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à étant une constante quelconque. Une telle définition ne permettrait pas de saisir l'origine même de la notion d'intégrale ni d'aborder avec succès les applications du calcul intégral aux problèmes physiques.

Par contre, on ne peut songer à nier les services que rend, une fois la notion d'intégrale devenue familière, l'intégration des séries trigonométriques ou des séries de puissances.

Nous devons, en abordant le calcul fonctionnel, nous inspirer de

8 PKEMIÈRE PARTIE. — LES FOXDEMENTS DU C\LCUl, FONCTIONNEL.

cette double remarque. A chaque problème nouveau, nous examinerons d'abord ce que donne le passage du fini à l'infini appliqué comme nous l'avons dit n" 4, Il nous arrivera d'utiliser ensuite la représentation d'une fonction par une suite dénombrable de coefficients; en particulier, nous considérerons souvent la représentation d'une fonction par une série de fonctions orthogonales. Mais cela ne doit pas faire oublier que le point de vue indiqué d'abord, qui est celui de M. Volterra, doit rester au premier plan (').

7. Indication des questions traitées dans ce Livre. — Nous pouvons maintenant indiquer brièvement les principales questions que nous étudierons dans la suite.

Nous avons déjà dit qu'un tx'aité de calcul fonctionnel pourrait comprendre un chapitre correspondant à chaque chapitre de la théorie des fonctions d'un nombre fini de variables. Notre objet principal sera de généraliser les notions élémentaires du calcul différentiel, la théorie des équalions aux dérivées partielles, et la notion d'intégrale multiple.

Dans la première Partie, nous parlerons d'abord de la continuité dans le domaine fonctionnel. Nous étudierons ensuite la variation première et les variations d'ordres supérieurs des fonctionnelles, études liées à celles des fonctionnelles linéaires et des fonctionnelles entières d'ordre fini, comme l'étude des différentielles des divers ordres des fonctions de n variables est liée à l'étude des formes de divers degi'és.

La notion de déterminant fonctionnel est fondamentale dans la théorie des fonctions de n variables, et l'on ne peut en aborder l'étude sans connaître au préalable la théorie des équations algébriques. Nous serons de même obligés de donner quelques indications sur la théorie des équalions intégrales linéaires; mais nous nous bornerons sur ce sujet à quelques considérations générales et aux résultats indispensables pour la suite. Nous pourrons ensuite traiter la question des fonctionnelles définies par des équalions impliciles.

(') Signalons à ce sujet les travaux de M. Bourlet {Annales de VÈcole Normale, t. XIV et XVI), qui aurait pu partager avec M. Volterra l'honneur d'avoir fondé le calcul fonctionnel, s'il ne s'était placé uniquement au second point de vue. M. Pinclicrle, dans les Math. Ann , t. XLIX, a également publié, avant les travaux de M. Volterra, des travaux où il se place au même point de vue.

CHAI', r. — L'oniGINE ET LES PHINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. 9

Dans la (ieuxiènie Partie, nous éludierons les éqiialions aux dérivées fonclionnellcs du premier ordre. 11 existe de nombreux types intéressants à considérer. Le plus simple est celui qui résulte de la généralisation des équations aux difTérenlielles totales, et qui se rapproche des équations dilTérentielles ordinaires du premier ordre en ce sens que l'intégrale ne dépend que d'un paramétre, mais qui s'en distingue en ce sens que la différentielle totale considérée peut n'être pas une différentielle exacte, et qu'il y a lieu d'étudier le problème de l'inlcgrabilité.

Nous étudierons ensuite un autre type d'équations, que nous nommerons équations aux dérivées fonctionnelles partielles, qui généralise les équations aux dérivées partielles comme le précédent généralise les équations différentielles. Nous étendrons à ces équations les notions de caractéristiques, d'intégrales complètes et la méthode d'intégration de Cauchy.

La troisième l\irtie comprendra l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles partielles du second ordre, et notamment d'une équation généralisant celle de Laplace. Cette étude introduisant une formule qui généralise celle de Green, il est nécessaire de généraliser d'abord la notion d'intégrale, ou plus exactement celle de moyenne. Cette généralisation a été obtenue pour la première fois par Gâteaux, en 1914 (voir Bull. Soc. math.., 19 '9)- Tandis que jusqu'ici l'analyse fonctionnelle présentait avec l'analyse ordinaire une analogie remarquable, la théorie de la moyenne en calcul fonctionnel est quelque chose d'essentiellement nouveau, ne ressemblant à aucune théorie de l'analyse ordinaire. L'étude de cette notion comprendra cinq chapitres de la troisième Partie, un seul étant consacré à l'application à l'équation de Laplace.

Dans le résumé qui précède, les questions concernant la théorie pure sont seules indiquées.

Comme applications, nous considérerons surtout des fonctionnelles liées au problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace de l'analyse ordinaire.

Le développement de ces diverses théories oblige à utiliser un très grand nombre de notions de l'analyse ordinaire. Pour ne pas exiger du lecteur un trop grand nombre de connaissances préalables, j'ai préféré allonger un peu l'exposé en rappelant sommairement les

lO PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL

fondements de quelques théories classiques de l'analjse. C'est ainsi que l'on trouvera des indications sur l'intégration au sens de M. Lebesgue, sur les séries de fonctions orthogonales, sur les propriétés élémentaires des fonctions de Green. Toutefois, dans les quatre derniers chapitres de la dernière Partie, contenant l'exposé de résultats récents et sans doute non encore complètement au point ('), j'ai dû renoncer à donner à l'exposé le caractère élémentaire que j'aurais voulu conserver.

D'autre part, je liens à prévenir le lecteur que je n'ai pas voulu faire un traité complet de calcul fonctionnel. Un tel traité devrait comporter un exposé développé de la théorie des équations intégrales linéaires, de la question connexe des formes quadratiques à une infinité de variables, et d'une manière générale de la théorie des fonctions d'une infinité de variables, questions sur lesquelles nous ne donnerons que de brèves indications. Il devrait aussi comprendre la généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire et l'étude des équations intégro-differentielles, qui constituent deux beaux chapitres de l'œuvre de M. Volterra; ce dernier surtout, le plus récent, est rapidement devenu classique et adonné lieu à un grand nombre de travaux d'autres savants, et il se rattache naturellement à la notion de fonctionnelle. Mais ces questions nous écarteraient de notre objet, qui est surtout l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles, et je ne peux que renvoyer le lecteur aux Mémoires et Ouvrages où elles sont exposées (^).

(') Peut-être le lecteur Iiouvera-t-il que j'aurais dû, pour publier cet Ouvrage, attendre que cette troisième Partie soit complètement au point. Il aurait fallu sans doute attendre plusieurs mois, peut-être plusieurs années. Dans Tintérét de la Science française, il m'a paru préférable de publier dés maintenant les résultats acquis, et de ne pas bcsiter à en énoncer d'autres, plus ou moins vraisemblables, que je n'ai pu démontrer rigoureusement; ces questions dont l'étude me paraît mériter d'être poursuivie sont rappelées à la fin du dernier chapitre. Je serai heureux de contribuer ainsi à attirer de nouveaux chercheurs dans ce domaine si vaste et encore si peu connu qu'est le calcul fonctionnel.

C) Volterra, 5a/' une généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire {Acta matematica, t. XII); Leçons sur les fonctions de lignes (Gauthier-Villars, igiS); Trois conférences sur ta généralisation des fondions analytiques et sur la théorie des vagues { rhe Hice Institute: Book of the opening, vol. III, p. io36-iioo).