AL

Cette dernière équation est analogue à l'équation du son. La plupart des théories de l'analyse elassique se généralisent sans peine : caraetérisliqiies, propagation- des ondes, représentation de la solution par un potentiel sphérique.

11 j a une différence essentielle en ce qui concerne le développement des solutions en séries d'harmoniques. On peut toujours appeler harmonique y une solution de la foiine V| [^(i)J |cp(a), V et cp devant vérifier le^^ équations

AV = XV, cp"(a) = Xcp(a).

Mais le problème de Dirichlet relatif à cette équation en V se ramène au problème analogue relatif à Féquation de Laplace, et n'introduit pas de solutions fondamentalesy correspondant à certaines valeurs de A. 11 ne semble donc pas possible de généraliser les développements en séries d'harmoniques. Si c'est possible, loules les valeurs de A jouant le même rôle, c'est une intégrale et non une série qu'il y a lieu de coiisidérer.

8*^ Application aux équations intégrales. — On a vu que le potentiel dû à une double couche de densité égale à l'unité étendue sur une surface fermée S sans point double est nul à Textérieur et égal à r unité à l'intérieur. Si la surface S a des points doubles, la valeur du potentiel en chaque point est un entier, indiquant combien de fois la surface S entoure ce point.

Considérons alors une transformation ponctuelle, faisant correspondre à un pointM, représentant une fouclion./ (^), un point P repré sentant une fonction jk(05 P'"' exemple y(t) pourra être un polynôme normal en xi^t)^ dont la forme dépend de /, e'csl-à-dire une somme de termes de la forme

^ f '" f 9(^ h, t,, ..., tn)x^^{t,)x^-^{t.)...x'=^h{t,,)dt,dt^... dtn.