Considérons maintenant la fonctionnelle

r et cin ayant la même signification que ci-dessus, c étant un coef-

(') Voir aussi rcxeiuple de Schecfter, cité par M.Hadamard (Leçons sur le calcul des variations, n''41). Il s'explique d'une manière tout à fait analogue. Au lieu d'èire comme la fonction U, du texte la somme dune infinité dénomhrable de carrés <lont les coefficients n'admettent pas de limite inférieure, la partie du .second degré de la fonclioiinclle considérée par Schceffer est l'intégrale

/ {t — -:r-a;'-{t}clt.

dans laquelle le cnefficieiU (/ — t)- u'adinrt pas non plus de liiiiilf inférieure positive.

CHAI'. V. — VAIIIATION SKCONDK HT l'ONf: HONNKIJ.F.S DU SEf.O.M) DKGRi':. 83

liciciil |)tisilil('l l<'sA„ iiiir siiilc de iimnln'cs posilifs Uîndant vers zéro. On Vf'i'ilic sjiiis peine ([lie si

^{t) éliinl une l'onelion (h'Ierniinée clK lendant vers zéro, le second lerme de U est inlinlinenl petit par rapport au premier, de sorte que l'expression o-U délinie par la fornuile (8) existe et a la valeur 2cr'^. Mais, inali^ré cela, U n'admet de minimum pour x(t)=^() que si c ^ I . Si c <C^ \ ^ il suflit pour voir (uic U n'tidmet pas de minimum pour .r(/) = o, de donner à x[t) les valeurs

•■'^«(0 = y/^).,! sinn-/ (n = i,:>., ...,--c),

de modules fonctionnels ),,* tendant vers zéro. Les valeurs correspondantes de L),

sont négatives pour /^ assez grand et tendent vers zéro en croissant. U y a lieu de. remarquer que, si les À„ décroissent assez rapidement, si par exemple

^'"~ ni'

cette circonstance est réalisée avec des fonctions qui, non seulement tendent uniformément vers zéro, mais dont toutes les dérivées tendent uniformément vers zéro. On voit donc que o^U existe, sans être une dilTérentielle seconde au sens de M. Fréchet, et que cette circonstance est liée au fait que x{t) = o n'est pas un minimum pour la fonctionnelle L .