATIONS A LA NOTION DE MOYENNE

Sommaire : La mesure des volumes et des surfaces. — La notion d'intégrale. — La variation de l'aire d'une surface. — Relations entre un volume et la surface qui le limite. — Variation d'un volume. — Les variétés à <» — 'i dimensions. — Décomposition en carrés d'une forme quadratique. — Forme normale de Gâteaux. — Forme normale quelconque. — Forme générale. — Le volume de l'ellipsoïde. — Les sections planes de l'ellipsoïde. — L'indicatrice et la courbure totale d'une surface. — La courbure géodésique totale et le théorème de Gauss. — Propriétés des surfaces parallèles. — Propriétés des contours parallèles tracés sur une surface. — La notion de valeur moyenne dans le cas des surfaces convexes. — Classification des surfaces et des volumes au point de vue de l'aspect de la notion de moyenne. — Remarques diverses.

48. La mesure des volumes et des surfaces. — Nous avons vu au Chapitre II que la mesure d'un volume ou d'une surface était en général nulle ou infinie, et pour cette raison, aux notions de volumes et d'intégrales multiples, nous avons substitué celle de moyenne, qui conserve un sens. Il peut pourtant être utile de parler de volumes et de surfaces comme de quantités mesurables, et d'employer la notation d'intégrale de volume ou de surface. Gela est possible dans les conditions suivantes :

Si la /i'^™'' section V;^ d'un volume V a pour mesure ^(«), on peut dire, en employant la notation des nombres transfînis, que V a pour mesure cD(to), la notation c5((jl)) désignant l'ordre de grandeur de o(ai) pour n infini. Si les volumes V et V sont semblables, leur rapport d'homothétie étant /: >> i, les mesures deV„ et V'„ seront cp(/i) et k^<^{n)^ et à la limite on représentera par cp(ci>) et /:'^cp(to) les ordres de grandeur respectifs de V et Y'. Cette notation est com-

CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3l5

mode pour indiquer que ce ne sont pas des volumes ayant simplement des valeurs diflerentes, mais que leurs ordres de grandeur sont différents, le premier étant négligeable devant le second.

Pourtant une précaution est à prendre. Les mêmes considérations s'appliquant aux volumes et aux surfaces, il peut j avoir lieu d'écrire des relations entre les volumes, les surfaces et les longueurs. Mais nous savons que deux points de l'espace E,^, /i'^'"" section de l'espace fonctionnel au sens de Gâteaux, dont la distance comptée dans l'espace fonctionnel est r, ont pour distance dans l'espace E,/, non r, mais rn = r\/ n ; ainsi une sphère de rayon R a pour n^^^^ section une sphère de rayon Ry/Az. Si l'on voulait définir les longueurs, comme les surfaces et les volumes, par l'ordre de grandeur des grandeurs correspondantes dans l'espace E,/, on serait conduit à une définition de la distance différente de celle étudiée jusqu'ici.

On échappe aisément à cette difficulté, en remplaçant la figure considérée de l'espace E„ par une figure semblable réduite dans le rapport de ^ ii à i . Le volume de la sphère de rayon R sera alors mesuré par l'ordre de grandeur dans l'espace E^ de la sphère de rayon R, et non Ry/Ai. Cela peut être commode de dire que la az'*'"'*' section de la sphère de rayon R ayant l'origine pour centre a pour rayon réduit R.

On arriverait directement à un résultat analogue en prenant la n'^^'' section au sens du Chapitre III, n*' 4!2. La /^'^""^ section d'une sphère de rayon R est alors une sphère de rayon R si le centre est à l'origine, en tout cas de rayon R/^ tendant vers R et du même ordre de grandeur que la sphère de rayon R^ à un facteur près de la forme (i -f- £)", £ tendant vers zéro.

Mais on peut difficilement en calcul fonctionnel prendre ce point de vue comme définition de la mesure d'un volume. Sans doute la notion de l'espace fonctionnel rapporté à une infinité dénombrable de coordonnées rectangulaires facilite la conception des notions de volumes et de surfaces. Mais nous savons par le Chapitre III que le choix des coordonnées rectangulaires ou même l'ordre dans lequel on considère les coordonnées d'un système déterminé peut influer sur la valeur de la moyenne, c'est-à-dire sur la valeur relative des différentes parties d'un volume. La mesure d'un volume à ce point de vue n'aurait donc pas une expression bien définie. La plupart des

3l6 TROISIÈxME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

considérations qui suivent sont valables avec les différentes définitions possibles. Mais, lorsque nous voudrons préciser une définition déterminée, nous prendrons celle qui se rattache au point de vue de Gâteaux, avec la modification qui vient d'ctre indiquée, qui consiste à remplacer la n'^"''' section par la section réduite correspondante.