Considérons l'équation plus générale

I ! I f F| [x(z) i U, ï] I U:^ ,. dt = G| [xiz) \ U] [.

(') l'oir sur ce cas et un autre plus général N'olterra, Rendiconti délia R. Accadernia dei Lincei, i5 mars ioi4-

•2i4 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

Dans l'espace fonctionne] E^^,^,, plus étendu que celui considéré précédemment (' ), représentant à la fois U et oc[t)^ considérons les car'acléristiques, courbes définies par les équations

^^' \ oU = G|[:r(T)|U]|rfX

On peut évidemment, sur une surface intégrale de l'équation (o), se déplacer de manière que la première équation (4) soit vérifiée. On a alors, pour un tel déplacement,

8U = dK f F| [xi-.) I U, ^] I U.V(<, dt = G| [x(z)\ Uj | dl.

c'est-à-dire que la courbe décrite est une caractéristi([ue. Toute surface intégrale est donc un lieu de caractéristiques.

Inversement, un lieu de caractéristiques est une surface intégrale, lèquation (3) exprimant que le plan tangent à chaque point à la surface qui représente U contient la tangente à la caractéristique.

Il peut naturellement exister une intégrale singulière, enveloppe de l'intégTale générale. Par chaque point de cette surface passent deux caractéristiques, l'une située sur cette surface, l'autre sur les surfaces enveloppées. Les points de l'intégrale singulière sont donc aussi des points singuliers pour les équations (4).

Par un point non singulier A ne passe qu'une caractéristique, et toute surface intégrale contenant A la contenant tout entière.

72. Systèmes d'équations linéaires. — Considérons d'abord un système de deux équations du type ( i), soit

X,(l})^ f P,\[x(z)\t]\V[,,,,dt = o,

Désignons par C| et C2 les caractéristiques de ces deux équations, considérées séparément, par F, et Fa celles qui passent par un point A. Une intégrale du système (5), ayant une valeur donnée en A, a,

(') En employant le langage des nombres transfinis, c'est un espace à oi+i dimensions.

CIIAP. VI. — T\l'i;s 1)I\EHS 1)1 OUATIONS AIX DKIUVKKS FONCTIONNELLES. / [5

d'après le ii" 70, la mrinc valeur mit T,, et par suite sur la surface ï formée par les eourhes Cj qui <()U|)eul T,, et de même sur la surface S' formée par les courbes (], cjui coupenl V-,-

II peut d'ailleurs arriver que ces surfaces soient eonlundno. Les é(juations des caraclérislitpies des deux systèmes étant

la condition pour qu'il en soit ainsi est que Ton puisse déterminer une famille de fonctions x{t), dépendant de deux paramètres X et jj., et vérifiant à la fois ces deux équations, c'est-à-dire que l'on ait la condition d "intégra hili té

d ri X{ t ) â <) T ( t ')

Cette condition s'écrit, en désignant par F'j et F!, les dérivées fonctionnelles de F, et F2,

<S) f F,I[.r(-:)|/. ^,]lF,l[.r,Tji/,]|./^

Si cette condition est vérifiée identiquement, les surfaces ^ et i^' sont confondues, quel que soit le point A. Le système (5), dans ce cas, est dit complet. 11 exprime que U est constant le long de chaque surface S, condition qui définit l'intégrale générale.

Si la condition (8) n'est [)as identiquement vérifiée, désignons la différence des deux membres par F3 [x(t)| t\ \. Partons du point A; faisons varier d'abord À d'une quantité d\, puis jj. de d^, le chemin décrit dans l'espace fonctionnel étant donné par les formules (6) et (7); nous obtenons un point B de la surface -; en intervertissant l'ordre des variations d'j. et <^!i., nous obtenons un point B' de la surface S'. Le vecteur BB' représente évidemment la fonction Y-id^d'j.. Comme une fonctionnelle L intégrale du système (5) a la même valeur en B et B', elle a la même valeur le long des courbes di

d'équalion

Elle vcrilie donc l'équalion

(9) X,{1])^ f F,\[x{z)\l]\{]:,,„dl = o

dont les courbes C-j sont les caractéristiques.

Ce résultat est d'ailleurs facile à vérifier sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques, car on a identiquement

Les éc|uations (5) entraînent donc léqiiation analoi;ue (8). Celle-ci, rapprochée de cliacune des conditions initiales, donne lieu à une condition d'intégrabilité, et, continuant de même, on peut obtenir une suite de nouvelles équations de la même forme, chacune d'elles exprimant que L est constant le long dune famille de courbes caractéristiques.

Il peut d'ailleurs arriver qu'on obtienne effectivement une infinité d'équations distinctes, ou bien qu'après un nombre fini d'opérations on arrive à lui sys/cmc complet^ tel (jue les conditions d'intégrabilité obtenues en rapprochant ses équations deux à deux soient des conséquences des équations déjà écrites. Dans un cas comme dans l'autre, le système obtenu exprime que la fonctionnelle U est constante le long de certaines variétés S, sur chacune desquelles on pourra prendre comme courbes coordonnées des caractéristiques des diverses équations oluenues. Si ces éfpiations sont en nombre finiyj), les variétés S sont à p dimensions. Si elles sont en nombre infini, les variétés H ont une infinité de dimensions; il peut même arriver qu'il n'existe qu'une variété S comprenant tout l'espace fonctionnel, et dans ce cas le système (5) n'admet pas d'autre solution que les solutions évidentes U = const.

73. Remarques. — i" La théorie serait tout à fait analogue si, au lieu de deux équations données initialement, on en avait un plus giMiid nombre.

Clive. \i. — TM>i;s nivFîns d'kouations aix I)i':iiim;ks i-ONcriONMiLi-Es. '^j; a" Si les équations soni <ln type « liii(':aiie à coefficients conslanls >

(loi

y^i^y ) = f y; ( / ) i :,-,,, dt ( ^ = i , 2, . . . , ^ ),

les coiidilioiis (rinU-^rabilitc .sont i(leiili(jii('iuenl v< rilices. Les caraclérisiiqucs de cha({ue équation sont des droites |)arallèles, et les surfaces ï sont des variétés linéaires a p dimensions, parallèles entre elles. Le système (lo) exprime que U est constant sur chacune des variétés.

Supposons que la suite de fonclions

(M» Mt), Mt), ..., /„(/), ...

soil une >uite de lunclions lello que toute fonction de carré somnKiI)l<' -l'ij) soit représentable par une série I.a„J'„il) con\ergente en moyenne ('). L ne fonctionnelle L de x{t) se réduit alors à une touclion f<(rt,, «o, ..., a„, ...) des coefiicients de cette séi'ie, et l'équation Xi(L) = o exprime que cette fonction ne dépend pas de a/. Si alors on considère un système d'une infinité d'équations du type (101, deux cas sont à distinguer suivant que les fonctions /"t (l ) figurant dans ces équations constituent ou non toutes les fonctions de la suile (i i). Dans le premier cas, la fonctionnelle L , solution du système étudié, ne peut être qu'une constante; ce cas rentre dans celui indiqué à la fin du n° 72. Dans le second cas, U peut encore dépendre d'un nombre fini ou infini de paramètres.

74. 1-es considérations du n° 7l2 s'étendent aisément au cas de systèmes composés d'équations du type plus général (3). Considérons qjar exrni[il»' le système de deux équations

l X,rl )s f K,|[.r| L, ^JIL;,^,, ./^-G,i[.rl L J | = o,

(') Nous savons, d'après le Cliapitre VII de la première Partie, qu'il existe de telles suites. Les séries trigonométriques (étudiées au Cliapili-e III de la première Partie) en sont un cas particulier.

a48 DEUXIÈME PARTIE. — DÉBIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

X étant écrit au lieu de x{'z)^ pour simplifier l'écriture. Nous désignerons par X, (U, V) et Xj (U, V) les expressions obtenues en remplaçant U^ par V'j., mais laissant U quand cette quantité intervient par elle-même.

Désignons par C, et C2 les caractéristiques de chacune des équations (12), dans l'espace E^+i. Comme au n° 7:2, deux cas sont à distinguer suivant qu'une certaine condition d'iutégrabilité est remplie ou non.

Soient r, et Fa les caractéristiques de chacune des équations passant par un point A. Si la condition d'intégrabilité est remplie, les courbes C, coupant To et les courbes C2 coupant F, définissent, de deux manières différentes, une même surface S, et cela quel que soit A. La propriété fondamentale des caractéristiques étant qu'une surface intégrale qui contient un point (non singulier) d'une caractéristique la contient tout entière, une surface intégrale du système (12) qui contient un point (non singulier) d'une surface S, la contient tout entière. Les surfaces intégrales sont des lieux de surfaces S.

Si au contraire la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, on peut, en partant d'un point A et suivant des caractéristiques C| et C^. décrire complètement une surface S à un nombre p de dimensions, fini ou infini, mais supérieure 2. Les surfaces intégrales sont, comme dans le cas précédent, des lieux de surfaces -.

Le plan tangent à S en A est défini par les tangentes aux courbes C| et Co passant par A, et les tangentes à d'autres courbes C:j, Ci, . . ., Cy,, que l'on peut définir comme au n" 72, et qui sont les caractéristiques d'équations analogues aux équations (12) et résultant de ces équations. Les formules seules sont un peu différentes de celles du n° 72.

Les équations des courbes C3 résultent évidemment des formules

dxit)

dxit) âix

dxit)

àU

àiJ.

où K et iJL sont des paramètres correspondant aux courbes C( et C^. par des formules analogues aux formules (4). En développant ces

ClIAP. VI. — TVI'F.S niVEHS I)'ÉOI:ATIO.NS ALX DÉUlVJiKS FONCTIONNTI.I.F.S. j \ij

cxprossions, ou Irousc pour les seconds infuil)res

-.iki^,oi='"^'":r'"'':.i[^ini-'"^'":i"''"G,i[.Mii

-M^-J[x|U, t, t,]\V,\[x\\J,t,]\\dt,,

-/ j r.',|[x|u,^,iir-M[^|u,^,]I

-r.'.|[riu, /.]|i-\|[.riL-, «.]| ;./<..

Ces courbes C3 sont les caraclérisli([ues de réqualion

X3(U) ^ f F,\[x\ l, t] I U, ;„ dt-G,\[x\l]\=o.

On constate d'ailleurs aisément que cette équation sécrit i(leuli(jin-

ment

X,[l\ X,(l'i] — Xo[U, XiiUi] = 0,

ce qui permet de vérifier, sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques, qu'elle résulte des deux équations (12).

7o. Équations non linéaires. — Etudions maintenant l'i-qualiou non linéaire

(i3) .l.|[.r(0, X^O|LJl = o [X(0=L^:./].

Désignons la variation de la fonctionnelle $ par

o'Jj = / (<I>^ o:r — <î>x oX) r//-f- «ÏJu'^U.

Pour chaque détermination de x(t), les éléments du second ordre d une fonctionnelle L sont définis par la donnée de la fonctionnelle linéaire identique à son adjointe

oX(0 = Elu.).

Si la fonctionnelle L est une intégrale, on a

o<l. = r [q>'^ 4- E(«I>k) + X<i>u] or df = o,

•.>5o DEIXIÈ.ME PARTIE. — DÉRIVÉES KONCTIONXELLES DU PREMIER ORDRE.

Cl cela quel que soitor, et par suite

Celte condition exprime que

entraîne

Ceci nous conduit à considérer les multiplicités caractéristiques, composées d'éléments dépendant dun paramètre A, et tels que

iS cc(t) = <1>,WA, ?A = dl X{t)<l>xd(,

Un élément d'intégrale (à l'exception de certains éléments singuliers) définit parfaitement une caractéristique. Une surface intégrale S de l'équation (i3), contenant un élément singulier d'une caractéristique, la contient tout entière. Cela résulte évidemment de ce qu'un déplacement sur la surface, vérifiant la première équation (i 4), vérifie aussi la dernière, comme nous venons de le voir; la seconde est vérifiée pour tout déplacement de la sui-face S.

La théorie des équations du tjpe (i3) est donc tout à fait analogue à celle des équations étudiées Chapitre IV^. La détermination de l'intégrale générale et la solution du problème de Cauchj se ramènent aux problèmes analogues concernant les équations des caractéristiques, qui sont réductibles à des équations intégro-diflerentielles. On est donc ramené à un prol)lème d'analyse ordinaire.

Si, au lieu de se placer dans l'espace E^+i dont chaque point représente un système de déterminations de a: [ij el U, on se place dans l'espace Eo^^^.! dont chaque point représente un système de déterminations de ^ {()■, X {t) etU, les équations (i4) définissent des courbes, et non des multiplicités. Ces courbes sont les caractéristiques de l'équation linéaire

(i5) f ['I>x(^':.+ XTi)-Tx(*:c-+-X<K-)]^^-o,

W étant une fonctionnelle inconnue de x{t), X (/}, U. Ainsi, comme

(MAP. M. — TM'KS Divins D EQUAïIO^S AUX DKRlVKIiS FONCTIONM: LI.KS. .'.Il

[)oiir les ((jiijilions aux drrivi'Ts parliclirs du premier ordre, une équalidii iu)ii linéaire se ramène à une érpialion linéaire à un plus grand n()nd)re de variables indé|)cndanl<;s.

7(). Systèmes d'équations non linéaires. — Nous nous eonlenlerons encore, pour inditpier les eireonstances (pii se présentent, de considérer le cas des deux écpialions, soit

^'" i vr| [./•(/), x(0|U]l = o.

Désignons par -'^11 , et Ole o les multiplicités caractéristiques de ces deux équations, qui sont des multiplicités dans l'espace E,„^,, et par C, et Co les courhes de l'espace Eo(,,+ i qui leur ((tri-espondent. i\ous axons toujours deux cas à distinguer sui\aiil cpTune certaine condition «l'intégrabilité est vérifiée ou non.

Dans le premier cas, en partant dun point A de l'espace E;^^^, et décrivant des courbes C( et C^, on reste sur une surface à deux dimensions. Comme l'équation

oL = / X{t')occ(t)dt, [X(t) = i:'j.(f)]

est vérifiée pour ces déplacements, cela revient à dire qu'en partant d'un élément C de l'espace E(o^, et se déplaçant le long des multiplicités ;)nLi ou 0]L2, on obtient des éléments dépendant de deux paramètres et constituant une multiplicité D\i. Toute surface intégrale ayant un élément (non singulier) commun avec une telle multiplicité la contient tout entière. Ces multiplicités jouent pour le système (i6) le même rôle que les multiplicités à une dimension Olti et ;^rL2 pour chacune de ses équations.

Dans le cas où la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée,, on obtient (comme aux n°^ 7l2 et 74) des résultats analogues, les surfaces S et multiplicités DM. étant seulement remplacées par des surfaces ou multiplicités analogues, mais à plus de deux dimensions.

I.e procédé pour obtenir leurs équations est toujours le même. Désignant par e une quelconque des quantités x(t)^ -^(0' ^' P^^ ^^' et a des paramètres dont la variation indique des déplacements situés respectivement sur OR, et OllLo, on obtient une multiplicité ana-

loi^ue DIL3 définie par les équations

()e () de () de

dv OX <)]x d\x <fk

On oljlient ensuite successivement les équations de multiplicités analogues 011 j, Olli, ..., et le plan tangent à la surface S qui représente la multiplicité ;'»rt dans l'espace Eoto+i est défini par les tangentes aux courbes C,, Co, C3. ... qui représentent les multiplicités

m,, ;Tc„ 01I3, ....

En développant les équations des multiplicités ''Tl;j, représentées symboliquement par la formule (17), on constate que ce sont les multiplicités caractéristiques de l'équation

< 1 8 ) [ *, ir ] ^ r [ <I''x ( ^F:^. + X Tt- ) - ^Fx ( 'Vjo + X <I>u ) ] c/f = G.

Cette équation, par la manière dont elle est obtenue, est une conséquence des équations (16). En effet, toute surface intégrale du système (16) ayant un élément non singulier commun avec une multiplicité caractéristique OII3 de l'équation (18), la contient tout entière. C'est donc une intégrale de cette équation.

77. On reconnaît dans l'expression (i(S) la généralisation des crochets de Jacobi. Lorsque les fonctionnelles fp et W ne dépendent pas de U, elle se réduit à l'expression

(19) (.1., 'h)^ f {^\.'^W',-^V,W'^)dt

qui généralise les parenthèses de Poisson. On vérifie sans peine l'exactitude de la formule

qui généralise le théorème de Poisson. Si donc W etQ sont deux intégrales de l'équation (18), il en est de même de (^I', Q). En d'aulre> termes, supposons que le système

soit complet, et que l'équation $ = o, rapprochée de chacune des deux équations W = oettî = (), constitue un système complet, le

rilAI'. VI. — IVI'ES DIVEnS n'KQUATIONS AL'X DKniVKES FONCTIONNELLES. 9-53 SVSlèllU'

( 1 1 ) <i> = w = •) ^ ( »r, il) = i)

est éyalciiK'iil ((implcl. C «'St là un résuhiil luhillit si mu lieu des équations consliluaiil rcs svsicnics on écrit les caracléristiques correspon- «lanlcs. Dési<;nons on eflct par C^,, Co, (^3, C-, les courbes de l'espace l'^jw+i corrospondaul aux caractc-ristiques des quatre équations (21). Les courbes Co et (^3 ne définissent pas des surfaces à deux dimensions, mais des surfaces (-;t) à trois dimensions contenant aussi les courbes G;,. Ces surfaces peuvent se déformer de manière que chacun de leurs points décrive une ligne C|, puisqu'elles sont formées de courbes (], qui jouissent de cette propriété. On obtient ainsi des surfaces (-i), dont on ne peut sortir en décrivant des courbes C|, Cj, r.., et C,. Cela prouve bien que le système (21) est complet.

Il n'est pas plus difficile de vérifier, par un calcul direct, (pi'une fonctionnelle l , intc'-grale du système (16), v(''rifie l'équation (18). En posant

rA = f \i f)ox(t)dt, o X( /! = FCo.r), nous avons vu n" 75 que l'équation $ = o, dilTérentiée, donne

De même, léqualion W = o donne

Multiplions la première de ces formules par — -^V^' lasecouclc par ^IJ, . ajoutons et intégrons. Il vient

et, par suite, la fonctionnelle E ('-tant identique à son adjointe.

78. On peut chercher à étendre le principe de la méthode de Jacobi et Mayer. Plaçons-nous par exemple dans le cas où les fonctionnelles <ï> et W ne contiennent pas L .

L'adjonction aux équations proposées (16) de nouvelles équations.

déduites des premières par ropéraleur de J.icobi donne, après un nombre d'opérations fini ou infini, un système complet. Si ses multiplicités caractéristiques OÏL sont si étendues qu'il n'en existe qu'une infinité simple, chacune d'elles représente une surface intégrale. On peut dans ce cas des équations écrites déduire, par des opérations de l'analyse ordinaire, l'expression de X(/) en fonction de U et x{t), et U est alors donné par une équation aux dérivées foncllonnelles ordinaires, complètement intégrable.

Dans le cas contraire, on ne peut pas tirer X(^ ) des équations écrites. On peut alors chercher à adjoindre aux équations écrites une nouvelle équation Q = o constituant avec elles un système complet, et, d'après le numéro précédent, il suffit que la fonctionnelle il vérifie

les équations

(«1>, O) = o, or, Q) = o.

L'intégration complète de ce système linéaire est équivalente à celle du proposé, conduisant aux mêmes équations des caractéristiques. Mais il suffit d'en trouver une solution particulière, d'où l'on déduira une solution plus générale Ù-|-const.

Si les équations écrites ne suffisent pas pour obtenir, l'expression de X(f) en fonction de U et x{i), on cherchei^a à adjoindre au système une nouvelle équation, et ainsi de suite, un nombre fini ou infini de fois. On pourra enfin exprimer X(i) en fonction deU el x {t ) et en déduire U par l'intégration d'une équation aux dérivées fonctionnelles ordinaires. On aura ainsi une intégrale complète, qui permet d'obtenir lintégrale générale ou de résoudre le problème de Cauchy.

Ainsi, le principe de la méthode s'applique, mais le résultat est beaucoup moins intéressant que dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Sauf dans le cas où les intégrales du système proposé ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres, il faut une infinité d'opérations. De plus, la résolution des équations obtenues par rapport à X (^) peut être très difficile, bien que ce soit un problème d'analyse ordinaire. La méthode qui généralise celle de Cauchy, qui consiste à déterminer les surfaces S, est certainement préférable et plus dans la nature des choses Ç^).

('j Cela est d'ailleurs vrai dans l'analyse ordinaire. On invoque en général en faveur de la métiiode de Jacobi et JMayer que chaque opération abaisse de deux unités l'ordre du système k intégrer. C'est là, au fond, une propiiélé des équations

CIIAP. \l. — TM'KS DIVERS d'kQLA TIO.NS AU\ ltKUI\ KKS FONCTIONMiLLES. i'i'j

79. Équations contenant un paramètre. — Soil U. une foncliou arbitraire (le j) tuiictions a:, {t), x^ {t)-, . . . , Xp[l). Désignons .ses âcv'ivécs fonclioiiiicllcs par \|(^), X.^.f^), . . ., \f,( t). Considérons une cqualioii aii.\ dérivées louelionnelles

(■^■•0 «l'ir.r.,^'.,, ...,T,r, X,, \„ .... \,,ll .7.11 = 0,

doiiL la loiiiie (léjtciul d'un paramétre a.

l.c fait cpie l'on ail plusieurs fondions arbitraires ne cliange rien à la théorie ev|)osée n° 7o. Pour chaque valeur de a, on a une équation <lonl l'inlégralion se ramène à celle des équations intéi^ro-dilIV-rc-ntielles des caractéristiques. Ces équations s'écrivent