CHAP. III. — INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNÉES

rieur d'une sphère, est bien définie par ses valeurs à la surface; étant donnée une fonctionnelle uniformément continue, définie sur la surface, il existé une fonctionnelle harmonique et une seule, continue à l'intérieur de la sphère, et égale sur sa surface aux valeurs données;

2° La valeur d'une telle fonctionnelle au centre de la sphère est égale à la moyenne des valeurs qu'elle prend sur la surface.

Ces résultats sont vrais aussi bien au point de vue de l'espace fonctionnel qu'au point de vue de l'espace Q. Si la suite (i), qui définit le passage d'un point de vue à l'autre, est normalement dense, les fonctionnelles harmoniques sont les mêmes à l'un et l'autre point de vue. La moyenne d'une fonctionnelle uniformément continue sur une sphère, définie comme étant la valeur au centre de la fonctionnelle harmonique égale sur la surface à celle donnée, est donc la même à l'un et l'autre point de vue.

L'identité des deux notions de moyenne est donc établie, dans ce cas de la sphère, moyennant les hypothèses que la fonctionnelle considérée soit uniformément continue, et que la suite (i) soit normalement dense.

47. Un autre procédé consiste à établir que les formules de Gâteaux, relatives au cas des fonctionnelles de la forme

sont valables à notre nouveau point de vue et qu'il en est de même pour la forme plus générale, considérée n'' 18, obtenue en n'intégrant que sur une surface située dans le volume d'intégration précédent, du moins en imposant à ces surfaces la condition qu'aucun des t ne reste constant (sinon la fonctionnelle U ne serait pas continue). Les deux notions de moyenne reviendront alors au même, dans le cas de la sphère, pour les « polynômes généralisés », sommes de fonctionnelles de cette forme, et pour les séries uniformément convergentes de tels polynômes, c'est-à-dire pour une catégorie très étendue de fonctionnelles uniformément continues.

Or les formules de Gâteaux, d'après le n° 19, reposent essentiellement :

1° Sur la loi de probabilité de ^(t), d'où résulte que ^[^(t)] a

pour valeur moyenne

('2o) -= / cp(0^ ^'d^\

2*' Sur l'indépendance des lois de probabilité de :r(T, ), :r(T2), .. ., ^(t;,), en désignant par t,, T:,, ..., ip des nombres distincts de l'intervalle (o, i).

Il suffit de démontrer que notre nouveau point de vue ne change rien en ce qui concerne ces lois.

Pour avoir la loi de probabilité de

dans la sphère S, il faut d'abord chercher celle de

(21; OCn{') = «i/i(t) + «2/2('^)+. . •+ anfni-^)

dans la sphère S„. Or Xn{'^) est la distance à un plan, multipliée par y//iF„(T); sa loi de probabilité est celle relative à la distance à un plan, dans la sphère de rayon Ry//iF„(T). Si ^«(t) tend vers i, on arrive donc à la même loi de probabilité qu'au n° 19. Comme F„(t) converge seulement en moyenne vers, i , il peut y avoir exception pour certaines valeurs de t, constituant un ensemble de mesure nulle. Mais cela ne peut faire aucune différence pour l'étude des fonctionnelles continues, qui ne peuvent pas dépendre des valeurs de x pour les points d'un tel ensemble. Ainsi, pour une fonctionnelle du type

(22) / ?[^(^), t] dt,

do

la formule de Gâteaux est certainement applicable. C'est seulement pour des fonctionnelles dépendant de certains points particuliers, telles que cp[j;(':)], qu'il peut arriver que cette formule ne s'applique pas à notre nouveau point de vue.

Cherchons maintenant si les lois de probabilités de .'r(Ti), ^(t2), ..., oci^-Zp) sont indépendantes, t,, T2, ..., t^ désignant des nombres, tous différents, de l'intervalle (0,1).

INous savons que les distances à p plans d'un point de la sphère S ont des lois de probabilités indépendantes, à condition que ces plans soient distincts. Or deux de ces plans, correspondant à des valeurs t et T du paramètre ^, étant les limites des plans F„(^)r=o et F,j(t)=o de l'espace E^, leur angle 9 est la limite de l'angle 0,^ défini par la

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formule

COS ijfi =

v/F„(OF„(x;

et il n'j aura aucune difficulté si cette limite existe et n'est pas nulle, ou du moins si 9,^ reste, quand 7i augmente indéfiniment, supérieur à un nombre positif s (et inférieur à t: — e).

Or F,i(t) et F/i^-z) convergeant en moyenne vers i, et F^(^, i) tendant en général vers zéro, puisque t et t sont différents, cosO,^ tend en gênerai vers zéro, et y^ vers - •

Supposons la suite (i) normalement dense. Les points exceptionnels ^, T (autres que ceux de la droite t^=^i)^ pour lesquels il n'en serait pas ainsi, constituent un ensemble de mesure nulle en projection sur chacun des deux axes. Comme nous ne considérons que des fonctionnelles continues, on peut changer les valeurs àe,x{t) pour les points d'un tel ensemble sans changer la valeur de la fonctionnelle, et il est indifférent que les lois de probabilité de x{t) et x{i)^ ^ et T étant deux de ces points, ne soient pas indépendantes. Le théorème énoncé est donc démontré.

Plaçons-nous maintenant dans le cas des suites également denses; les lois de probabilité de F(^) et F(t) peuvent alors cesser d'être indépendantes pour certaines lignes exceptionnelles. Les formules de Gâteaux, et par conséquent notre théorème sur l'identité des deux définitions de la moyenne, subsistent si la fonctionnelle U est normale, c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas de groupes de points distincts jouant un rôle particulier, et même dans le cas plus général où sa variation seconde a la forme normale, c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas de couples de deux valeurs distinctes de t^ soit t et t, jouant un rôle particulier; cela signifie que l'intégration par rapport à ^ et t (celles par rapport aux autres variables ti étant supposées effectuées) est effectuée dans une aire ou sur la ligne / = t, mais pas sur une ligne exceptionnelle; il importe peu alors que pour les points d'une telle ligne les lois de probabilité de x{^t') et xi^-z) cessent d'être indépendantes. Le résultat subsiste encore, naturellement, si ô^U n'étant pas normale, sa définition introduit de telles lignes exceptionnelles, mais qu'elles soient distinctes des lignes exceptionnelles relatives à la suite (t).