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CII.U'. I. — I.V SIMIlhtK DANS l'kSPACR A /ijKIMlCNSlOXS. 2G5

( )ii \(»il «Ioik; (iuo le miIiihk; de la s|)lièi<' «le rayon II dans r<'^|)acc !"]„ Icnd vers zéro pour n ialini,fl que le volniiic do la S|)liùre <lt' ravon Ry//i est équivalenl, d'après la lorniule de Slirling ('), à

v//tr

Il devu'Ul donc nul ou inllni suixanl (jiie 11 <sl inldicur ou r'j,;y[ à . ou au coiilraire supérieur à celle valeur.

5. La concentration près de la surface. — (Considérons dans lespacc; E,j deux sphères coneenlriques de rayon Pi eLPi(i — ai, a élanl compris entre o el i . Leurs volumes sonl dans le rapporl des

nombres

Donc, quelque pelil que soil a, le second est, pour n infini, infiniment petit comparé au premier; autrement dit, la région comprise entre les deux sphères concentriques a un volume érpiivalenl à celui <le la plus grande sphère. On peut exprimer ce fait en disant que, [)our 71 très grand, le volume de la sphère se concentre j)rès de sa surface.

Si l'on veut que la région comprise entre les deux S|)hères soit une fraction finie du volume total, il faut donc que la diflérence des deux rayons soit^ non une fraction finie de Pi, mais une quantité

infiniment petite. En prenant comme rayons Pi el Pifi -)>les

volumes des deux sphères sont entre eux comme les nond)res

(') On déduit en général cette formule de la théorie des fonctions eulérienncs. Il nous paraît plus simple d'observer que la fonction

a une limite, puisque logF(«+i) — logF(/i), équivalent pour « infini à ^j

esl le terme général dune série convergente. Celle limite se déduit alors immédiatement des formules (3) et (5) ou, ce qui revient au même, de la formule \Yallis.

a66 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

t'I à la limile, comme les nombres

La sphère intérieure comprend celle fois une fraction finie du Nolume total, mais on peut rendre celte fraction aussi petite que l'on veut en prenant a assez grand. Cela montre bien suivant quelle loi le volume de la sphère se concentre près de la surface.

G. La concentration près de l'équateur. — Considérons maintenant dans l'esjtace E„ la portion de la sphère de ravon R compris entre les plans

; = R sin6,, G = R sinOo.

c étant la distance à un plan passant par le centre de la sphère. Le volume total et la portion considérée, d'après le procédé qui a été employé n" 4 pour évaluer le volume de la sphère, sont entre eux comme les intégrales

/ cos"0<^f), / cos"0^/').

Si f), <; o ■< Oo, quelque petites que soient les valeurs absolues de ces nombres, ces deux intégrales sont équivalentes pour n infini (n" 3), de sorte que tout le volume de la sphère se concentre pour n très grand dans une zone aussi mince que l'on veut, limitée par deux plans parallèles situés de part et d'autre du centre.

Si nous voulons que la zone considérée comprenne, lorsque n devient infini, une fraction restant finie du volume de la sphère, il faut que 0, et Oo tendent vers zéro. En prenant comme plans limites

^ = Rsin-^j ^=Rsiii-^i

ou,

ce qui revient au même.

on obtient un volume, dont le rapport au \nlume total tend, d'après

CKVP. 1. — l.\ PPIIIMIK DANS LESPACK A II IJISIKN^IONS. V.fjj '

le n" 15, \ois

if)) — ^ / '■ - dx.

(,fUc iViiLlinii c'Sl aussi xolsiiic (jiic I On veut df I iinih'. |)(>iirvii (|uc ;i t't l-> solciil rua nri;;ilif. raulrr poxiiif. cl lou^ tlciix siiflisaninient grancls en valeur absolue.

Si, au lieu de la sphère de rayon 1\, on considère la sphère d<' rayon Ry//. (jui nous (h)uriera à la liinile une sphère de rayon R dans l'espace fonclionnel, on obtient évidemment le mèuie résidtanl en considérant la zone d'f'paisseur Unie limitée pai- les plans

7. Volume commun à un nombre fini de zones. - Considérons d abord le cas d'un nomltre fini p ih- zones, dont chacune e^l limitée par des plans parallèles situés de part et d'autre du centre à des distances de ce point éjjales à des fractions Unies du rayon. En retranchant d'abord du volume de la sphère la région extérieure à la première zone, on ne retranche qu'une fraction infiniment petite du ^olun1e total; il en est de même quand on retranche successivement les régions extérieures aux autres zones. Donc le volume commun aux p zones considérées est, pour n inlini. équivalent au \(>lum<' total.

11 en e>t de même si 1 on retranche en outre le volume intérieur à une sphère dont le rayon représente une fraction finie du l'tiyon de la sphère étudiée.

On peut donc dire que le volume de la sphère se concentre tout entier, pour ?i infini, dans le voisinage de la zone comprenant le> }»oints communs à la surface et à p plans passant par le centre.

Considérons maintenant des zones d'épaisseurs infiniment petites par rapport aux rayons. Pour fixer les idées, nous prendrons la sphère de ravon infini R\//i et les zones d'épaisseur finie

MO) R;/<-/<R?; (i = [,>, ..../>).

Nous allons montrer que la fraction du volume de la sphère comprise dans la région commune à ces zones, autrement dit la pi'obabilité pour qu'un jtoint intérieur à la sphère soit dans cette

région, a la valeur

(il) j / dxi I dx-i... I dxpe -

Cette formuîe exprime que les variables z ont des lois de probabilités Indépendantes. Pour la démontrer, il suffit de montrer que les conditions

(1-2) z.i=Rl, (i = I, -2, ..../> —l)

sont sans influence sur la loi de probabilité de Zp. En efl'et, ces équations, écrites dans l'espace à n dimensions, représentent un plan à 71 — p-\-i dimensions, à une dislance déterminée /•z=/,R du centre de la sphère, égale, si les plans Zi= const. sont perpendiculaires deux à deux, à

La section de ce plan par la sphère du rayon Ry/^ est une sphère de l'espace à n — yO + i dimensions et de rayon R.y /? — /.- équivalent à R^/i — p-]-i. Le nomln-e n, et par suite n — ^-|-i, devenant infini, la loi de probabilité pour la coordonnée ^^=R^;^ est bien celle qui résulte de la formule (9). Elle est donc bien indépendante des conditions (12).

8. La surface de la sphère. — Dans l'espace E,^, le volume de la sphère étant K„R^", sa surface est évidemment

dR -"^'^^ '

La surface de la sphère de rayon R tend donc vers zéro pour n infini, tandis que celle de la sphère de rayon Ry/« devient nulle ou infinie en même temps que le volume, sauf dans le cas limite où R = •

Dans ce cas, d'après le n° 4. le volume de la splière est équivalent à -pr:^> de sorte que sa surface est équivalente à l / — •

On peut évaluer directement la surface de la sphère en partant de la surface d'une zone. Le calcul est analogue à celui du n" 4, mais le rôle joué par l'intégrale I„ est joué ici par l'intégrale 1«|. Tl résulte

ClIAP. I. — I.V SIMIKUR DANS l'eSPACE A // DIMENSIONS. 269

iinmcdiatcincnl di' (•«•lie circonslaiicc que la lliéorie de la concon- Iration près do létjualeur, (hi-vcloppco pour le volume de la splière, s'applique sans modlficallon pour la surfaee ( ').

11 y a lieu de rcniarcpier «railleurs (pu.-, élaal «jlahlie pour le volume, la théorie en (pieslion «'st sùrtMnenl vraie pour la surface. En elTel, ayant déniontn'' (pic 1«; v«»liiine de la spliè-re, si n est très grand, peut être confondu avec une erreur très petite avec celui d'une couronne sphérique très mince, cela revient au même de dire que le volume de la splière est presque tout entier dans le volume commun à un nombre fini de zones très minces, ou d'énoncer le même résultat relatif à une couronne sphérique voisine de la surface, ou encore à la surface ello-mémc.