M /) = — ['l>'.n-^ ^i(t) *t ] dl ii = \, o. ....p
(Considérons mainlenant l'ensemble des équations (22) obtenues en faisant vainer a dans un certain intervalle, et cherchons les intégrales U communes à toutes ces équations. Elles vérifient les conditions d'intégrabilité
obtenues en rapprochant les équations (22) deux à deux ( ' 1 ; <I>, et <I>o désignent les détemninations de <î> correspondant à deux valeurs de a, et ao.
On définit une multiplicité caractéristique DK comme l'ensemble des éléments C que l'on peut obtenir en partant d'un élément Cq et en décrivant des arcs finis ou infiniment petits des caractéristiques (28), chacun des arcs ainsi décrits correspondant à une valeur dlfïerente de a. En d'autres termes, un pareil déplacement sera défini par les équations (2.3"). dans lesquelles on considère a et ). comme des fonctions
des caractéristiques, tjui ne sont pas des équations quelconques, mais qui sont telles que les familles d'éléments qu'elles définissent aient une enveloppe; il en résulte que la connaissance d'une intégrale première permet d'abaisser de deux unités l'ordre du système. C'est là une circonstance de nature à faciliter l'intégration, quelle que soit la méthode employée.
(' ) La parenthèse de Poisson, dans le cas correspondant à celui-là. a été formée par M. Volterra au Chapitre IV de ses Leçons sur les fonctions de lignes.
(run niènic païamctre (a pouvant être discontinu; A pouvant être tantôt croissant, tantôt décroissant).
80. Comme dans le cas de deux écpiations, il j a lieu de considérer d'abord le cas où la condition d'intégrabilité (a4) résulte analytiqueinent^ c'est-à-dire sans dérivation fonctionnelle de l'équation (22). Nous entendons j)ar là qu'elle est vérifiée, quels que soient ai et 7.2, pour tons les syslùmes de déterminations de x^ (l), x-i(l)., ..., \p{t) et U vérifiant réqualion (22) (').
Dans ce cas, les équations des caractéristiques sont aussi complètement inlégrablcs, ce qui définit la généralité des multiplicités 011. Ln déplacemeni infinitésimal sur une telle multiplicité est une combinaison linéaire de ceux définis par les équations (23). En d'autres termes, pour chaque valeur de a, les équations (2.3) définissent une
direction dans l'espace Eo^w+i représentant j;, fO, ^:!(0i ■■i ^^(0'^- La variété linéaire la moins étendue contenant toutes les directions ainsi définies est la variété linéaire tangente à la variété S de l'espace Eoyjoi+i qui correspond à la multiplicité OR de l'espace Ey,(,3-t-j '■> si, se déplaçant sur S d'une manière quelcoïKjue, on revient au point de départ, on y revient tangentiellement à la variété considérée.
La généralité de la variété S, ou de la multiplicité correspondante M, est ainsi bien définie.
On peut obtenir un résultat plus précis si l'équation (22) peut être résolue par rapport à une dérivée fonctionnelle, par exemple Xy,. Dans ce cas, on est dans un cas généralisant celui étudié au Chapitre IV dont les résultats, même siy0>-2, s'appliquent sans difficulté; les éléments de chaque multiplicité OU dépendent de la fonction arbitraire Xp{t). Dans le cas général, on peut évidemment dire qu'ils dé- |>endent d'une fonction arbitraire de a, mais c'est moins précis et ne renseigne })as sur le fait de savoir si une des fonctions coordonnées Xi{i) peut être choisie arbitrairement et détermine bien un élément; cela dépendra évidemment de l'intervalle de variation de a et aucune règle générale n'est possible (comparez aux considérations du Chapitre VII de la première Partie).
(') .Nous dirons de même qu'un système d'équations est résoluble analytiquement, que certaines fondions peuvent s'éliminer analytiquement. Cela indiquera qu'il s'agit d'opt!rations delà théorie des fonctions, et qu'il n'y a à eiïectuer aucune dérivation fonctionnelle.
CIIAP. Vt. — TVl'KS IMVEnS n'iÏQUATIONS AUX DIÎRIV KKS FONCTIOXNKI.LES. aSj
Les Miiilliplicilrs .'111 uno fois oblciuics penuctlenl rinLcgrati(»n de rrcjiialioii <'lu(li(''(' clans les luèmes conditions ([uc [)our \('< aiilrcv; Ivpc's d'(''fjuali(»ns du |»ieniici" ordre étudiées jusqu'ici.
81. Plaçons-nous maintenant ilans le cas où l'équation (a/j j ne, résulte pas analjtiquenient de l'équation {'^-i). En considérant X|, \.>, .... \^, comme /> (onctions nouvelles, et non comme des dérivées ronctionnelles d'une même fon<-lionnelIe U, elleinq)ose aux quantités
.^•^■l X2, >^/,, l' des l'eslrictions qui ne résultaient pas de l'c-qua-
ll(»n [■>.'3. ).
En recommençant l'opération qui a conduit à cette opération, on [)eiit obtenir une infinité de conditions nouvelles.
Elles sont en «général incompatibles. Cette circonstance se produit en général dès que Ion a écrit l'équation (a4), qui contient deux paramètres arbitraires 7, et ao, et qui suffirait j)our déterminer nne fonction de deux variables; il n'est xlonc pas possible en général de déterminer U et les fonctions X,(/), XoU), ..., ^p(j) d'une seule variable de manière à la vérifier.
Dans le cas où elles sont compatibles, il peut arriver qu'elles permettent l'élimination des X/(^) déterminant ainsi complètement U.
En dehors de ces cas, on arrive à un certain moment à un système complet, c'est-à-dire un certain système d'équations compatibles, ne permettant pas l'élimination des X,(^), et telles que les conditions d'intégrabilité obtenues en les rapprochant deux à deux n'impose aucune restriction nouvelle. On peut raisonner sur ce système comme sur l'équation (22) elle-même dans le cas du numéro précédent. Son intégration se ramène à la détermination des multiplicités caractéristiques 011,. Seulement elles sont plus étendues que dans le cas précétk^nt. La variété linéaire tangente en chaque point à une de ces multiplicités est la plus petite variété linéaire comprenant, non seulement les directions définies par les équations (23), mais celles définies par les caractéristiques des équations (24) et des autres équations obtenues successivement.
82. Ce qui précède montre la possibilité de généraliser la méthode de Cauchy. Il est facile de voir comment se présente celle de Jacobi cl Mayer.
Plaçons-nous dans le cas où le système, rendu complet, peut se
LKVV. 17
mettre sous la forme
*il [j-i, T.2. . .., .r/,; Xi, X,. .... \p\ l, y.i]\ = o,
( <J>,/] [xi, X2, ..., x,,\ Xi, Xo, . . ., \,>\ V, y-r,] I = o.
et supposons-le résoluble analytiquement par rappc>rl à \|,X2, — X^. de sorte que sa solution générale dépend dune fonctionnelle arbitraire de x,/|.). ...; Tp.
Le principe de la méthode de Jacobi et Maver consistera à adjoindre à ce système une écjualion de même forme
(26) 'l*v-nl [^i> -^i, •• -, i'/. ; Xi, X,, . .., Xp I l , a^i] I — o.
constituant avec les précédentes un système comj^let. et résoluble analytiquement par rapport à X,. X2, .... ^y+i- La répétition du même procédé conduira à un système complet donnant toutes les dérivées fonctionnelles en fonction deX|, j:'o, ..., Xp et U, c'est-à-dire à une intégration aux dérivées fonctionnelles ordinaires, dont l'intégration se ramène à celle d'une équation différentielle.
La détermination de la fonctionnelle *I>y|i dépend du système linéaire
[•î'i- «I>,/M| = |"I'2, *7-l] =•••= ['i*'/^ 'IVy^l] = O.
L'intégration complète de ce système est aussi difficile que celle (bi proposé, puisqu'elle admet les mêmes caractéristiques. Mais il suffit d'en trouver une solution dépendant d'un paramètre; bien entendu ce paramètre a^,,., ne doit pas être une constante additive, puisque toutes les équations obtenues en le faisant varier doivent être vérifiées simultanément, et il faut ajouter une fonction arbitraire de a^^i pour obtenir l'intégrale complète du système proposé. De plus, il faut que ce paramètre varie dans de< limites suffisantes pour permettre la résolution par rapport à N.y-)-i-
Ce résultat obtenu, un nomjjre fini p — ■ q d'opérations analogues, dépendant de systèmes d'équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires contenant chaque fois deux fonctions inconnues de moins, conduit à l'intégrale complète du système proposé. La méthode de Jacobi et Mayer se généralise donc plus aisément dans le cas considéré ici que dans celui considéré n° 78.
83. Généralisation. — Il ressort des considérations qui précèdent que toutes les théories relatives aux équations partielles du premier
CIIAP. VI. — TVI>I-S I)I\ KUS I) KQLATIOXS AUX DlÎRIVKliS FONCTIONNELLES, 9. JQ
ordre s't'Mciulcal sans peiiu' an domaine ronclioiiiicl. (^n [x-iil aiMmcnl clcndrc ces n'-sullals à des cas plus généraux encore on ronsid(''ranl une fonelionnelle U d<''|)endanl d(; />o paramètres, /^i f(jnclions tl une varial)l«', ..., p,n fondions de m variables; en emplovanl le; langage des noml)res Iranslinis, l sciait une ronclion de
variables.
On peut supposer celle fonctionnelle assujelli<' à vciiliri- un svslème comprenant q^ ('quai ions aux (b'-rivées fonclionnelles partielles du premier ordre ne contenant aucun paramètre, y, ('([uations contenant un paramètre, ..., q,i équations contenant n paramètres, c'està-dire un système de y,, + «/i o) -f- ... -^qn w" équations.
Pour l'élude d'un pareil sjslème, il y a lieu d'abord de former les conditions d'intégrabilité, en les rapprochant deux à deux et effectuanl l'opération de Jacobi. Si elles ne sont pas identiquement vérifiées, et ne résullcnl pas analjliquemenl des «'-qualions initiales, on recommence la même opération, en tenant compte des nouvelles équations, et ainsi de suite. Il peut j avoir lieu de recommencer cette opération une inlinilé de fois (ce sera le cas généi-al si /z = o).
On peut arriver ainsi à des équations incompatibles, ou bien à des équations permettant l'élimination, au point de vue analytique, des dt'-rivées fonctionnelles, ce qui détermine U. En dehors de ces cas, on arrive à un certain système complet, formé d'équations compatibles, et telles que la condition d'intégrabilité ne donne aucune restriction nouvelle. Deux circonstances peuvent se présenter :
Ou bien ce système est analytiquement résoluble par rapport à l'ensemble des dérivées fonctionnelles. Il équivaut alors à une équation aux dérivées fonctionnelles ordinaires, C[ui se réduit à une équation différentielle si l'on fait varier les diverses fonctions dont dépend U suivant une loi d('terminée ;
Ou bien certaines dérivées fonctionnelles restent indéterminées. L'intégration du système se ramène alors par la méthode de Cauchy à l'intégration des équations des caractéristiques, c'est-à-dire à un système d'équations aux dérivées fonctionnelles, qui est réductible à un système d'équations différentielles ou intégro-diitérentielles.
De toute façon on est ramené à un problème d'analyse ordinaire, résultat ([ui ne s'étend pas aux équations d'ordres supérieurs au premier.
