Considérons maintenant le cas où U est de la forme

(34) • u= r 6(/)^no^^

la fonction '^{t) étant positive ou exceptionnellement nulle. Sa j^ième section réduite est la fonction

où ^i désigne la moyenne de 'i>(^) dans l'intervalle ( — —> -j-

L'ellipsoïde iin = i est donc équivalent à une sphère de l'espace E,i de rayon Ln défini par la formule

de sorte qu'à la limite, le rayon de la sphère de l'espace fonctionnel équivalente à l'ellipsoïde U = i est la moyenne géométrique des

valeurs de . c'est-à-dire le nombre positif L défini par la

formule

Ce rayon est évidemment infini si la fonction '^(^) est nulle pour les points d'un ensemble de mesure positive. Mais il reste fini si ^{>(^)est une fonction continue ayant en un point une racine d'ordre entier.

Il est facile de passer de ce cas au cas plus général où U est une fonctionnelle normale du second degré,

(35) U= r ^{t)x'^(t)dt-{- f f 'f(t,z)x{t)x{z)dtdz.

La présence de l'intégrale double, qui peut é\idemment changer le signe de U pour certaines fonctions x{t) et par suite la nature de la quadrique U = i , ne peut pas changer le rayon de la sphère équivalente, si cette quadrique reste un ellipsoïde. Cela tient à ce que cette intégrale est du type (3i) et par suite, quelque petit que soite, inférieure à s/'^ dans un plan à to — p dimensions, p étant fini. Les p dimensions ainsi négligées sont sans importance (sauf dans le cas où le carré d'un des demi-diamétres correspondants devient infini ou change de signe; mais dans ce cas la quadrique L ^ i cesse d'être un ellipsoïde). Pour les directions du plan à w — p dimensions considéré, l'intégrale double est négligeable devant l'intégrale simple^ à moins que celle-ci ne soit elle-même très petite par rapport à/"^; mais les directions pour lesquelles il en est ainsi, ou bien peuvent être négligées, ou bien ne le peuvent pas, et dans ce dernier cas le rayon de la sphère équivalente à l'ellipsoïde est infini, et le reste après addition de l'intégrale double. (Il n'y a d'ailleurs aucune difficulté à préciser ce raisonnement et le rendre parfaitement rigoureux.)

76. Plaçons-nous dans le cas où la quadrique L = i est un ellipsoïde, et considérons les trois quantités suivantes : i" Le rayon L de la sphère équivalente;

2^ La valeur moyenne de — sur la sphère r'^ =z \ (ou à son intérieur, ce qui revient au même); nous la désignerons par j^; l est alors

le rayon de la sphère sur laquelle U est en moyenne et, par suite^, presque partout, égal à i.

3*^ La valeur moyenne de — à l'intérieur de l'ellipsoïde U = i ; nous la désignerons par — • (Il résultera de la suite que c'est aussi la valeur

moyenne du même rapport sur la surface de l'ellipsoïde.)

Il existe une relation d'inégalité entre /, /' et L. Pour l'établir, considérons d'abord la «"'"'' section de l'ellipsoïde. Son équation, rapportée à des axes convenables, est de la forme

Al a| -H A2 a| H- . . . -t- A,j «2 __ I

Les quantités Z^^, l'^^ et L,^, analogues à /^, l''^ et L^, mais relatives à cette n'^'"'' section, sont les moyennes harmonique, arithmétique et .géométrique des carrés des quantités )./=:—, carrés des demi-axes. On a donc

Elles tendent respectivement vers /, L, /'. On a donc

Ce résultat est facile à interpréter géométriquement. Si, en chaque point M de la sphère r'^ =z \ ^ on désigne par A la longueur du demidiamètre de l'ellipsoïde qui passe par ce point (en d'autres termes,

si l'on désigne par c- la valeur de U en ce point), A est sur presque

toute la sphère égal à /. Mais, si l'on passe de la sphère à l'ellipsoïde en faisant se correspondre les éléments situés sur un même rayon, les éléments pour lesquels X>/ sont « tellement grossis », qu'ils peuvent constituer, après cette opération, presque tout le volume de l'ellipsoïde, bien que ne constituant auparavant qu'une fraction négligeable de la sphère. Le volume de l'ellipsoïde peut être ainsi le même que si X avait une valeur constante L >> /.

On s'explique de même, en intervertissant les rôles de la sphère et de l'ellipsoïde, que l'on ait L^/'. Rappelons qu'au n" 23 nous avons déjà établi et expliqué géométriquement l'inégalité l^l' sans faire intervenir L.

Il est intéressant de se demander dans quels cas on a l'égalité

Il est évidemment nécessaire et suffisant pour cela que, dans le calcul

des moyennes (harmonique, géométrique, ou arithmétique) des carrés des demi-axes, ceux de ces demi-axes qui ne sont pas compris dans l'intervalle (L — e, L-|-e) aient, quelque petit que soit s, une influence négligeable. Cela n'est pas possible dans le cas du spectre continu, tout intervalle fini contenant des valeurs des demi-axes ayant un poids fini. Gela sera réalisé dans le cas du spectre discontinu, si les demi-axes ont une limite. Mais cela peut être réalisé sans qu'il y ait une limite.

Supposons en effet les fonctions /„ (t) rangées dans un ordre normal. Si l'on choisit une suite d'indices ai^, /?2, . . . , ai^, ... ? tels que

le rapport — ' devienne infini, c'est-à-dire tels que leur densité

moyenne — tende vers o, les demi-axes correspondants n'ont aucune

influence sur le calcul de la moyenne; ils peuvent ne pas tendre vers la même limite que les autres sans que l'égalité (S^) cesse d'être vraie. La condition nécessaire et suffisante pour que cette égalité soit vraie est donc que, si petit que soit e. la suite des indices rip correspondant à des demi-axes non compris entre L — z et L 4- e, soit

finie, ou telle que sa densité moyenne — tende vers o. Nous dirons

np

que, dans ce cas, les demi-axes de Tellipsoïde tendent pi-esque tous vers la limite L(').

Bien entendu, il résulte de ce raisonnement que l'une des égalités / = L et L = /' ne peut être vérifiée sans que l'autre le soit.

77. Les sections planes de l'ellipsoïde. — Nous avons déjà observé que la géométrie de l'espace fonctionnel, et celles des plans à to — i ou à co — p dimensions, sont identiques, du moins en ce qui concerne les propriétés liées aux notions d'angle et de distance. Telles sont celles qui concernent les axes d'une quadrique, à l'extrémité desquels le plan tangent est perpendiculaire au rayon. Aussi renconlre-t-on dans l'étude des axes d'une section plane les mêmes cas que dans

(') Dans la suite, nous emploierons l'expression presque tous, en parlant d'élémenls liés aux fonctions d'une suite orthogonale, lorsque, ces fonctions étant rangées dans un ordre normal, la proportion — des indices négligés tend vers o. Qu'il

s'agisse de tels éléments, ou d'éléments dépendant d'une fonction arbitraire, les mots presque tous, qui reviennent souvent dans celte étude, signifient donc toujours « en négligeant des éléments sans influence sur la valeur de la moyenne ».

35o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

l'étude de ceux de la quadrique : spectre continu ou discontinu ; longueurs des axes ayant une limite ou n'en ayant pas ; dans le cas de l'ellipsoïde inégalité (36) ou égalité (37).

Il reste à étudier les relations entre les propriétés de la quadrique et celles de la section plane. La circonstance essentielle que cette étude mettra en évidence est que ces propriétés sont les mêmes ; en ce qui concerne les différents cas que nous venons de distinguer, une cpiadrique et toutes ses sections planes se rattachent au même cas ; les valeurs des moyennes /, L, /' sont les mêmes pour un ellipsoïde et toutes ses sections planes. 11 ne peut y avoir d'exception que pour les propriétés pouvant être modifiées par un changement ne portant que sur un axe, comme c'est le cas pour la nature des quadriques au point de vue de la réalité des directions asymptotiques.

Il suffit d'ailleurs d'étudier la relation entre une quadrique et sa section par un plan à (o — i dimensions. Dans ce plan, on étudie de même la relation entre la section complète et sa section par un plan n'ayant plus que w — 2 dimensions, et ainsi de suite. Les résultats ainsi établis en ce qui concerne les plans à w — i dimensions s'étendent donc aux plans à to — p dimensions, p étant fini. Bien entendu, il ne peut être question d'aller beaucoup plus loin (*) ; ainsi les propriétés des sections par des plans à un nombre fini de dimensions sont toutes différentes, et les longueurs de leurs axes sont sans influence sur le calcul des valeurs moyennes /, L, /'.

78. Commençons par indiquer comment les calculs se présentent en pratique. Soit à étudier la section de la quadrique U == i par le plan V = o, les fonctionnelles U et V étant homogènes, de degrés respectifs 2 et i. A l'extrémité d'un axe, les plans tangents à la quadrique et à la sphère / - = const., passant par ce point, ne seront pas

(^) Nous disons à dessein beaucoup plus loin; on peul, dans certains cas, aller un peu plus loin. Si les axes sont rangés dans un ordre tel que la suite des fonctions correspondantes soit normalement dense, et si l'on considère ceux d'indices

n , le rai)port — devenant infini avec /?, l'ensemble de ces axes est

analogue par certaines propriétés à l'ensemble d'un nombre fini d'axes; il n'influe pas sur le calcul des moyennes, comme nous l'avons vu au n" 75. Le plan formé par tous les autres axes est, par contre, analogue à un plan à m — p dimensions, p étant fini; on peut, en employant le même langage qu'au n» 75, dire qu'il conl'icnlpiesque tous les axes.

nécessairement confondus; mais leurs intersections avec le plan sécant sont confondues. On a alors

(38) 8(U-+-yV— ^/'2) = o,

P et y désignant des constantes convenables. Cette condition caractérise les points des axes, et les longueurs des demi-axes sont les

valeurs de —;=•

Plaçons-nous dans le cas du spectre discontinu. La fonctionnelle U peut alors se mettre sous la forme

les a„ étant finis, puisque U est continu, et le système des axes des a^, «2? •••, «7i, ••• étant supposé complet, ce qui est toujours possible en écrivant autant de termes nuls cju'il est nécessaire. La fonctionnelle V étant alors de la forme S Cn an (les c„ étant tels que la série ^cl soit convergente), la condition (38) donne, pour toutes les valeurs de /i,

Tij-ant a,i de cette formule, et portant la valeur obtenue dans la condition V^ o, on a l'équation

qui détermine les valeurs de [^, inverses des carrés des demi-axes.

Si, par exemple, les a« sont des nombres positifs décroissant constamment, il résulte immédiatement de la variation du premier membre de l'expression (39) qu'entre deux a,, consécutifs existe une racine de l'équation (39) et une seule. Gela donne une relation très nette entre les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde considéré et <le ceux de sa section plane.

Dans des cas plus généraux, la conclusion est moins simple. Si les valeurs des a„ sont denses dans un certain intervalle, le premier membre de l'équation (39) est une fonction analytique d'un type considéré par M. Borel dans ses Leçons sur la théoiie des fonctions^ qui admet tous les points de cet intervalle comme points singuliers ; la discussion de l'équation (39) ne peut plus se faire d'une manière aussi élément ai l'e.

Pour pouvoir conclure dans tous les cas, même dans le cas du spectre continu où l'application directe de la formule (39) est impossible, nous emploierons la méthode du passage du fini à rinfini, en considérant la 71'^^^ section de la figure constituée par l'ellipsoïde et sa section plane, et faisant augmenter n indéfiniment.

Dans l'espace à n dimensions, les n quantités a,, a^ , . . . , a„ élant supposées distinctes et rangées par ordre de grandeurs croissantes^ les n — I racines de l'équation (ig) sont respectivement situées dans les intervalles (a, , 7,2), (aa, ag), . . . , (a^^., , a„). Si plusieurs des a sont égaux, si par exemple aL/i^i = (f.h+'i = . . . = y-h+k, il est évident géométriquement que cette valeur correspond k k — i axes égaux de la section plane [bien qu'elle ne vérifie pas l'équation (Sg) ; cela tient à ce que dans ce cas le facteur y, que nous avons laissé de côté en écrivant cette équation, est nul]. On peut donc toujours dire qu'entre deux valeurs consécutives des a„, égales ou non, est située une valeur et une seule de j3 correspondant à un demi-axe de la section plane.

A la limite, n augmentant indéfiniment, l'ensemble des valeurs limites des oli constitue le spectre de la quadrique. ( Il est indifférent

d'appeler spectre l'ensemble des valeurs des a ou des quantités /.=:-; nous adopterons dans chaque cas la définition la plus commode; (;'cst ici la première. ) D'une manière précise, si a est un noml^re du spectre, et e un nombre arbitrairement petit, il existe dans rintervallc (a^£, a-f-s) au moins 'un nombre a/, pour toutes les valeurs de n suflisamment grandes (et non seulement pour une infinité de valeurs croissantes). De même, l'ensemble des valeurs limites des jj constitue le spectre de la section plane. La relation obtenue entre les a et les [i donne alors immédiatement les résultats suivants :

i^ Si a' et ol" sont deux nombres a du spectre de la quadrique, et qu'il n'y ait aucun autre nombre a dans l'intervalle (a', a), il y a dans cet intervalle un nombre p et un seul, et réciproquement ;

2" Si un nombre a' est limite d'une infinité de nombres a, il est aussi limite d'une infinité de nombres j3, et réciproquement ;

3" Si l'ensemble des nombres a est dense dans un certain intervalle (a', a"), l'ensemble des nombres ^ est dense dans le même intervalle^ et réciproquement;

4** Il n'y a aucun nombre j3, ni entre le plus grand des a et +20, ni entre le plus petit des a (algébriquement) et — 00.

CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3i3

79. L't\ section (l'un ellipsoïde est toujours ellipli([ue. Mais la seclion (Fun hyperholoVde peut l'être aussi. Clierchons la condition nécessalr-e el sidtisanle pour que la section de la quadrique U =: i paile plan \ = o soil réelle et elliptique.

Le plan V = o adniel le même diamètre conjugué par ra|)porl à toutes les (|uadriques U -f-X V- := i. On peut toujours déterminer )v, de manière que U + ^^V- soit positif sur ce diamètre, et par suite, si la section considérée est elliptique, dans tout l'espace fonctionnel, sauf à lOrigine. Il est donc nécessaire, et évidemment suffisant, qu'on puisse déterminera de manière que la forme U-j-XV^ soit définie positive.

80. Nous savons que pour calculer les nombres / et /', qui se ramènent à des moyennes sur une sphère, il suffit de connaître sur un grand cercle les quantités dont on a à chercher la moyenne. Gela revient à dire que / et /' ont la même valeur pour un ellipsoïde et une section plane (dont le plan contienne le centre).

Le même résultat est vrai pour le nombre L, raycni de la sphère équivalente à l'ellipsoïde. Démontrons-le par la méthode dvi passa<>e du fini à l'infini.

Soient, dans la //'^""' section, L„ le rayon de la sphère écjuivalente à l'ellipsoïde, \u[^ la quantité analogue relative à sa section par un plan contenant le centre, /i,i la distance à ce plan des plans parallèles tangents à l'ellipsoïde. Ces quantités tendent, pour n infini, vers les quantités I^, L', h définies de la même manière dans l'espace fonctionnel. D'ailleurs // est fini (autrement le diamètre conjugué du plan sécant considéré étant infini, la quadrique considérée ne serait pas un ellipsoïde). La formule évidente

\^n lUh,

donne à la limite p =: i , sauf peut-être dans le cas où L' est infini ;

mais, dans ce cas, L l'est aussi, et Ton peut toujours écrire L = L'.

On sait d'ailleurs que les valeurs de /, L et /' pour l'ellipsoïde peuvent varier suivant la manière dont on définit la n}""^^ section. D'après ce qui précède, pour chaque définition, ces quantités auront

liWy. 23

3J4 TROISIEME PARTIE. — MOYENNIi lUNS LE DOMAlNi: FONCTIONNEL.

I('« mêmes vaU'uis pour rellipsoïdc el pour loiilcs ses scclioiis planes ( [)ar (les plans à to — i ou w — /; dimensions, cpii eonli<'nneiil l(; eentre). Si <k)n€ les suites df fonetions iioraialemenl denses jouissent biendeeette propriété (pie nous axoie cnonccc comme li'ès prol)able, de conduire au même résidtat que le point de vue de Gâteaux, non seulement pour / et /', mais aussi pour L, eela est vrai, non seulement poiii rellipsoïde de l'espace fonctionnel, mais pour to(ile> ses sections planes.

8J. L'indicatrice et la courbure totale d'une surface. — Soil une surface S, passant par Fori^ine. Nous la l'eprésenterons. comme au n"" !2i, par l'équation

U = L'i-+- - Ua-i-. . .=^ o,

L| et (J.j étant des fonctionnelles homogènes de degrés respculifs i et 2, dont nous supposons essenriellement qu'elles ne sont pas idenlupiement nulles. On peut alors, en multipliant L par un facleur convenable, supposer A, Ui = i . 11 suffira de nous placer dans ce cas, les formules générales s'()l)tenant sans peine en rempla(;ant U

par . La distance d'un point de la surface, \()isin de Forigine,

au plan tangent U< = o, est alors équivalente à- LU, et la courbure

des sections normales est -f •

U indicatrice de la surface à l'origine est la section de la quadrique Uo = 1 par le plan U) == o. Le rayon de courbure de la section normale est alors égal au carré du rayon de l'indicatrice.

Les résultats obtenus relativement aux ^^ections planes des quadriques s'appliquent à 1 indicatrice. On sait donc reconnaîtrez si l'indicatrice est elliptique (ce qui ne suffît pas, d'après ce que nous avons vu aux n*^* 63 à 6o de la première Partie, pour que la surface soit, dans le voisinage du point O, tout entière du même côté d(; son plan langent). Les axes de l'indicatrice définissent les directions principales et les rayons de courbure principaux .

On peut de même former, uniquement en connaissant U2, et sans connaître U| (pourvu que A, Uj = i), les nombres /, L et /' relatifs

à l'indicatrice. Le nombre j^» moyenne de U2 sur la sphère r^ 1= i ,

égal à la valeur de AU à l'oriolnc, est la courlMire moyenne K déjà considérée. Ce sera la moyenne des courbures des sections principales, si ces directions sont ran<;ées dans un ordre normal, ou si les valeurs correspondantes de la courbure ont une limite.

Le nom-bre R= L- est ce que nous appellerons le rayon de courbure totale de la surface; c'est la moyenne géométrique des rayons de courbure, rangés dans un ordre normal.

82. La notion de courbure totale est liée à celle de représentation sphérique. Bien que ces notions soient susceptibles de généralisation, nous nous placerons dans le cas des surfaces convexes, situées tout entières du même côté de chacun de leur plan tangent.

Soit A un point de la surface S. Soit OM un vecteur de longueur unité, parlant de l'origine, et parallèle en direction et sens à la normale en A à la surface, dirigée du côté de la convexité. Le point M est par définition la représentation sphérique du point A; quand A se déplace sur la surface S, il décrit, sur la sphère /-^^ i, une figure qui est la représentation sphérique de celle décrite par A.

Lorsque le point A décrit une aire S', le point M décrit une

S' aire S'. Le rapport ^ est par définition la courbure totale moyenne

<le l'aire S'. Sa limite, pour une aiie S' de dimensions très petites voisine d'un point A, est la courbure totale de la surface S en A.

Il résulte immédiatement de cette définition que l'intégrale de la courbure totale dans une aire finie S' est égale à l'aire S' correspondante. En particulier, l'intégrale de la courbure totale sur une surface convexe (') fermée est égale à la surface de la sphère de rayon i, soit à (o, avec les unités indiquées n° ol ; on peut dire encore qu'elle est égale à l'angle solide total.

Cette courbure totale est liée au rayon de courbure totale R. Remarquons que, dans le voisinage d'un point A, la représentation sphérique peut, sans erreur sur le rayon des sphères d'un plan à to — i dimensions équivalentes aux aires considérées, être assimilée à une transformation linéaire dans le plan tangent.

(') 11 esl évidemment possible d'étendre cet énoncé au cas de surfaces non convexes; mais il faut définir dans ce but le signe de la courbure totale; cette question paraît assez délicate, surtout si sur certaines parties de la surface il y a une infinité de rayons de courbure principaux de chaque signe.

PJaçoiis-iious (l'ahord dans la //'♦^'»'' scMlion. Les ji — - i direclic^ns [)rliic'i|)al('s soiil conservées en dliecliun, mais les longueiirs corres-

pondanles sont agrandies, si l'on passe de la sphère à la surface S, dans d(^s rapports égaux: respeclivenienl aux lavons de courbure correspondants, c'est-à-dire aux carrés de> demi-axes de rindicatrie<\

Si Ton désigne par L,, la moyenne géométrique des demi-axes, et R„= 14 celle des rayons de courbe principaux, le rapport des aires correspondantes de la surface et de la sphère est L"~'.

Passons à la limite; nous voyons que la courbure totale est y-^?

c'est-à-dire que les aires, déformées en général, sont en moyenne agrandies dans le voisinage du point considéré comme si S était une sphère de rayon L.

L'inégalité (36), appliquée à l'indicatrice, donne entre le rayon de courbure totale et la courbure moyenne l'inégalité

< io) ^'^k

L'égalité est possible, dans les mêmes cas que l'égalité {'^j). c'està-dire dans le cas où les rayons de courbure principaux tendent presque tous vers une limite.

En particulier, une surface minima convexe a sa courbure totale nulle. Il existe de telles surfaces. Leur équation peut, avec des axes convenables, s'écrire

les \,i étant positifs, ayant une limite inférieure positive, et devenant presque tous infinis. Tel est le cas en particulier si U est une fonctionnelle de Gâteaux, normale, et définie positive.

83. 11 peut arriver que le rayon de courbin-e totale soit indéliMminé; lors([u'un seul des rayons de courbure principaux est infini, cela suffit pour que la moyenne géométrique des n premiers rayons de courbure (les directions principales étant rangées dans un ordre normal) soit infinie. Mais si l'on prend la /i'^™*' section de la surface, au sens de Gâteaux, il n'arrivera en général pour aucune valeur qu'elle contienne l'axe infini de l'indicatrice; le |)lus grand demi-axe de la n^^""" section de l'indicatrice au^mente indéfiniment, mais en

ClIAP. IV. — MESURH DES VOLLMES ET DES SURFACES. 357

f;én(}ral pas assez vile pour que la moyenne, géométrique de ces demiaxes devienn<' inliuie.

Cette indétermination n'est autre que celle déjà signalée, en note du n*^ ol, dans le cas du cylindre /- — a-=i i, a désignant la distance à un plan. Si Ton considère son volume comme infini, on est conduit à considérer son rayon de courbure totale comme infini, el sa courl)ure totale comme nulle. Mais on voil aiséuu'iil qu'une surface de révolution inscrite dans ce cylindre et ayant a\ec lui un contact d'ordre 2 a un rayon de courbure totale tendant \(*rs i lorsqu'on se rapproche des points de contact; les deux surfaces ayanl un contact du second ordre, on est ainsi conduit à dire que le rayon de courbure totale du cylindre c^st i. On voit donc que des considérations différentes peuvent conduire à des conclusions différentes, et qu'il faut considérer le rayon de courbure totale comme indéterminé dans les conditions indiquées.

On peut naturellement avoir une détermination d'une autre nature, lorsque, les rayons de courbure principaux étant rangés dans un ordre normal, la moyenne géométrique des n premiers oscille entre deux limites, quand n augmente indéfiniment.

84. A la notion de courbure totale se rattache celle de courbure géodésique totale. Il est sans doute possible de généraliser en utilisant cette notion le théorème de Gauss sur l'intégrale de la courbure géodésique. Nous n'insisterons pas sur cette question.

80. Propriétés des surfaces parallèles. — Plaçons-nous d'abord dans l'espace E,,. Soit S une surface parallèle à une surface Sq, et située à une distance h. En deux points correspondants Mf, et M, les directions principales sont parallèles, et. les centres de courbure principaux C^, Co, . . ., Cn sont les mêmes pour les deux surfaces, de sorte qu'on a entre les rayons de courbure correspondants, a/eto/, la relation

d'où l'on déduit, pour la moyenne K,, des courbures principales de S, I / I I I

/i \ 7-1 — h ao — n y.fi

et

/ , s dKn I / I 1 I \

Or, pour une xalcur (loinice de K„, le luinlnuim du second membn^ esl léalisé lorsque tous les p/ sont égaiix; sa valeur esl K;,. Dans ce cas toutes les surfaces parallèles ont, aux poinis Mq el M, un contact du second ordre avec des sphères concentriques.

Dans tous les autres cas, on a donc

ou

;fe-')<-

formule qui indique que' le centre de courbure C, situé à la dislance -r^ du point M, a un déplacement en sens inverse de celui (le M.

On remarque d'ailleurs que, M variant entre deux centres de courbure consécutifs C^ et Gy sur la droite M^M, la courbure moyenin; \arie de — go à -+-20, s'annulant en un point et un seul, c[ue nous pouvons supposer être M^,. Les surfaces obtenues en faisant varier M de C/ à G/, autres que celle qui contient Mq, ont leur courbure moyenne non nulle au point M, la convexité moyenne étant du côté de Mq. Si alors on considère le.s éléments dS correspondant à un même élément cISq voisin de Mq, ils forment une sorte de tube à section variable, limité par des normales aux surfaces S. D'après la formule (i), la section maxima de ce tube correspond à la surface Sq, les sections décroissant des deux côtés, pour s'annuler aux points G/ et Gy.

86. Effectuons le passage du fini à l'infini. La formule (42) donne à la limite

dK

le symbole DXi désignant la moj^enne des valeurs de la quantité — ? toujours au moins égale à K-.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où cette moyenne est supérieure à K-. 11 en est ainsi dans le cas où différentes valeurs de p interviennent clans le calcul de la moyenne, c'est-à-dire où presque tous les rayons de courbures principauv ne tendent pas vers une limite,

niAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SIRFACES. 359

finie on infinie; eetle circonstance a d'ailleurs lieu en même temp> pour toutes les surfaces parallèles. Alors on a

ce qui montre que, non seulement K croît av(M: //, mais que — -\- h

décroil, c'est-à-dire que le centre de courbure moyenne G se déplace en sens inverse de M.

Si nous partons d'une surface S régulière en M, il n'y a aucun centre de courbure principal dans le voisinage de ce point; soient G, et Go les points de la normale en M, les plus voisins de ce point de part et d'autre, et qui soient centres de courbure principaux ou limites de tels centres. Tant que M se déplace entre G( et Go, les surfaces parallèles S sont régulières; au point G, et Go elles cessent de Tètre, les valeurs de la courbure des sections normales n'étant pas finies. Gomme il peut arriver qu'un seul des rayons de courbure principaux s'annule, cela ne suffit pas pour que la courbure moyenne devienne infinie, et K croît entre G, et Go, mais non nécessairement de — ce à -j-c/D. On ne peut donc affirmer que K s'annule entre G| et Go. Mais, d'après la formule (2), si K s'annule, le tube lieu des normales à un élément c/S a, au point où K s'annule, non seulement une section maxima, mais une section dont l'ordre de grandeur est maximum, c'est-à-dire que le rayon de la sphère équivalente est maximum.

Plaçons-nous maintenant dans le cas où presque tous les rayons de courbure principaux ont une limite, qui est alors à la fois le rayon de courbure moyenne et le rayon de courbure totale; on a

alors — - = K-. doù résulte que le point G, centre de courbure

ah * ^

(moyenne ou totale) reste fixe quand h varie. Les sphères tangentes aux surfaces S et avant même courbure moyenne qu'elles sont des sphères concentriques. Le tube décrit par l'élément de section t/S a ses sections variant comme celles d'un cône de sommet G.

Jl peut arriver en particulier que le point G soit à l'infini, c'està-dire que les surfaces S aient leur courbure moyenne nulle en M. Nous allons considérer spécialement le cas où il en est ainsi pour tous les points de la surface S, qui est alors minima; on a une famille de surface minima parallèles, cl le tube, lieu des portions correspon-

36o TROISIÈME PARTIE. — MOVEN.NE DA>'S LE DOMAINE FONCTIONNEL.

dantes de ces surfaces, a une section, sinon constante, du moins telle que le rayon de la sphère équivalente soit constant.

Dans le cas général, partant d'une surlace minima So. on obtienl des surfaces parallèles tournant leur convexité moyenne vers Sq, et les aires S correspondant à une aire donnée Sq de So diminuent, lorsqu'on s'éloigne de So, de manière que le rayon de la sphère équivalente décroisse. Mais dans le cas où presque tous les rayons de courbure deviennent infinis, les surfaces S parallèles à Sq sont également minima, et les aires ^ correspondant à Faire Sq varient assez lentement pour que le rayon de la sphère équivalente soit constant. C'est une circonstance qui n'est pas possible dans l'espace E„, sans que les surfaces S soient des plans.

Cela ne veut même pas dire, d'ailleurs, que toutes les aires S soient du même ordre de grandeur, en ce sens que leurs rapports seraient des nombres finis et que la moyenne d'une fonctionnelle délinie dans le tube dépendrait de ses valeurs sur les |différentes sections. Il est facile de former une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi. Le rapport entre les aires élémentaires correspondantes dS et cISq est

ce produit étant entendu en supposant les directions principales

rangées dans Tordre normal. Lorsque la série N — sera absolument

convergente, cette condition sera sûrement réalisée. D'après les relations que nous avons établies entre les axes d'une quadrique et ceux de sa section plane, cela revient à dire, U = o étant Téqualion de la surface S et Uo la partie homogène du second degré dans le développement de U dans le voisinage d'un point quelconque de S, que la quadrique Ll2= i peut se mettre sous la forme

la série ^^— étant absolument convergente; la série ^^^ l'est aussi,

a fortiori^ de sorte que Uo est une fonctionnelle normale de Gâteaux.

87. Remarque. - Nous avons déjà remarqué que, envisagée loca-

lement, une surface niinima est presque un plan, en ce sens que la courbure des sections" normales est presque nulle dans presque toutes les directions. Cela ne veut pas dire que les courbures de presque toutes les directions principales soient nulles ou tendent vers zéro, et, la courbure moyenne, étant la moyenne de ces courbures, sera en général une moyenne au sens habituel du mot, des valeurs différentes ayant un poids fini dans le calcul de la moyenne. Ce cas étant le cas général, on peut, d'après ce qui précède, distinguer l(\s cas suivants, dans lesquels la surface minima ressemble de plus en plus à un plan, chaque cas étant un cas particulier du précédent :

i" Cas où, en chaque point, presque tous les rayons de courbure deviennent infinis; les surfaces parallèles à la surface considérée sont alors également minima, ce qui n'a pas lieu en général;

2^ Cas où tous les rayons de courbure deviennent infinis;

3*^ Cas où U2 est une fonctionnelle de Gateau\;

4** Cas où > — con\erge en tous les points, de sorte que les aires

correspondantes rS et -S' de deux surfaces parallèles ont un rapport fini.

88. Propriétés des contours parallèles tracés sur une surface. — Plaçons-nous dans l'espace E,/. Soit un contour Cq, variété d'ordre n — 2 tracée sur une surface S. En chaque point de la surface, soit/* la plus petite distance, comptée sur la surface, au contour Cq. Les contours C, d'équations A^const., sont les nctwlovw^ parallèles îiu contour Cq sur la surface S.

Les géodésiqu(^s d'ordre i, ou courbes (^lieux de points à i paramètre) ayant leurs plans osculateurs normaux à la surface, jouent dans l'étude de ces contours le même rôle que les droites dans l'étude des surfaces parallèles. Soit AqA une telle géodésique, partant d'un point Kq de C© normalement à ce contour; soient M et M' ses points d'intersection les plus voisins de Aq, des deux cotés de ce point, avec des géodésiques analogues inliniment voisines. Ils jouent le même rôle que, dans l'étude des surfaces parallèles, les centres de courbure les plus voisins de la surface.

Si 7 est la distance AqA comptée sur cet arc, le contour / = const. peut être appelé aussi contour parallèle à C^. Cette (h^inition se

362 TROISIÈME PARTfi:. INIOVKNXK DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

distingue de la précédente parce que / n'est pas nécessairement la plus petite distance de A au contour Cq. Il faut pour cela que A soit sur Tare MM', car dans le cas contraire / sérail supérieure à la distance de A à Co comptée sur une géodésique voisine de AqA et convenablement choisie; mais l'arc MM' peut ne pas convenir tout entier, car il peut arriver que la distance de A au contour C„, comptée sur une autre géodésique non infiniment \oiMnede AqA, soit inférieure à /. Certaines parties des contours / = const. peuvent donc ne pas convenir à la définition donnée d'abord des contoitrs parallèles. Les contours parallèles A = coust., identiques pour les petites valeurs de h aux contours /= const., s'obtiennent, lorsque // augmente, en supprimant des parties de ces contours correspondant à des parties de plus en plus grandes du contour initial. Ils décrivent la surface S une fois et une seule.

îSous allons étudier la variation de la mesure de ces contours successifs. Cette étude est liée à celle de la variation de la courbure géodésique moyenne Ko,^par laquelle nous allons commencer.

8^. La coEïrbure normale de la surface S étant connue, la courbure moyenne et la courbure géodésique moyenne d'un contour i] sont liées à l'angle H de son plan oscillateur avec la surface. Dans l'étude de la variation de 8, lorsqu'on passe de Co au contour paral-

lèle C en décrivant une géodésique normale à C, les éléments du troisième ordre n'interviennent pas, et l'on peut supposer la valeur 8o de B constante sur le contour Cq. La surface minima So, contenant Co et faisant avec S Fangie 0„, a un contact du second ordre avec la normale principale moyenne AoINf,.

Soit C le contour parallèle à (^o « une distance très petite ft. On

CIIAP. IV. — JIKSl HE DKS VOLl.AIES ET DES SURFACES. 363

peut rassiiiriicr à rinlersectiou de S avec une surface ^ parallèle à S,, à la (li^tanc(; // sin9„; Terreu]', inlininient petite du second ordre pai-

rapport à //, est sans influence sur la valeur de — •

Soit 0, l'angle que tont en A les surfaces S et 1\ Le j)lan langent à ^^ parallèle au plan tangent ^'o f'^i ^^^i point H \oisin de A^, la direction Jiniite de Ao H étant AoN^, est, av<'e une erreur infiniment petite du second (n-dre, parallèle an plan langent à -o <^'i^ '^o- La vaj'ialion 0| — 0^ provient chnic de ce que le plan tangent à S a tourne'', et est équivalente à — /,//, /r désignant la courbure normale de S dans la direction normale à (^o.

D'autre part, la surface S tonrne sa convexité moyenne vers Co ; la courbure géodésique moyenne de G, comptée positixement du côté des /i croissants, est donc plus grande que si S était minima, c'est-à-dive que 0^6,. On a donc

ou

Si alors la surface S est convexe, et qu'en tout point le rayon de courbure de la section normale soit inférieur ou égal à un nombre fixe R, pour toute valeur positive de A,

et par suite

,, . cotO ^ I /^ /A

La variation relative de la mesure © du contour C est d'ailleurs donnée |)ar la formule

OK désignant la moyenne. Donc log8 croît moins rapidement, ou décroît plus rapidement, que si K« était constamment égal à sa

limite inférieure ^ col(Bo— -jtJj atteinte dans le cas de la sphère de

rayon Pi.

Supposons cpie pour le coiilour iiiilial Cq, on ait K„=ro, c'eslà-dire que ce soit une géodcsique d'ordre n — 2, sur la surface considéiée. Dans le cas de la sphère de rayon R, cette géodésiquc esr sa section par un plan contenant le centre, et Q décroît jusqu'à o

(|uand h varie de o à ^^— . Dans le cas d'une autre surface, convexe,

et ayant le rayon de courbure des sections normales toujours au plus égal à R, le rapport de 9 a sa valeur initiale, décroît au moins aussi rapidement que pour la sphère, et s'annule pour une valeur

de A au plus égale à ^^-. Il en résulte évidemment, S' désignant Taire

ainsi décrite quand h varie de o à sa valeur maxima, et ^(a) Taire

décrite quand /i varie de o à a, que le rapport — ^ est, quel que

soit a, minimum dans le cas de la sphère. J^e même résultat s'applique pour la partie de S correspondant aux valeurs négatives de h. Par suite, la partie de S pour laquelle h est compris entre un nombre positif yJ et un nombre négatif a" constitue, quels que soient ces deux nombres, une fraction de la surface de plus en plus voisine de Tunité quand, R restant fixe, n augmente indéfiniment.

A la limite, dans l'espace fonctionnel, on obtient le résultat suivant : si une surface fermée convexe a le rayon de courbure de ses sections normales toujours au plus égal à un nombre fini R, et si Cq désigne une géodésique fermée (d'ordre to — 2) de la surface, le voisinage de Gq constitue presque toute la surface.