CIIAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES

l*our montrer la possibililr. soit de ce cas, soit du précédent où la suite (30) est complète, il suflil de se doniier a />/-/o/"i cette suite, finie ou infinie, et dans ce dernier cas complète ou incomplète, puis les A„ tels (jue la série (26) converge. La série (ai) définit alors la fonction de carré sommable o[t, t), et il est bien évident que l'équation (18), pour / =: A„, admet la solution /'„(/), de sorte qu'en partant de cette équation, on lelrouve la suite des fonctions /„( /) choisies.

07. Comme conclusion de ce qui précède, nous voyons que la fonclionnelle (17) est toujours décomposable en un nombre fini ou une infinité dénombrable de carrés orthogonaux. En d'autres termes, on peut rapporter la quadrique L = const. à ses axes, comme nous nous étions proposés de le faire.

•Si la suite (20) n'est pas complète, le système des coordonnées â!(,

«2- •••? ««5 ••• peut être complété par d'autres coordonnées 6i,

bi, •■■■ Ces dernières n'intervenant pas dans l'expression (27), la

quadrique U = const. est du type parabolique; d'une manière plus

précise, c'est un cylindre, ayant ses plans générateurs parallèles au

plan

ai = a-} = . . • = an ==...== o.

Si la suite (20) est complète, la quadrique L = i est du type ellipsoïde ou du type hyperboloïde suivant que les a„ sont ou non tou^ du même signe.

Dans un cas comme dans l'auti-e, les demi-axes ont la valeur

/„ z= y X„. On remarque qu'ils deviennent infinis, la série \^ ^, étant convergente.

OS. Forme normale quelconque. — Des circonstances toutes différentes se présentent si U n'est pas une fonctionnelle de Gâteaux. Supposons-la de la forme

La condition o()X — /•-) = o s'écrit

Pour aucune valeur de A. elle n'est vérifiée pour une fonction non identiquement nulle, du moins en général. Pour expliquer cette circons-

34o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

tance, appliquons la méthode du passage du fini à l'infini. Remplaçons d'abord (];(i)par une fonction simple d'ordre n égale successivement

à^j;,, '|i2, • • •- '}«• Dans l'intervalle ( ' , - j ? le facteur)>'!;(i) — i s'annule si l'on prend X = — > et la condition précédente est vérifiée si

x{t) est nul en dehors de cet intervalle. Si nous nous bornons aussi pour x{t) aux fonctions simples d'ordre /i, nous n'avons qu'à prendre

comme valeur de x{t) correspondant à la valeur A{=^ t- ' la fonction

Xi{t) égale à \/n dans l'intervalle ( > - j et nulle en dehors de cet

intervalle, et nous avons la formule de décomposition en carrés

en posant ar(^) = Sa,\r/(;), c'est-à-dire que \i^^\Jnai est la valeur de xi^i) dans l'intervalle

Il n

Quand n augmente indéfiniment, l'ensemble des valeurs caractéristiques de \ tend vers l'ensemble de toutes les valeurs de -p- — : on

dit qu'il forme un spectre continu, tandis que, dans le cas précédent, on avait un spectre discontinu. La somme des carrés tend alors non vers une série, comme dans l'exemple précédent, mais vers une intégrale, qui n'est autre que l'intégrale (28). Chacune des fonctions Xi{t) ne converge pas en moyenne vers une fonction de carré sommable, puisque son module fonctionnel restant égal à i , elle tend vers zéro, sauf en un point de l'intervalle ( o, i) ; ceci explique que nous n'ayons pas pu trouver de fonction de carré sommable correspondant à chacune des valeurs caractéristiques A = -; — : et annulant

a(xu-H).

C'est d'ailleurs celte circonstance qui caractérise le cas du spectre continu, et non le fait que les longueurs des demi-axes des /î'^"'^* sections aient pour valeurs limites toutes les valeurs d'un certain intervalle. Cette dernière circonstance est réalisée aussi par exemple pour

la quadrique

Cl a 1 -h C2 a^ 4- . . . -H c„ «,^ -^ . . . = I ,

les Cl étant finis et partout denses dans un certain intervalle; mais en

CHAP. IV. — MKSIRE DKS VOLUMES ET DES SURFACES. i^l

direction, les demi-axes de la (juadiiquc tendent vers des droites limites délerminées, situées dans l'espace fonctionnel, c'est-à-dire représentant des fonctions de carrés sommables; c'est ce qui caractérise le cas du spectre discontinu.

Si la fonction 'l{t) garde un signe constant sans s'annuler, la forme L sera définie, la quadrique U =: const. étant du type ellipsoïde. Si '^(t) s'annule dans une partie de l'intervalle (o, i), la quadrique U = const. sera un cylindre, elliptique ou hyperbolique suivant que les valeurs non nulles deà(t) sont toutes de même signe ou non. Si 'l{t) change de signe, en ne s'annulant que pour les points d'un ensemble de mesure nulle, ce qui est indifférent pour la fonctionnelle L , la quadrique est du type liAperbolique.

De toute façon, les dcini-axes de la quadrique U = i prennent

toutes les valeurs de la fonction •

69. On obtient naturellement des circonstances plus générales pour la forme

)dt

qui comprend les deux précédentes comme cas particulier. La condition o(aL — /■-') = o s'écrit

Tant que |a|<^ ^t^^-j :Xl désignant le module maximum de 'i^(^),

on peut diviser par i — '/.•Lit), ce qui ramène l'équation à la forme de Fredholm, et la solution est donnée par les formules habituelles; on ne peut avoir qu'un spectre discontinu. Mais le spectre peut

devenir continu dès que | A | dépasse la valeur ^rrr-

70- Forme générale. — Des circonstances différentes encore se produiront pour les formes qui ne sont pas normales. Soit, par exemple, la fonctionnelle déjà considérée

( 3o) ^ = I x{t)x{i — t\dt.

- La condition o(>.L — /■-) = o s'écrit

la-ii — t) = x{t).

Pour que cette formule soit vraie à la fois pour ^ et i — /, il faut que )v = du I . Pour la valeur caractéristique i, les fonctions .r(f) correspondantes doivent être telles que x{ t ) ^ x{\ — /), c'est-à-dire paire^ si on la prolonge pour t négatif de manière qu'elle admette la période i. Pour ). = — i. les fonctions correspondantes seront impaires. On a ainsi deux valeurs caractéristiques d'ordres infinis, et en développant les fonctions paires en série de fonctions orthogonales et normales

fi{t), f,(t), .... /■,/>• 0, ••.,

et de même les fonctions impaires en une série analogue de fonctions

/l'O, /31O, •••, f-ii'-\(t), •..,

on arrive à la formule

On voit que nous obtenons une décomposition en une infinité dénombrable de carrés, mais dans laquelle les coefficients alternativement égaux à — ^ I et à +1, ne tendent pas vers une limite. Cette circonstance ne semble pas pouvoir se produire avec une fonctionnelle normale; en tout cas, elle ne le peut pas, comme nous l'avons déjà remarqué, si la suite des fonctions /„(<) correspondant aux axes est la suite (6) du Chapitre précédent.

Elle se produira au contraire, en général, avec une fonctionnelle générale donnant lieu à un spectre discontinu, puisqu'une telle fonctionnelle peut être obtenue en choisissant arbitrairement les directions des axes, et une suite de nombres C|, Co, . . ., c„, . . ., dont les modules soient bornés, et en posant

U = Cia| -i- C2a| -f-. . .-f- c,ja2 -h. . .. •

71. Le volume de l'ellipsoïde. — Proposons-nous d'évaluer le volume de l'ellipsoïde dans les difl'érents cas que nous venons de considérer. Soit d'abord l'ellipsoïde C, d'équation

(3.) u = fi + fi+. ..+ ?!+...= ,,

Al As A „

CIUP. IV. — MKSl RK IIKS VOI.lMIiS Kl' DES SURKACES. ) '\'i

le sysirnie des axes des a,. (t>. . . ., f/,j, . . . ("laiil supposé ((uiiplii. ci les A„ éliinl des iiniiilircs pnsilils, aii^iiienlaiil iiKiéliiiimciil (jiif uoiis supposerons raii|;<'s pai' ordre d«' j;randeurs croissanles (si 7 ,-5

converge, l esl iiikî loiuiioiinclle iionnal»' d(; (îa(<'aii\j.

La section de cet ellipsoïde par le plan des a,, a-j, .... o,, >••.[ un ellipsoïde, équivalent à une sphère du même plan, donl le rayon, moyenne géoinélrique des demi-axes \/')^\, \/'k2i ••., y/X,, augmente indéfiniment avec n. A la limite, le volume de l'ellipsoïde «1' apparaît comme supt-rieur à celui de n'importe quelle s|)hère.

Au lieu de la section de r<'llipsoïde C par le plan (lesOf.ff^ a,i,

on peut considérer sa /i"''"^ section c„, soit au point de \iir du n" 48, soit au point de vue du Chapitre III, les axes étant seulement dilîerents de ceux de l'ellipsoïde. Nous allons montrer que les demi-axes de l'ellipsoïde C„, rangés par ordre de grandenrs croissantes, tendent respectivement vers y/X), y/Ào? • • •• ^6 sorte que la conclusion relative au volume de l'ellipsoïde il reste exacte à ce nouveau point de vue.

Pour simplifier le raisonnement, nous supposerons les ).„ tous distincts; il n'y aurait aucun changement essentiel si l'on en supposait plusieurs égaux.

Pour n assez grand, le plan de l'ellipsoïde >L'„ approche autant qu'on veut de tout point de l'espace fonctionnel, et en particulier des extrémités de l'axe des «, dans l'ellipsoïde C. Par suite, i',i contient des points dont la distance au centre, évidemment toujours supérieure à y/A,, approche autant qu'on veut de cette valeur. Donc le plus petit demi-axe de l'ellipsoïde tL„ tend en grandeur vers y )., et par suite en position vers l'axe des «,.

Dans la section de l'ellipsoïde «L'„ par le plan perpendiculaire à cet axe, plan qui tend vers le plan «, = o, la distance au centre devient et reste supérieure, pour/? assez grand, à y/).o — î, s étant un nombre positif arbitrairement petit. Les deux points de cette section les plus rapprochés du centre tendent alors vers les extrémités de l'axe des a-^ dans l'ellipsoïde »L'. Le second des demi-axes de l'ellipsoïde ^ „, rangés par ordre de grandeurs croissantes, tend donc versy/X^; et ainsi de suite. c. Q. F. o.