I. - LE VOLUME ET LA SURFACE DE LA SPHÈRE

2. Calcul d'une intégrale définie. — Le volume de la s])hère se déduit aisément de la valeur de l'intégrale définie

(i) 1„= f'cos"(idO.

Par une intégration pai- parties, on a, si /« > i ,

]„= [sinOcos''-iO)^- H-(/j — I) / cos"-2esiu20 ^0

d'où

CIIA!'. I. — LA Sl'IlKHE DANS LKSI'AI K A n DIMENSIONS. îGi

(^lle formulr dn récurrence, et le ciilciil flircri de !„ el I,. (Ii)nin'iil les (oniiiilcs classifuics

f/inlrodiKliun tle^ fVuicllons euh-rienncs peiiiit'l de léunir ce.> fornuiles en une tormule unifjue, valable même si /? n'esl pas entier. iSous n'aurons pas Ivesoiii de celle formidi'. lÀiiiuirquoiis x'ulemenl (pic. d'après celles (pio nous venons d'rcriic. (ui ;i

et |)ar suite, ti élant un entier })osilif (piclconquc.

3. Ordre de grandeur de I„. — De la lornuilf de délinltion (i) résulle éviden\ment cpie 1,, décroît quand n aui;iiienh'. ( )n a donc

et I,j. équivalent à I„^.o pour 11 indni. d après la formule (2), est aussi équivalent à l/,,.|. D'après la formule ( 4 )• on a donc

. Il est évident que les diflcrenles parties de rinlervalle d'intégration de 0 à - ne contribuent pas éualement, si n est orand, à la ■j. j o r '

valeur de I„. a étant un angle compris entre o et -• on a évidemment

/ cos" ô dx ' / — — a ) cos" z. Cette intégrale, si n est grand, est donc infiniment j)etite par rap-

poi^t à 1,11 cl6 sorle que, quelque petit que soit a, l'intégrale de <> à a est équivalente à I„.

Pour avoir une fraction Unie de l„, il faut intégrer entre zéro et une limite supérieure tendant vers zéro avec n. Calculons

r V « I /* * ce

Or, entre o et a, cos" — r tend uniformément, pour ji inlini vers e ^ . L'intégrale considérée est donc équivalente à

e - dx.

On voit donc qu'elle représente bien une partie finie de I«. fraction aussi voisine de l'unité que l'on veut si l'on a pris a assez grand.

i. Le volume de la sphère dans l'espace E„. — Ce \olume est

évidemment de la forme

R étant le ravon de la sphère, et K„ le volume de la sphère de ravon i. Pour calculer ce volume, décomposons-le en tranches par des plans parallèles; la distance d'un de ces plans au centre étant sinO, la mesure de la section de la sphère par ce plan est K/,, cos"~' d, de sorte que

K„ = 2 / K„i ces" 0 6?6 = 2 I,j K«-i et par suite

ou, en tenant compte de la formule (4),

De cette formule de récurrence et des valeurs connues de Ko et R3, on déduit