LE POINT DE VUE LOGIQUE

61. Fonctionnelles entières et homogènes du second degré. — Comme au Chapitre précédent, nous pouvons nous placer soit au point de vue logique, soit au point de vue pratique. Nous insisterons moins sur le premier point de vue que nous ne l'avons fait pour l'étude de la variation première; nous insisterons surtout sur le second de manière à préciser la définition des dérivées fonctionnelles secondes qui nous paraît devoir être adoptée.

Suivant le point de vue de M. Fréchet. la notion de variation seconde est liée à celle de fonctionnelle du second degré comme la notion de variation première est liée à celle de fonctionnelle linéaire.

On dit qu'une fonctionnelle U dépendant d'une fonction oc [t) est entière et homogène du second degré si, lorsque x{t) est de la forme

X{t\ = lx^{t)-^ lXXi\ t),

où 'A et 'X sont des constantes, U est un polynôme homogène du

jS PREMIÈRE PARTIE. — I.ES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

second defifrr en )> et u.. soit de la terme

( i) U = AX-2 -f- aBX.u + C [xî.

11 \ienl alors, en donnant à ). et ;j. des valenrs particulières

[o on l),

ri[r,(?)]| = A,

L|[^-o(0]i = C, U I [^•,(0-^'^'-2(OJ| = A-t-aB + C; d'où Ton tire

^2) 2B = lJ\[:vi(t) + ar,(t)]\ — V^\[xi(t)]\ -l'\[x,it)]\

Cette quantité est une fonctionnelle symétrique de Xi(t) et j?o(f), évidemment bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chacune de ees fonctions. Sa connaissance équivaut à celle de L , puisque A est exprimé à l'aide de U par la formule (2), et qu'inversement un a

(3; ■ l I [.rt/]] i = V| [x(t), xit)] \

11 suffit alors d'appliquer à A les résultats des n°* 47 et 48. cl dune manière générale les difîerents résultats généralisant ceux relatifs aux fonctionnelles linéaires, pour obtenir les résultats correspondants relatifs aux fonctionnelles entières et homogènes du second degré. Ainsi, la formule de M. Hadamard se généralise par la formule

('4) U|[T(r)]|=Um / / F(s, t, ix)x(s)x{t).

On généralise de même la formule de M. Riesz relative aux fonclionnelles définies dans le chamjD des fonctions continues. On peut aussi écrire, soit

<5) {]\[x(f)]\= ffx(s)xif)d<i>,

l'intégrale double étant étendue au carré o << 5 ■< i , o < / 1 . .-i <1> étant une fonctionnelle additive à variation bornée, soit

5') ^'\[^{0]\= f f x{s)x{t)d/dr^{s,t).

On peut, ce que nous ferons dans la suite, supposer s< 5, /)symé-

riIAP. V. — NAIIIATION SF.CONDF KT KON<;TI(».\Mil,t,ES UU SECO.M» DEGRÉ. 79

liliMic, ciir tliiiib If «M.s <-(»i)l liiirr iiii pciil riin|)lacer '^ 1 .y. /) piic

- I 'j( .V, / ) -|- 'i( /, .V ) |, Cl' (|iii ne cliiiiii;!' |);i-> la \ ;ilcu r dr I . f.a iM-pai-

lilloiidc masses li(''Cs à la roiitlioimcllr *l' est alors s\ mélriqur j)ar ia|»|)(»rl à la (li<tilc s /. La uolion de lonclinnnellc r-niièrc et lionioi^rno du second dc^ré. d(''liiiii' l'I (diiliiiiic dans !<• rl)aMi|) des fonclioiiS conliniirs dan> I inlciNallc ( o, 1 j. est donc liée à 1« nolion d'une i(''|)ail ili(Mi. à rinlciiciii- du cani' o ■^'^ s <^ \ , O < / <! > ^ '"l svinélri- (|ueuienl par ia|t|)ort à la dioilc v ^^ /, île masses dont les valeurs al»solues aïeul une M>iiiinr lime

La même l'eprex'Utalion ronvieul (t foi lion au\ loncUouuelles délinies et continues dans le eliani|) des fonctions de eai'i'és sonimaltle-' ; mai>, dans ce cas, la i('[)artilioii de masses est soumise à certaines reslriclions i rnir n"48). Rappelons que, si celle réjîarlilion ne C(unpiend cjue des masses l'éparties dans des aires et de densité siiperlicielle sommahle, et des masses réparlies sur des lignes et de densité soinmahle. de sorte que la fVumule ( 5 ) se réduit à des quadratures ordinaires, ces restrictions consistent en ce que les lignes considérées ne doi\ent comprendre aucune portion finie d'une |)arallèle aux axes.

Remai-quons enlin. par une extension (''\idente du n" 39. que pour les tonctionnelles entières et homogènes du second degri- (et aussi pour les fonctionnelles homogènes de degré quelconque ), cela revient au même de dire qu'elles sont définies dans tout champ tonetionnel liai, ou (ju'elles v sont continues.

6t2. Définition de la variation seconde. — ]\ou> pouvons maintenant, avec M. bréchet, définii la variation seconde. Lue fonctionnelle L de x{t) admet une variation seconde o-L au sens de M. Fréchet, si o-L' est une fonctionnelle entière et lioniogène du second degré, et si le rapport

r I [r ^ o.r] I — f I [.r J I — oU — - 62 l'

m désignant le module fonctionnel de ox, tend vers zéro avec m. Si o-L existe, cette variation peut être définie par la formule

(7) ô.u=j^.uu. + ),ô.]||^^ .

8o PRKMIÈRE l'ARTIi:. — IJ.S I ONKtMh.NTS M CALtlL FONCTIONNEL.

Mais celte expression, que nous appellerons variation seconde an sens de Gâteaux, peut ne pas èti'e une variation au sens de M. Fréchet. Les circonstances déjà indiquées à propos des variations premières peuvent également se produire ici. Lexpression ( - ) peut être une fonctionnelle de ox, homogène du second degré, mais non entière. D'autre part, ox étant de la forme )./( /). elle peut être telle que le rapport (6) tende vers zéro avec A. uiais non unitorménicnt. lorsque fi t) est une fonction quelconque de module fonctionnel égal à î.

Nous dirons dans la suite qu'une fonctionnelle L , admettant une variation première 5L , admet une variation seconde si l'expression (y) existe et est entière et homogène de degré 2 en Zx.

63. Minimum d'une fonctionnelle. — Si, pour une fonction déterminée Xo{t). oL est nul et o"-L positif pour toutes les déterminations de ox( / I, il est naturel de se demander si la fonctionnelle L admet un minimum pour la détermination considérée de xil ).

Pour simplifier récriture, nous supposerons :ry(<) = o, et" nou> écrirons .2^(0 î^" lieu de oxit). Nous appellerons /• le module fonctionnel de cette fonction.

On peut énoncer le résultat suivant : S'il e lisle un nombre positif k tel que o-L soit supérieur à kr- pour toutes les déterminations de x(t). et si o-L est une variation seconde au sens de M. Fréchet, la fonctionnelle L admet un minimum pour x[t) = o.

En effet, d aprè> la définition de la variation seconde, lexpression

L — U,) — oU o-V l — Lo 0- 1

tend vers zéro avec /■. Il existe donc un nombre y. tel que. pour /<■/•..

elle soit inférieure en module à -■ On a alors

l'our que, ol étant nul et o-L positif, il ny ait pas minimum, II faut donc, ou bien que le nombre k n'existe pas. ou bien que 8-U, défini par la formule (7), ne soil pas une différentielle au sens (!<■ M. Fréchet. Nous allons donner des exemples des deux circonstance.-.

CIIAP. V. — VAIUATION SIXONDE ET FONCTIONNELLES DU SECONIt DEGRÉ. 8l

en prenanl [xuir /• la (Icdniliou normale f[iii résiillo do la formule

(9) /-^^ f xHt)dt.

6i. I.a première eireouslaiiec [)eul se présenter, non seulement dans le calcul fonctionnel, mais dans l'étude des fonctions de deux \ariablcs seulement. M. Iladamard a signalé l'exemple de la fonction

qui n'est pas minima à l'origine bien que les termes du second degré soient positifs. Cela lient à ce que ces termes se réduisent à y'^ et peuvent être d'un ordre infinitésimal supérieur au second si y est 1res |)<lil j)ai' rap[)ort à x\ il n'existe aucun nombre k tel que ces termes soient supérieurs à /\ (^x- -{- y-) .

Pour les fonctions de n variables, le nombre k existe nécessairement si les termes du second degré sont de la forme

(10) A,P^+XoP)i-^...X„P2,

les A étant tous |)ositifs, et P désignant des fonctions linéaires indépendantes.

Dans le calcul fonctionnel, des circonstances un peu plus compliquées peuvent se présenter. Considérons, par exemple, la fonctionnelle du second degré

en posant

rt„=y/'2 / x{t)%\l\ llT.t dt.

La formule

ai-{- ai-+- . . .-\- aj,^ . . .— r-

montre que les a ne peuvent être tous nuls sans que r soit nul, et sont à ce point de vue analogues aux P de la formule (lo). Si les X

ont une limite inférieure positive K, —^ est nécessairement ^K, et,

comme S-Uo^ 2 LU, on peut prendre k= 2K. Mais, les \ étant en nombre infini, peuvent être tous positifs sans admettre de limite inférieure positive, et comme, pour

x{t ) = sin/i T. /,

MÎVY. 6

Sa PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

le rapport ^^-^ se réduit à 2).,,, le nombre A n'existe pas. Prenons, pour fixer les idées, ln= -> et considérons la fonctionnelle

qui a même différentielle seconde que U. Je dis qu'elle n'admet pas un minimum pour xit) ■= o. Nous n'avons pour le voir qu'à considérer les fonctions

■""^^'- logn (n = î,'-*, -.•■-)

dont les modules fonctionnels

log/i tendent vers zéro. Pour ces fonctions. U prend les valeurs

n{iov,n)^ (lognj/'

qui sont négatives pour n assez grand et. par suite, tendent vers zéro en croissant (' ).