Hm( on) H T— , o/i r
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du d .. . ^ d- u ^ du ^ ,
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Dans cette dernière formule, nous avons désigné par — — — la dérivée
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de a dans le système d'axe constitué par la tangente et la normale à C en M. Cette quantité diffère de -7- -j- parce que. lorsqu'on se déplace
sur C de l'arc <Y.y. la variation de -r— provient non seuleuient du déi)la-
dn ^ ^
cément du point M. mais de ce que la tangente à la courbe a tourné
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niVP. V. — VAUlVnON seconde et FO.NCnOXNKLLKS DU SECOND DEGRE. (17
(11111 iiii^lc kds. Il cil csi (le nK'iiic de lit \;iii;ili()ii de -7- > el Ton a '^ ds
11 . Supposons eu piuLiculier que la l'orine (ie la foucliou u^ S(Mt indépendante de la ligne C. Les formules (33) et (34) se simplifient, et l'du peut ais(''iueul foiincr la variation seconde de Mj,, qui a la valeur
ooi ii\\ — -r~ ooi « -i — on oi n — u on Oi n.
dn dn-
De cette l'onmile, et de ce que nous savons dt;jà sur le symbole 00,//, r(''sulle (jue le premier meml^re change lorsqu'on intervertit les svmholes 0 et $,, mais (ju'on peut lormer une (juantiti- qui ne change pas, soit par exemple
('56) 00 1 uyi -h u en Oin = o^ o»m-(- "' Oj /t' o/i.
Cette circonstance pouvait être prt'vue autrement. Appelons toujours À et a les deux paramètres aux variations infiniment petites desquels correspondent les variations 0 et 0,. Si l'on fait varier ), et UL des quant iti^'S infiniment petites cIa et Jtj., le point M, se dé- [)laçant normalement à C, viendra occuper deux positions diflerentes .M, et Mo suivant c[ue l'on aura fait varier d'abord A. et ensuite u, ou inversement. La fonction u prendra alors en ces points des valeurs diflérant de la ([uantité
(37) t/M., — llM^= MiMoU — 5'?i ifji — Oj 0«M-
La comparaison de cette formule et de la formule (3(3) montre que
(38) Ml Mj = on ôi n' — oi/iôrt'.
Le raisonnement qui vient de nous conduire à la formule (3^) s'applique, non seulement à la fonction particulière a que nous venons de considérer, mais à n'importe quelle fonction dune ligne C et d'un point M de cette ligne, sans que cette fonction ait besoin d'être définie pour d'autres points que ceux de cette ligne. La for-
gS PRKMIÈRE PAUTIE, — LES FONDEMENTS UU CALCUL FONCTIONNEL.
mule ('iG), qui résulte ininirdiaLement des formules (S;) et |3<S|, s'applique donc à une telle loncliou.
Par suite, la condition nécessaire et suffisante pour (jne oiiyysoit une différentielle exacte est que V expression oo, u + uli\' o, n ne change pas si Von intervertit l'ordre des opérations o e/ o,.
78. Fonctionnelles dépendant de deux fonctions ou d'une ligne et d'une fonction. — Si une fonctionnelle U dépendant de deux fonctions xii) eA y{t) est telle que
oL = f (U'^.8:r + U',S7)c//, •- 0
oUl.= E(o.r)-^F(ôj'), oU;.= ^(5^) + G(ô^),
on voit aisément, en formant l'expression de oo,L, que chacune des expressions E(o^) et G{oy) est sa propre adjointe et cjue les exjiressions ¥{oy) et §{ùx) sont les adjointes l'une de l'autre.
Les choses sont un peu moins simples dans le cas d'une fonctionnelle <I> dépendant d'une ligne fermée C et d'une fonction u définie en chacpie point de cette ligne. La variation première étant de la fo rm e
8(1) =, I (44 ou ^ <l>'„ o/i) ds, •- c
si nous voulons mettre en évidence des expressions cjui soient les adjointes, les unes des autres, les variations de <!>'„ et <I>'j (les points dont dépendent ces fonctions étant toujours supposées avoir leur dé])lacement normal à C ) doivent être mises sous la forme
( ô*„ = t^'{ou) -T- G(o/i) + *'„ u' on'.
La \ariation seconde de <ï> s'écrit alors
(40) 00,*= / lE{ou)oiu-+-F(ùn)oiU^ §{oii)oin-^ G{on)oin]ds
~^ I [^''ai^^iii + u' ^n Oin)-h^',^(ooin — /i on Oi/i)] d^.
La dernière intégrale, d'après ce que nous savons déjà sur oo,/i
CIIAP. V. — V.UUATION SKCONDK KT FONCTIONNKLLnS Dl SKCOM) ItEciUl':, <)9
cl oOj //. iH' cliaii;^*' |i;i> >i I nu i iilns cil il li'> -\ miIkiIcs o ft 0 , . On a iilnr-» rciKiiicù Miisaiil :
La condition nécessaire cl suffisanti' /loiii que o<ï> soil une dijférentielle exacte^ c'csl-à-dire pour cjin.' oo, t|> ne cliange pas si l'on inlcrverlil les symboles o cl Ot, est que. o<I>,, e/ ^A]^'^^ éttt/il mis sous la forme {'-^1)), chacune des expressions ^(ùu) et G{?tn) soil sa propre adjointe et que les expressions F(o« ) et ^ {ou) soient les adjointes V une de Vautre.
lu énoncé analo<;uc s obtient aiscincnl dans le cas d une tonclionnelle dépendant d'une ligne C et de plusieurs tonelions définies en eliarpie point de cette ligne.
Nous utiliserons les diftercnts résultais (pii |>r('(fdi ni dans la théorie des équations aux dérivées lonctionnelle^.
