CHAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE

Soit à chercher pour coii)bien de points M, inlérieiirs à une surface S, le point P occupe une position donnée A. Quand M décrit la surface S, P décrit une surface fermée S, et le nombre cherché est égal à la valeur en A du potentiel dû à une double couche de densité unilé étalée sur la surface S.

Ce potentiel se ramène à une moyenne, sur une yplière S' de centre A, d'une fonction égale en chaque point Q au nombre de points P de S dont Q est la perspective, chacun d'eux étant compté pour -|- I ou pour — i suivant que la normale intérieure à S en ce point fait avec la direction PA un angle aigu ou obtus. On serait donc ramené à une moyenne sur une splière, si l'on savait déterminer l'intersection de la demi-droite AQ avec la surface S; mais cela constitue un problème exactement aussi difficile que le prol)lème proposé.

Dans l'espace ^m on échappe à cette difficulté par un changement de variables, ramenant l'intégrale relative à la surface S' à une intégrale relative à la surface S. Dans l'espace fonctionnel, on ne peut avoir recours à ce procédé. Le rapport des éléments d'aires correspondants n'est pas une quantité finie, mais une quantité de la forme /x^~*^ avec les notations du Chapitre IV, de sorte que l'intégrale considérée ne se ramène pas à la moyenne d'une fonctionnelle bien définie sur la surface S. Aussi, même dans le cas simple où la surface S est une sphère, et où la moyenne d'une fonctionnelle définie sur i] peut, en général, se calculer par les formules de Gâteaux, la solution théorique qui précède ne semble pas aisément permettre un calcul effectif. Peut-être les remarques qui précèdent serviront-elles tout de même à obtenir la solution du problème.