Plaçons-nous maintenant dans le cas de l'ellipsoïde

32) U = A,af 4- A2a|4-. . .-h A,ja,^^. . .= i,

les A„, tous positifs, ayant une limite fmie et non nulle —> Les longueurs des demi-axes tendent vers L, et peuvent être tantôt inférieures, tantôt supérieures à cette valeur. On peut appliquer le principe du raisonnement précédent, en cherchant séparément les plus grands et les plus petits demi-axes de la /i'^™** section. On trouve ainsi que les demi-axes de cette section tendent respectivement

vers -7=.) -7=^» • • •) le nombre de ceux qui ne sont pas compris entre v/â; y/As M F F

L — £ et L-f-£ restant fini, quelque petit que soit s. f^e rayon de la

sphère équivalente tend alors vers L.

On peut même obtenir un résultat plus précis, dans le cas où le

produit

a une limite déterminée, finie, infinie ou nullef, mais indépendante de

l'ordre des facteurs, c'est-à-dire quand la série 2( A„— -r^ ) n'est pas

semi-convergente. Ce produit représente le rapport du volume de la sphère de rayon L dans l'espace E/^ à celui de la section de l'ellipsoïde (82) par le plan des a< «o- • • ^//« Si au lieu de cette section on considère la /i'^°* section de l'ellipsoïde dans un système quelconque, on démontre que le rapport du volume de la sphère de rayon L dans l'espace E„ à celui de cette /^'^'"° section a la même limite, finie, infinie, ou nulle. Ce résultat donne une idée plus précise du volume de l'ellipsoïde (32) que ne le fait la connaissance du rayon L de la sphère équivalente.

73. Dans les cas que nous venons de considérer, les demi-axes ont une limite, finie ou infinie. Si par exemple cette limite est finie et égale à L, on peut, e étant arbitrairement petit, couper la surface par un plan diamétral à w — p dimensions (p étant fini), de manière que tous les points de la section soient à une distance du centre comprise entre L — s et L-f-e. Cette section est presque une sphère, et le fait que dans les directions conjuguées, en nombre fini, les demi-diamètres soient différents de L, ne change pas l'ordre de grandeur du volume. Ces circonstances ne sont possibles que dans le cas du spectre discontinu. Il reste à étudier le cas où, le spectre étant discontinu, les demiaxes n'ont pas de limite, et le cas du spectre continu ou mixte.

Dans ces cas, les demi-axes n'ayant pas presque tous la même valeur, leur ordre n'est pas indiflerent, et le choix de la /i'^™^ section que l'on considère ne l'est pas non plus. Il faut alors se placer au point de vue indiqué n<* 48, lié au point de vue de Gâteaux. Comme il est souvent plus commode de se placer au point de vue du Chapitre III, il est intéressant de se demander dans quel cas ces points de vue sont équivalents. Il est probable que, comme c'était le cas dans l'étude de la moyenne, il j a équivalence des deux points de vue, soit pour une fonctionnelle U normale et une suite également dense, soit pour une fonctionnelle générale et une suite normalement dense. Nous ne l'avons pas démontré rigoureusement.

74. Nous allons montrer dans un cas particulier qu'il en est bien ainsi. Considérons l'ellipsoïde U= i, U désignant la fonctionnelle

(33) 11= r [xHt)-hx(t)x(\ — t)^x'^{i — t)]dt

Pour définir ce volume, nous devons considérer sa (/i — lyème ^qç, tion réduite, en nous plaçant dans le champ des fonctions simples d'ordre n — i , ayant une valeur constante Xi^n — i dans chacun des intervalles ( — -— y -— — — \ . En groupant les termes d'indices i et n — f, U apparaît comme somme de termes de la forme

1XiXji.i+ '2Xf,i= o ( — ) -+- / —

Le terme d'indice - pouvant évidemment être négligé, si n est pair et suffisamment grand, les demi-axes sont égaux, la moitié à i, l'autre

moitié à — r^/ Leur moyenne géométrique, ou rayon de la sphère équi-

valente, tend donc vers j-y tandis que la valeur moyenne de U sur la

sphère de rayon i est égale à 2.

Prenons maintenant un système de coordonnées orthogonales, définies par des fonctions /n{t) de période i, et qui soient toutes paires ou impaires. Désignons par «„ les coordonnées correspondant

aux fonctions paires et bn celles qui correspondent aux fonctions impaires. La fonctionnelle U prend la forme

Pour que les demi-axes aient bien pour moyenne géométrique j^t

il faut et il suffît que les fonctions /,/(^) soient rangées dans un ordre tel que les n premières fonctions comprennent un nombre de fonctions paires équivalent pour n infini à - • C'est précisément la condition pour que la moyenne des coefficients soit = 2, c'est-à-dire

pour que la valeur moyenne de U sur la sphère /- = i soit bien 2.

Par généralisation, il est naturel de penser que les conditions pour que la moyenne géométrique des demi-axes soit la même aux deux points de vue, sont les mêmes que les conditions pour que la moyenne de U sur la sphère de rayon i soit la même aux deux points de vue ; ces conditions seraient donc que la suite des fonctions y'«(^) soit normalement dense, ou du moins n'admette comme ligne exceptionnelle aucune ligne qui le soit aussi pour la fonctionnelle U.