CHAPITRE

L'ORIGINli ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL.

Sommaire. — L'origine fie la notion de fonction. — L'origine de la notion de fonctionnelle. — Les débuis du calcul fonctionnel. — Algèbre fonrtionneile et analyse fonctionnelle, — Le passage du fini à l'infini. — La représentation des fonctions par une infinité dénombrable de paranièlres. — Indication des questions traitées dans ce Livre.

1. L'origine de la notion de fonction. — Le calcul fonctionnel est une branche de l'analyse qui dérive du calcul diUérentiel et intégral de la même manière que ce calcul kii-mème dérive de l'algèbre, par une généralisation progressive des opérations elTectuées.

Les premiers malbématiciens ne considéraient que les opérations algébriques les plus simples. Les opérations sur les nombres entiers et les questions arithmétiques tenaient naturellement une grande place dans leurs préoccupations; mais l'étude de la géométrie les obligea de bonne heure à envisager des opérations sur des nombres quelconques. Ce n'est que bien plus tard que, par d'autres applications et le progrès des conceptions théoriques, ils furent conduits à étudier, d'abord les transcendantes élémentaires, puis des catégories

plus générales de fonctions, pour arriver au milieu du xviii® siècle à considérer des fonctions continues absolument quelconques.

A quel moment la notion abstraite de fonction s'est-elle dégagée de ces exemples de plus en plus généraux? On la trouve déjà nettement chez Descartes, qui ramena l'étude d'une courbe à celle des variations simultanées de ses coordonnées. Mais c'est Leibniz qui prononça le premier le mot de fonction, pour donner une expression générale aux notions fondamentales du calcul infinitésimal, notions qui avaient déjà été appliquées dans des cas particuliers, non seulement par les géomètres des xvi" et xvii* siècles, mais déjà par Archimède (').

2. L'origine de la notion de fonctionnelle. — L'intégrale, dont l'étude ol)ligea les mathématiciens à donner une expression à la notion de fonction, est en outre le premier exemple, encore très particulier, d'une notion nouvelle. Tandis que la fonction est une quantité qui dépend d'une ou plusieurs variables suivant une loi déterminée, l'intégrale définie dépend, suivant une loi déterminée, de toutes les valeurs d'une fonction. C'est ce que M. Hadamard appellera plus tard nwe fonctionnelle.

Mais, même si Leibniz a peut-être vu le caractère de cette notion nouvelle, l'idée ne pouvait lui venir d'approfondir ce caractère et d'aborder l'étude générale des opérations fonctionnelles. Cette étude ne pourra être envisagée que quand la théorie des fonctions, qui en est le support nécessaire, sera suffisamment développée, et quand, de plus, on connaîtra un plus grand nombre d'exemples particuliers de fonctionnelles.

Laissant de côté la dérivée, qui est bien une fonctionnelle, mais d'une nature tellement spéciale, ne dépendant que des valeurs de la fonction dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable, qu'elle pouvait difficilement donner naissance à la notion générale de fonctionnelle, nous pouvons dire que le deuxième exemple est donné par le calcul des variations. L'intégrale

est une fonctionnelle dépendant de toutes les valeurs de la fonction^' (') Cf. VoLTKRRA, Leçons sur les fonctions de lignes (igiS), Chap. I.

CHAP. I. — l'oRIGINK et LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNKL. i

dans rinlervallc (a, b), et conslilue un exemple plus général que celui de l'inlégrale de la foncllon j^. Elle fut considérée dans un cas particulier par BernouUi, puis dans le cas général parEuler ('), et c'est à son sujet que Lagrange introduisit la notion de variation, qui est pour l'intégrale précédente ce qu'est la différentielle pour une fonction, et qui suffira, non seulement pour l'étude d'intégrales de formes plus générales, mais pour l'étude des fonctionnelles en général.

Dès le début du xix" siècle, l'étude des phénomènes physiques introduit des fonctionnelles très différentes de celles considérées par Lagrange, et dont la définition analytique est beaucoup moins simple : telles sont la capacité électrique du conducteur isolé limité à une surface donnée, ou l'aire de la surface minima limitée à un contour donné. L'élude de ces fonctionnelles devait au début du siècle actuel constituer un nouveau et imporlant chapitre du calcul des variations.

3. Les débuts du calcul fonctionnel. — Le calcul des variations n'est qu'un cha[)ilre du calcul fonctionnel, comme la théorie des maxima et minima n'est qu'un chapitre du calcul différentiel.

On peut, d'une manière précise, dire que c'est en i88- que le calcul fonctionnel prit naissance, lorsque M. V. Volterra commença à publier dans les Bendiconti de la R. Accademia dei Lincei une série de Notes, rapidement devenues célèbres, sur ce sujet.

11 commença, dégageant la notion générale de fonctionnelle des exemples particuliers qui avaient déjà été envisagés, à considérer une quantité qui dépend de toutes les valeurs dhine autre Jonclion, quantité à laquelle nous donnerons avec M. J. Hadamard le nom de fonctionnelle. Comme une fonction peut être représentée par une ligne, la notion de fonctionnelle est presque identique à celle de J onction d'une ligne. C'est cette dernière expression que M. Volterra emploie de préférence, même lorsqu'il envisage l'aspect analytique du problème.

Généralisant la notion de variation de Lagrange, M. V^olterra montre que la forme de variation considérée par Lagrange s'applique à une catégorie très générale de fonctionnelles; mais la notion de variation est plus générale encore, et les fonctionnelles admettant

(') J. Hadamahd, Leçons sur te Calcul des variations, p. 38.

une variation ont dans l'ensemble des fonctionnelles la même importance que les fonctions admettant une différentielle dans l'ensemble des fonctions.

M. Volterra définit ensuite les dérivées d'ordres supérieurs, qui permettront d'introduire la notion de variations d'ordres supérieurs, et forme une série analogue à celle de Tajlor.

La suite des travaux de l'éminent analyste montre de plus en plus que le calcul fonctionnel est une extension de l'analjse ordinaire, et qu'à chaque chapitre de l'analjse ordinaire correspond un chapitre du calcul fonctionnel qui est souvent plus qu'une généralisation du précédent, par les circonstances qu'il présente et les horizons nouveaux qu'il découvre. Dès lors, la théorie se développe rapidement, tant par les travaux propres de M. Volterra, que par ceux des nombreux géomètres qui ont compris dès le début l'importance du nouveau domaine que celui-ci venait d'ouvrir à la Science.

4. Algèbre fonctionnelle et analyse fonctionnelle. — Ces travaux peuvent se grouper en deux chapitres distincts, que nous appellerons Yalgèbre fonctioiinelle et {'analyse Jonclionnelle. La première partie comprendra des problèmes où les inconnues sont des fonctions ordinaires, mais qui se rattachent au calcul fonctionnel par les méthodes employées pour les résoudre. L'analjse fonctionnelle, au contraire, comprend des problèmes où les inconnues sont des fonctionnelles, ou d'une manière générale des problèmes que l'on ne peut concevoir indépendamment de la notion de fonctionnelle.

Il était naturel que le développement de l'algèbre fonctionnelle précédât celui de l'analjse fonctionnelle. Avant d'étudier en euxmêmes les nouveaux problèmes que pose l'introduction de la notion abstraite de fonctionnelle, les mathématiciens ont dû se persuader de l'intérêt de cette notion, en constatant que le fait de considérer comme vai'iables les fonctions figurant dans divers tjpes d'équations fonctionnelles donne des procédés nouveaux et féconds pour résoudre ces équations. En effet, les travaux relatifs aux équations intégrales ou intégro-dilTérentielles, qui constituent peut-être la plus belle conquête des mathématiciens depuis le début de ce siècle, se rattachent à ce que nous venons d'appeler l'algèbre fonctionnelle. S'il est possible d'exposer ces travaux sans mettre en évidence le rôle joué par la notion de fonctionnelle (et cela n'a rien d'étonnant puisque les

CIIAP. r. — I/ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. ^

problèmes traités sont des problèmes de la théorie des fonctions ordinaires), ce serait se priver du (il directeur qui a permis à M. Volterra d'obtenir ses plus beaux résultats, comme il l'a montré dans ses leçons professées à la Sorbonne en 1912 (').

Après ces leçons de M. Volterra, le moment semble venu d'esquisser un exposé d'ensemble de l'analyse fonctionnelle, dont l'objet essentiel est l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles, généralisation des équations difTérentielles et aux dérivées partielles. Plus abstraite par son objet même, celte étude ne peut d'abord être féconde en résultats applicables à la théorie des fonctions. C'est un champ de recherches difTérent, plus large à certains points de vue, riche en problèmes nouveaux, en notions nouvelles. Sans doute lorsqu'il sera exploré, pourra-t-on en déduire de nouvelles méthodes applicables aux problèmes d'analyse ordinaire; on ne saurait les préciser dès maintenant. Il est souvent arrivé dans l'histoire des sciences qu'une théorie ait des applications que ses auteurs ne prévoyaient pas, et le fait que l'analyse fonctionnelle ne se soit pas encore révélée féconde en applications pratiques ne doit pas détourner de l'étude de cette science, si attrayante d'ailleurs, au point de vue logique et philosophique, comme généralisation de l'analyse ordinaire.

5. Le passage du fini à l'infini. — Des progrès si rapides que l'ont été ceux du calcul fonctionnel n'auraient sans doute pas été possibles si l'étude de chaque chapitre du calcul fonctionnel n'était facilitée par la connaissance du chapitre correspondant de l'analyse ordinaire, et si le procédé qui permet de passer de celui-ci à celui-là n'était pas toujours le même : le passage du fini à r infini. C'est encore M. Volterra qui a mis en évidence le parti à tirer de l'utilisation systématique de ce procédé.

(') De même, en analj'se ordinaire, on peut distinguer l'algèbre, traitant de problèmes où les inconnues sont des nombres, et l'analyse, traitant de problèmes où les inconnues sont des fonctions. Ainsi, la résolution de l'équation

par la formule

est un résultat d'algèbre en ce sens que l'inconnue x est un nombre; mais le fait de considérer ce nombre comme variable donne au raisonnement mathématique une puissance nouvelle, et souvent l'analyse, qui emploie ces procédés, et considère x comme /onction implicite de ^, réussit là où l'algèbre pure échoue.

Une fonction continue ;r(0 définie dans un intervalle (o, i) est connue d'une manière approchée si, cet intervalle étant divisé en un nombre très grand n d'intervalles égaux, on connaît les valeurs moyennes ar,,.r2,..., ^« de la fonction dans chaque intervalle. Une fonctionnelle dépendant àe x{t) est alors représentée d'une manière approchée par une fonction /( a:,, iCo > • • • 5 ^n)- L'étude des problèmes concernant les fonctionnelles résultera ainsi de l'étude des problèmes analogues concernant la fonction /(.z',,j?25 ••• 5 ^«)- H suffit de supposer que n devienne infini pour être conduit à la solution du problème considéré de calcul fonctionnel, et si souvent le procédé employé ne conduit pas à démontrer l'exactitude de la solution, qu'il faut vérifier autrement, il n'en constitue pas moins un procédé de découverte d'une fécondité remarquable.

C'est ainsi que s'est formée, pour prendre l'exemple le plus simple, la notion d'intégrale. La somme

devient infinie si n augmente indéfiniment, mais la moyenne de ces n nombres tend vers une limite qui, l'intervalle considéré étant égal à l'unité, est l'intégrale de la fonction x{t) dans cet intervtdle. On voit que l'intégrale généralise la notion de moyenne plutôt que celle de somme, remarque que nous aurons à utiliser dans la suite, et si l'intervalle d'intégration est divisé en intervalles qui ne sont pas égaux, il est tout naturel de donner à chacun des r/ un poids égal à l'intervalle correspondant. Si l'intervalle total n'est pas égal à i, la limite de la moyenne sera naturellement, non l'intégrale, mais son quotient par cet intervalle.

Le même procédé de passage du fini à l'infini s'applique à la différentielle totale

df( j-i , . . ., Xn) = -f^ dxi -i- . . . — -^ dx,i

et à la limite on est conduit à penser que la variation dune fonctionnelle U dépendant d'une fonction x{t) définie entre o et i. sera une expression de la forme

OU = Ç o(J)ox{t)df.

C'est la variation considérée par Lagrange et M. ^ ulterra. qui s'applique en effet à une catégorie fort étendue de fonctionnelles.

CHAI». I. — I/ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCll, FONCTIONNKI,. 7

0. La représentation des fonctions par une infinité dénombrable de paramètres. — Nous ne donnerons pas pour le nionienl d'autres cxeniples d'application du proccdii considéré. Le lecteur en trouvera suffisamment dans la suite. Mais faisons à ce sujet une remarque importante.

On peut envisager d'autres manières de considérer une fonctionnelle comme limite d'une fonction d'un grand nombre de variables. La fonction ip(/) peut être définie dans l'intervalle considéré par la suite des coefficients de son développement en série trigonomélrique ou d'une manière plus générale en série de fonctions orthogonales, on bien si elle est analytique par les coefficients de son développement en série de Tajlor. Une fonction des n premiers coefficients d'un de ces développements conduit, lorsque n augmente indéfiniment, à une fonctionnelle.

Cette manière d'envisager le passage du fini à l'infini présente-t-elle le même intérêt que celle que nous avons indiquée d'abord?

On ne saurait trop nettement répondre : non.

11 ne faut pas en effet perdre de vue que, quel que soit le procédé employé pour représenter une fonction a: (<), la fonction est avant tout une succession de valeurs prises parla quantité a? lorsque avarie. C'est celte succession de valeurs qu'il faut toujours considérer si l'on veut ne pas perdre de vue l'origine de la notion de fonction et ne pas se contenter d'écrire des relations formelles sans en pénétrer le sens.

Aucun professeur ne proposerait de donner à un débutant, comme (îéjînition de l'intégrale indéfinie, cette propriété que la fonction

Oq-^- «1 ^ h- ... -h a,i T" 4- . . .

a pour intégrale la fonction