GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
73. Fonctions d'une ligne plane. — 11 y aurait lieu de reprendre, au point de vue des variations secondes, les différentes généralisati(uis étudiées Chapitre I\ . Nous nous contenterons d'examiner celles qui nous serviront dans les applications que nous avons en vue.
Soit d'abord .4> une fonction d'une ligne plane fermée C, ayant pour variation première, avec les notations de iNL Hadamard (n" 59),
o<J> = / fpl, on ds.
Pour former la variation de celte expression, il faut [)réciser le déplacement du point M de la courbe correspondant à l'élément ds lorsque cette courbe se déforme. Nous supposerons ce déplacement normal à la courbe. o<î>',j a alors un sens bien défini et est une fonction linéaire de o/?, (pie nous désignerons par
o'P',, = E{on ).
et Ton voit aisément (\uv la variation de ds est
0 ds := — A rj/i ds,
ClIAl' V. — VAllIATION SKCONDK KT KONCTIONNKM.ES \)V SICCOM) I>E(.Ri;. ^5
/f élan l la coiirhuic de la lij^nc C en IM , coiiipUn; posiiivcnieal dans le même sens (|ue o/i. Il vient ak>is
{3-2) ooi'l>=: / [\i{on ) <jj n ~ A'h',1 rjii oin -i- <\^'„ ?^rJ^n]
ds.
11 y a lieu de se demander si la signifiealion de oo,// ne dépend j)as de Tordre des symboles ô el o,. Il esl facile de s'assurer f|iril n'en est rien, H suffit de prendre pour <I> l'intéj^rale d'une fonction de point/(M) dans la région intérieure à C; la direction positive de la normale étant supposée dirigée vers l'extérieur, on a
*'„=/( M), 0*;,= ^Sn
el, par suite, la formule (3i) s'écrit
3o, * = / j Y'J-- kf{ M )1 on S, n +/( M ) oS, n ! ds.
Il eu résulte que
00,4» — Oi ô* = o = I f(^l) { 00| n — 0| on) ds. ♦ c.
Celle formule étant vérifiée quelle que soit la foneti()ny"(M), on a ^0,/i =0,0/?, c'est-à-dire que la signification de oùt/i est indépendante de l'ordre des opérations o et o,. Cela n'était nullement évident a priori, comme on s'en rend compte en observant qu'il n'en est plus de même pour une variation troisième oo,0o«, et que ce n'est pas cette quantité, mais la différence ooiOo/i — onOiii'o^n' {Ofii' etôj/z' désignant les dérivées de o, /i et Oj/i par rapport à 5), qui est indépendante de l'ordre des opérations 0, o, et Oo. On l'établit aisément en appliquant à la fonction Oo// le résultat que nous obtiendrons n°77.
Revenant alors à la foi-mule i'^^^), nous voyons que la condition nécessaire et suffisante pour que o<I> soit une différentielle exacte., c'est-à-dire pour que ùo^*^ soit indépendant de l'ordre des opérations 8 et 8). est que r expression E(o;?) soit identique à son adjointe.
76. Fonctions d'une ligne plane et d'un point. — Considérons d'abord une fonction u^ dépendant d'un contour C et du point A et
définie aussi bien quand A est sur le contour C ou n'est pas sur ce contour. Lorsque C se déforme, A restant fixe, la variation de Uj^ est une fonctionnelle linéaire de en. ■ que nous représenterons par Hj,{on).
Si maintenant nous considérons la valeur de u en un point M de G qui, lorsque ce contour se déforme, se déplace orthogonalement à lui en restant sur lui, la variation de Wj, proviendra, non seulemenl de la variation de fomne de la fonction u due à la déformation de C, mais aussi au déplacement du point M. et Ton aura
I l3 ) 0»M — H.Ml O/i) H — 7- O/J.
Si nous considérons maintenant la dérivée normale -r--ou la déri-
vée u' = -j- relative à un déplacement de M sur C, ou une dérivée
d'ordre quelconque de u par rapport aux coordonnées de M dans le système d'axes constitués par la tangente et la normale à C au point particulier considéré, la variation dune telle dérivée comprendra trois termes, l'un dû à la variation de forme de la fonction^/, le second dû au déplacement du point M, le troisième dû à ce que la direction de la tangente à C en M a varié. L'angle dont cette direction
a varié a la valeur o//= —r — , si 1 on compte les angles positivement
dans le sens qui permet d'amener la direction positive de la tangente (celle qui correspond aux s croissants) sur la direction positive de la normale par une rotation d'un an^le droit. On a ainsi
^du d j, ^ ^ d'-u ^ du ^ ,
