La mesure d'une sphère de rajon i est, d'après le n

Il n'j^a aucun inconvénient à la prendre comme unité de volume, à condition de modifier en conséquence les unités de mesure des surfaces et différentes sortes de variétés situées dans l'espace fonctionnel. En désignant par X>p la mesure d'une variété à un nombre finiy> de dimensions, et par "^^^^p la mesure d'une variété à (o — p dimensions, définie, dans une région finie de l'espace fonctionnel, par p conditions d'égalité, toutes les relations que nous aurons à écrire entre les mesures de ces différentes sortes de variétés seront du type

Elles seront homogènes par rapport à l'ensemble des quantités X'w^ \'^w-n \'\o 2i • • •• On peut alors adopter pour les volumes '^f^ d'une part, pour les longueurs d'autre part, telles unités qu'on voudra. Les mesures des volumes du type pp résultent d'une manière bien déterminée de l'unité de longueur, tandis que celles des volumes du type X^oi-p dépendent à la fois de l'unité de longueur et de l'unité de volume du type \'^to-

Pour les longueurs, nous conserverons bien entendu notre définition habituelle. Pour les volumes du type "C^^i nous prendrons comme unité la sphère du rayon i .

50. Un volume fini de l'espace fonctionnel, mais assez grand pour comprendre une petite sphère à son intérieur ('), a sa mesure com-

(') Pour comprendre l'utilité de ces restrictions, remarquons que le volume

limité par la surface / \x\i'dt est infini, n'étant intérieur à aucune splière,

si />>2, et est au contraire nul, ne comprenant aucune sphère à son intérieur, si p < 2.

CIIAP. IV. — MESURE OKS VOI^UMES ET DES SlUFACES, 3 17

pi'iso cnlrc; deux cxprcssicms de la forme /'" eL IV". Oa (Joli done s'allcndre à ce que les volumes que nous avons n considérer soient fréquemment du type cioPa^.

Ij'ordre de grandeur d'un tel voliim(; est dt'fini par r/, rpie nous appellerons rayon de la sphère équivalente à ce volume; d'une manière [)récise, le rayon de la s{)lu'!re égale à sa /i'*""" section tend vers a. On peut se demander s'il est utile, à côté de a"», de conserver le facteur cmP . \a\ réponse est évidemment aflirinalivc. Nous avons vu par exemple que la moyenne d'une fonctionnelle définie dans un cylindre limité est en général effectivement la moyenne de valeurs diflerentes qu'elle prend dans des portions de volumes du même ordre de grandeur, et que l'on ne peut comparer qu'en tenant compte d'une manière précise du facteur c.

On peut d'autre part indiquer des exemples qui donnent lieu à des difficultés assez sérieuses. Considérons une sphère de rayon R.. Le plan E,j, /i"'™" section de l'espace fonctionnel, ne contenant en général pas exactement son centre, la coupe suivant une sphère de rayon réduit R,, dont on peut seulement dire qu'il tend vers R en croissant constamment, mais on peut placer le centre de la sphère de manière que R, tende vers R aussi lentement qu'on veut. Le

rapport ( -tt ) de la /i"'™" section de la sphère considérée et de celle

d'une sphère de même rayon ayant l'origine pour centre peut donc ne pas tendre vers i , ou même tendre vers zéro. Deux sphères de même rayon n'auraient pas des volumes égaux. Une telle conclusion est inadmissible.

Comme la difficulté provient de ce que le plan E,^ ne coupe pas la sphère suivant sa plus grande section, on peut y échapper en appelant n'^'"" section cV un volume, non sa section par le plan E„, mais sa projection sur le plan E,j (*). On obtiendrait peut-être

(') Voici une autre flifficulté qui se résout de la même manière. Soit le cylindre de révolution /•- — a^=i, a désignant la distance à un plan. Le plan E„ faisant avec l'axe du cylindre un angle très petit s, en général non nul, la section du cylindre par ce plan est un ellipsoïde ayant un axe égal à ~. — > et les autres égaux

1 à I ; le rayon de la sphère équivalente est (sins) "; en général, z ne tend pas vers zéro assez rapidement pour qu'il devienne infini, et la valeur limite de ce rayon est une fonction de la direction de l'axe du cylindre. Au contraire, en prenant la projection du cylindre sur le plan E„ (ce plan ne pouvant être perpendiculaire à l'axe

3l8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS I.E DOMAINE FONCTIONNEL.

de celte manière une meilleure définition de la notion de volume. Dans la suite, nous n'aurons pas besoin de distinguer les deux définitions, et nous adopterons plutôt la première, qui facilite en général l'exposé sans rien changer d'essentiel aux résultats.

ol. Les facteurs de la forme oo^ semblent n'intervenir que rarement dans la comparaison des volumes, les facteurs essentiels à considérer étant c ou a" suivant qu'ils sont du même ordre de grandeur ou non. Par contre, les facteurs de la forme w/' jouent un rôle essentiel dans la comparaison des volumes et des surfaces.

Dans Tespace E,/, la relation entre le volume \'>« et la surface -S,i dune sphère de ravon R est

A la limite, dans l'espace fonctionnel, on a

Le volume de la sphère, avec l'unité choisie, étant R"\ sa surface sera représentée par toR'*^"'.

On trouve de même le volume V^a)-! de la sphère de rayon R dans une variété linéaire à co — i dimensions, ou section diamétrale de la sphère de l'espace fonctionnel. Il suffit de former le rapport ''~' >

qui a pour valeur principale — 1/ -^j de sorte qu'il vient

que pour un nombre fini de valeurs de n, puisque s tend vers zéro), la /i''"" seclinn est un cylindre, dont le volume esl infini. Le rayon de la sphère équivalente à un cylindre de l'espace fonctionnel est altjrs toujours infini; cette conception, à ce point de vue plus satisfaisante, donne encore lieu à des dilficultés (voir n° 83). En réalité, ce rayon doit être considéré comme indéterminé.

Pour un volume fini et convexe, les deux conceptions sont équivalentes, non au point de vue de levaluaiion du volume, mais pour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle uniformément continue. Dans le cas d'une sphère, par exemple, peu importe que l'on considère le plan de la section E„, ou le plan parallèle passant par le centre; la dilTérence des valeurs moyennes relatives aux deux plans tend vers zéro. Ce n'est que si l'on avait à prendre la moyenne dans un volume constitué par exemple par l'ensemble de deux sphères de même rayon, que la distinction indiquée deviendrait essentielle pour le calcul de la mo3'enne.

CHAI*. I\. -— MKSllUC l)i:S VOLU.MKS KT DKS SURFACES. 5 1 f)

On en (l(''(lml ([iir la xaiicli' (|iii liinlic cciif ^plièrc, ou secli(jn (Jianiélrale de la sni-race de la splicic de lespace (onclionnel, a pour mesure

Se

Il était d'ailleurs aisé de prévoir que les mesures de tp, ^'^M-n ■^j'^'w-i sont d'ordres de grandeur croissants. Ainsi la couronne comprise entre les sphères de rayon R et R — dl{, inférieure évideiiinienl à ^r/R, constitue, quelque petit que soit ^/R, prescjue tout le volume "Ç ', il faut donc ([iie S soit d'un ordre de grandeur supérieur

De même la porllon de v'\„i, située à une distance du centre supérieure à R — //]\. et qui constitue presque toute cette région,

est la projection de la portion correspondante de la demi-sphère ->

le rapport des éléments correspondants étant aussi petit qu'on le

veut, si <iR est assez petit. Le rapport — ^— est donc infiniment petit.

Un cylindre circonscrit à la sphère et de hauteur i a pour volume \'^a)i et pour surface rS,„,. Or il a sur une hauteur finie une section que la sphère n'a que sur une hauteur infiniment petite, les sections voisines devenant immédiatement nétrliiicables devant la section maxima. Il en résulte que ce volume V\j i et cette surface rS(,), sont d'ordres de grandeur respectivement supérieurs à ceux du volume \'> ou de la surface -S de la sphère de l'espace fonctionnel.

o'2. La notion d'intégrale. — La notion de volume étant définie, il est facile d'arriver à la notion d'intégrale.

Divisons un volume ^ en volumes partiels A , , Vj, . . ., Y p, de mesures \'^,, \'>2< • • •< \'^/>- Soient a une fonctionnelle bornée, et m,, ?/o, . . ., Up ses valeurs en des points choisis respectivement dans les volumes \ , , A o, • • • . Yp- Posons

Supposons la loi de division adoptée telle que, pour y> assez grand, on arrive, si petit que soit le nombre positif s, à ce que les différences des valeurs de u en deux points d'un même volume V,- ne puissent pas dépasser t. En subdivisant ces volumes V,-, et en for-

niant à l'aide des nouveaux volumes partiels obtenus une somme oanalogue à 5, on a évidemment

Considérons de même une division en volumes V, , V',, . . . , V'^ de mesures \')'p \'>',, . . . , v'^L tels que dans un même volume V la dilTérence de deux valeurs de u ne dépasse pas s, et posons

s' = \;Vj ii\ -+- x*); ?<; -f- . . . -f- -v?'^ u'^,

u'j étant une valeur prise par u dans le volume Vy . Prenant maintenant un nouveau mode de division constitué par des volumes dont chacun appartient à un même volume Vj et un même volume Vy , on est conduit à une somme cr, difTérant de moins de "Qz aussi bien de s que de s\ ce qui prouve que l'on a

De cette formule résulte que -r; a, quand t tend vers zéro, une limite qui ne dépend, ni des modes de division que l'on considère successivement, ni du choix de la valeur Ui relative à chaque volume \ ,-. Cette limite est la valeur moyenne de u dans le volume \' ; son produit par "Ç^, qui représente l'ordre de grandeur de la somme s et est à un facteur fini près, si la valeur moyenne de u n'est pas nulle, du même ordre de grandeur que V, est V intégrale de u dans le volume V. Nous la représenterons par la notation

l'indice supérieur, mis entre parenthèses, indiquant le nombre de dimensions du domaine d'intégration, ou ordre de l'intégrale.

53. Remarques. ■ — i'' La définition de la moyenne qui précède se ramène aisément à celles des Chapitre II et III. Pour définir les valeurs relatives des différents volumes V,, il faut considérer leurs ^ièmes sections, et pourvu qu'on adopte dans les deux cas la même définition de la n'*™* section, cela revient au même de se placer au point de vue qui précède, ou à celui des Chapitres II et III. La véri-

ClIVP. IV. — MKSL'IIK m^S VOI.UMKS K T ItKS SUHKACES. 3'i t

ficiiliou (le ce iail par iiu laisouuciiicnL rii;()iaenx uo préscnic aucune cUfficullé.

L'existence de lu nolion d'iiilc-^rale esL donc bien établie dans les cas où nous avons pu former eirecli\enient la valeur moyenne d'une fonclionnelle. Il rcsle inlér<'S^anl de généraliser la lliéori(î classique de l'intégrale délinie eu établissant l'existence de l'intégrale, en parlant seulement de conditions relatives au mode de continuité de la fonctionnelle intégrée et de la surface limitant le volume V. Nous reviendrons sur cette question au Chapitre VI.

2° Lorsqu'on définit l'intégrale d'une fonction continue dans l'espace ordinaire, ou dans l'espace à n dimensions, il est indifférent de prendre des volumes V / ayant leurs dimensions très petites dans tous les sens, ou ayant certaines dimensions finies. L'essentiel est que dans chacun de ces volumes les valeurs extrêmes de la fonction intégrée diffèrent de moins de s. Si l'on prend les volumes V, très petits dans tous les sens, on obtient la définition classique de l'intégrale définie. Si l'on prend des volumes ayant certaines dimensions finies, par exemple ceux limités par les surfaces de niveau ii ^ const., on est conduit au point de vue de j\L Lebesgue, qui permet l'extension de la notion d'intégrale à certaines fonctions discontinues.

Dans l'espace fonctionnel, il n'est pas possii)le de diviser un volume fini V en un nombre fini de volumes ayant leurs dimensions très petites dans tous les sens. Ainsi il n'est pas possible de diviser une sphère de rayon i en volumes dont chacun soit intérieur à une sphère de rayon donné £ <C ' ; le volume de la sphère de rayon i est en effet supérieur à celui d'un nombre quelconque de sphères de rayon £. 11 en résulte que, si l'on veut que l'aspect de la théorie soit celui du n" o2, le nombre de termes de chaque somme s étant fini, le point de vue de M. Lebesgue est seul possible.

3" Le théorème de la moyenne, les théorèmes relatifs à l'addition, soit des volumes V, soit des fonctions intégrées, se généralisent sans difficulté. Il est aisé également de définir l'intégrale d'une fonctionnelle u ne restant pas finie, en se plaçant au point de vue de M. Lebesgue, c'est-à-dire en négligeant d'abord les portions du volume ou | ?/ | << 011, puis en faisant augmenter OIl indéfiniment.

4" Les considérations qui précèdent s'étendent aisément aux intégrales de surface, et d'une manière générale aux variétés co — p fois

Liivy. 21

étendues. Nous désignerons de telles intégrales par la notation

Nous emploierons en principe les expressions volumes ou intégrales de volumes, dans le cas des régions à w dimensions, portions de l'espace fonctionnel définies par des conditions d'inégalité, ou dans le cas des régions analogues situées dans une variété linéaire, variété dont la géométrie est identique, soit à celle de l'espace fonctionnel, soit à celle d'un espace à un nombre fini de dimensions. Dans le cas des variétés à to - — i dimensions, nous emploierons les expressions surfaces, aires et intégrales de surfaces. Dans le cas des variétés à w — 2 dimensions, limitant une portion de surface, nous emploierons les expressions contours, mesures des contours, intégrales étendues aux contours.

54. La variation de l'aire d'une surface. — Considérons" une surface S, qui se déforme, chacun de ses points ajant un déplacement normal dont nous désignerons la grandeur par ov. Nous désignerons par 8 l'aire de la surface et par K la courbure moyenne en chaque point. Dans l'espace E,,, en employant les mêmes notations affectées de l'indice n, et en convenant toujours d'appeler courbure moyenne non la somme, mais la movenne des courbures correspondant aux directions principales, la variation d'un élément d'aire «r/S,, est

(l) rjd$„ = — (,'1 — I)K„ôvf/^„,

ce qu'on peut écrire, si la surface dépend d'un paramètre A,

ou, si rire est le rayon de la sphère de l'espace £.,, dont le volume est dSn,

^' ~~dr~ -'^^"dî'

Lorsque n devient infini, on est conduit à écrire, dans l'espace

Cll.VP. IV. — MliSL'IŒ UliS VOMWKS KT DES SI KFACKS. 3i3

fonclionnel, les formules analogues

(\) 0 c/S = — ( (0 — I ) K ov f/S ,

, . rf \o" f/S , .. ''1

Lu dernière de ces formules a seule une signilicalion précise; les deux premières ne sont que des manières symboliques d'écrire la formule (6). Il est naturel de trouver, pourla vitesse de variation relative de dS, une valeur infinie, puisque, non seulement cette aire varie, mais son ordre de grandeur varie, si K n'est pas nul, la variation de /\ élant donnée [)ar la formule ((3); si l'on avait pour — -J? — une

expression finie, cela indiquerait ([ur le rapport -p- (^c/ê' désignant l'aire déformée) n'est ni nul, ni inlini.

Lorsque K = o, la vitesse de variation de r, est nulle; mais cela ne signifie pas que l'aire reste constante. Les seconds membres des formules (4) et (j) sont de la forme indétermin,ée o X 3C, et la dérivée

logarithmique — -^ peut, suivant les cas, être nulle, finie ou infinie.

Si par exemple, en désignant par «,, «o, ..., «/,, ..., des coordonnées orthogonales dans l'espace fonctionnel, on considère la j)ortion de surface du cvlindre de révolution

ai

aj,^^ -+-... = ï\\

intérieure au cvlindre

son aire, lorsque A varie, R. restant fixe, est évidemment proportionnelle à AP— ' . Dans l'espace à /i dimensions, le rayon de la sphère équi-

valc7tte à cette aire (') varie comme A"~*, /acteur qui tend vers i

(') Aussi bien dans l'espace E„ que dans l'espace fonctionnel, nous emploierons cette expression pour désigner le rayon de la splière dont la section par un plan contenant le centre a l'aire considérée. Dans l'espace fonctionnel, l'aire de cette

section et l'aire de la surface de la sphère sont dans le rapport \ / -1 ; et il est

indifférent de considérer l'une ou l'autre, les facteurs de la forme a" intervenant seuls dans le calcul du ravon.

324 TROISIÈME PARTIi:. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

quand n devient infini . Dans l'espace fonctionnel, le rayon considéré reste donc constant (et égal à B), comme l'indique la formule (6) (le cylindre considéré, n'ayant que p rayons de courbures finis, est une surface minima); mais l'aire elle-même varie comme /.p~^ .

oo. Considérons maintenant la variation de l'aire finie $. On peut être tenté d'écrire qu'elle a la valeur

(7) -(co-Dj K

dS,

et, celte expression étant dépourvue de sens par elle-même, de penser qu'elle signifie que la dérivée logarithmique du rayon de la

sphère équivalente à S est égale à la valeur moyenne de K -^- Il n'en

est rien, et il y a lieu de n'employer qu'avec précaution des expressions de la forme ('^).

Supposons en effet que K-^ n'ait pas la même valeur dans presque

toute l'aire ^. Désignons par m, le plus grand nombre (algébriquement) tel qu'on ait, quelque petit que soit s,

aK

dans une aire dont le rayon de la sphère équivalente ait la même valeur R que pour l'aire totale. Lorsque A a une variation positive f/À, on obtient une aire déformée pour laquelle le rayon de la sphère équivalente a la valeur R(i-|-///, r/X). Pour aucune autre i^égion de la surface, on ne peut avoir après déformation une aire comparable; en efi^et, pour toute autre région, ou bien le rayon de la sphère équivalente est inférieur à R, et, variant d'une manière continue, ne peut devenir égal à R(i + m^ «'/a); ou bien, ce rayon étant R, on a

et il croît moins vite que pour la région considérée d'abord, qui constitue ainsi, après la déformation, presque toute la surface. La dérivée logarithmique de R, lorsque \ croit, est donc /«,.

Précisons le résultat obtenu. En désignant par R le rayon de la sphère équivalente à l'aire S, on a le droit de négliger des portions

ClUI'. IV. — MESURR ni:S VOI.L'.MES ET DES SUMFACES. 3'25

de l'aire équivalentes à une sphère de rajon inférieur à R; les valeurs correspondantes de K-^ sont sans iniporlanre. Mais il faut tenir compte de toute valeur prise sur une aire pour laquelle le rayon d(.' la sphère équivalente a la valeui* R, bien (pi'une telle aire puisse ne constituer qu'une fraction négligeable de l'aire totale, comme nous allons le voir par un exemple.

Répartissons les coordonnées r/j, «3, ..., a,, (supposées i^angées dans un ordre normal et rt| étant laissé de côtéj en deux groupes, dont le premier les contienne presque loua, mais dont le second en contienne une infinité. IVous entendons par là que, si /i, et ru' désignent respectivement les nond)res des coordonnées «,• d'indice au plus égal à ri apj)artenanl à l'un cl l'autre groupe, n-> devient infini, mais de manière que— tende vers zéro. Nous désignerons par 6,, 60, ..., b,^ ... les coordonnées du premier groupe et par c^, c-2. . . ., Ci, . . . celles du second groupe.

Prenons pour volume V le volume

cf-^ci + ...-6f-f-...</2(a,),

et considérons les portions de ce volume limitées par des plans parallèles au plan a, = o. Admettons que les systèmes de coordonnées rangés dans l'ordre normal jouent le même rôle dans les évaluations de volumes que dans les calculs de moyenne; l'ordre de grandeur des volumes ou aires considérés s'obtiendra en considérant leur section par le plan des asCt.,. . -an- L'aire de la section du volume V„, iiiènie section de \^ par un plan ^f, = const., est évidemment proportionnelle à R"' /"-(«(). Pour ri très grand, le deuxième facteur est négligeable devant le premier, et le rajon de la sphère équivalente à l'aire considérée est, dans l'espace fonctionnel, égal à R. Le volume V est donc découpé en tranches pour chacune desquelles le rayon de la sphère équivalente est le même; pourtant celle pour laquelle /(<7, ) est maximum est infiniment supérieure aux autres et compte seule pour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle.

Les mêmes circonstances se produisent pour les tranches découpées par les plans a, = const. dans la surface S qui limite le volume V. Presque toutes ces tranches sont négligeables devant celle pour laquelle /{cii) est maximum, mais elles ont même rayon de

sphère équivalente, et il suffit qu'une de ces tranches soit dilatée un peu plus que les autres, lorsque "k varie', pour l'emporter infiniment sur elles dans le calcul de l'aire déformée, et de la déi'ivée de celte aire. Si par exemple, dans l'équation du volume V, lorsque A croît, on remplace R par R[i + À^>(rt, )], c'est la tranche rendant ■?"(«)) maximum qui comptera seule dans le calcul de la variation de l'aire. Ainsi, parmi les contours C définis sur une surface quelconque S

par la condition K-^ ^const., nous ne considérons que ceux pour

lesquel le rajon de la sphère équivalente à C (ou à la portion d'aire voisine de G) a la valeur R. Désignons par /??, et m^ la plus grande et

la plus petite valeur (algébriquement) de — ^ jT s^"^' ^^^ contours

considérés. On a, d'après les considérations qui précèdent, qui s'étendent évidemment au cas où \ est négatif,

d\osR i mi (r/X>o),

dl I m^ {dh > o).

Si l'on considère la courbe donnant R en fonction de A, elle admet un point anguleux au point considéré, lorsque /?^^ >>mo. Cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs exceptionnelles de A, et l'on voit qu'en général m, = /??27 c'est-à-dire que R-r;- a presque partout la même valeur /??, les portions d'aire pour lesquelles cette quantité n'est pas comprise entre m — £ et in-\-z^ non seulement étant négligeables quelque petit que soit s, mais ayant un rayon de sphère équivalente inférieur à R. Ce résultat consiitue une vérification assez curieuse du théorème général du n" lo.

Si en particulier, pour une certaine valeur de A, l'aire^ est maxima,

ou si elle varie sans que R varie, K-rr est nécessairement presque partout nul sur la surface correspondant à cette valeur.

S6. Considérons un autre exemple, plus élémentaire que celui qui vient d'être considéré. Soit un faisceau linéaire simplement infini de sphères; leur intersection C est une sphère d'un plan à w — i dimensions; pour faciliter le langage, nous l'appellerons cercle. Prenons pour S une des portions de sphère limitée au cercle C, et désignons par 8 l'angle sous lequel elle coupe le plan du cercle, considéré comme aigu ou obtus suivant que S est la plus petite ou la plus

(iiAi'. IV. — MKsi lU'; i)i:s voiimks i;t des siri'Aces. V).']

grande dos deux, poil ions de sphère sépaircs ptu' C; désignons [)ai' g le rayon (L

Si 0 esL aigu, Taire S est concentrée prés de C, eJ, en comparant son aire ^ à l'aiie .S„ de sa pidjcclion orthogonale sur le plan dti cercle C, on a

cosO

Elle croîl, donc avec 0, le rapport 4- devenant infini pour 0 =^ — > mais

le rayon R de la sphère équivalente reste égal à p, même |)our 0 = - {voir la note dn n° 5i). Au contraire, pour 6 obtus, S constitue presque toute la sphère de rayon-] — —rr^^ tt R, égal à ce rayon, croît avec 9.

Si maintenant nous voulons appliquer les considérations du numéro précédent, il faut comparer les éléments des diflerentes sphères situés sur des trajectoires orthogonales à ces sphères, c'està-dire sur des cercles orthogonaux. Lorsque 0 croît, chaque élément d'aire est remplacé par un élément d'aire plus grand, le rayon de la sphère équivalente à cet élément croissant. Mais il croît d'autant moins vite que l'élément considéré est plus près du cercle C, et, tant que le voisinage de ce cercle constitue presque toute la sphère, c'està-dire tant que 6 ne dépasse pas -, on s'explique que cette aire croisse

en restant du même ordre de grandeur, bien que ce soit une somme d'éléments pour chacun desquels l'ordre de grandeur aille en augmentant.

L'ordre de grandeur de chaque zone sphérique comprise entre deux plans très voisins parallèles à celui de C étant défini par son rayon, on s'explique que, dès que 9 est obtus, apparaissent des zones qui l'emportent §ur celle voisine de C, et que R augmente.

57. Relations entre un volume et la surface qui le limite. — Nous avons déjà observé qu'un volume Y, de dimensions finies, est concentré sur la surface S qui le limite. Cette circonstance est tout à fait générale, que cette surface soit convexe ou non. En effet un volume V, homothétique de V, le rapport d'homothétie étant inférieur à i et très voisin de ce nombre, est négligeable devant \ . Les régions de V

extérieures à V constituent donc presque tout le volume V; or elles sont voisines de la surface S.

Pour mesurer V, on peut donc considérer ce volume comme formé d'éléments d\ voisins de la surface S, avant pour bases des éléments f/S, et limités latéralement par des normales à cette surface; ils seront limités d'autre part vers l'intérieur de V à une surface S) voisine de S, et dont la détermination est sans importance; ce qui est à l'intérieur de cette surface peut être néglis^é.

D'autre part on peut se contenter de considérer les portions de la surface S pour lesquelles la courbure moyenne K est dirigée vers l'intérieur, f^our les autres, en effet, les élérfients d\ considérés s'élargissent lorsqu'on s'éloigne de la surface, vers l'intérieur, et en les prolongeant au delà de S,, on a des éléments clY , plus grands que les éléments d\ correspondants. Étant à l'intérieur de V, ils ne constituent par leur réunion qu'une portion négligeable du volume total, et il en est de même a fortiori des éléments dY correspondants.

Pour la même raison, on peut négliger les portions de surface pour lesquelles K = o.

Considérons maintenant deux éléments égaux, dS et <r/S', pris dans la région pour lesquels K est positif, et cherchons à comparer les éléments correspondants dV et d\'. A cet effet, considérons-les comme décrits par des éléments d'une surface S, allant de S à S, quand le paramètre X dont elle dépend varie de zéro à une valeur convenable, et définie par la condition c[ue K -^ ^ i sur toute la surface S.

D'après la formule (6), les sections des éléments d\ et dW par chaque surface 2 sont du même ordre de grandeur ('), et si ces éléments ne sont pas égaux, c'est que leurs hauteurs ne sont pas

égales, mais proportionnelles aux valeurs correspondantes de -p;

comme d'ailleurs les portions de volume non voisines de S sont négligeables, il importe peu que les surfaces S n'aient pas aux points correspondants même courbure movenne que S; il n'y a qu'à considérer les courbures moyennes K et K' des éléments <r/S et c/S', et

( ') Nous disons du même ordre de grandeur, el non égaux. En se plaçant dans l'espace E„, el elTectuant ensuite le passage du fini à l'infini, il esl facile de lever l'objection résultant Je celle circonslance et de rendre le raisonnement rigoureux.

CHAI'. IV. — MESLRIi: DKS VOI.l'MF.S KT DES StRFACES. Sîg

l'on a

l\d<> K' dV ~d§~ ~~ dS' '

ri6^ r/.s', ^\'>, (lX>' désignant respectivemenl les mesures des élé-

nicnls dS, dS\ c/V, d\'.

On peut en parlicnller ap|)liqiier ce résultai en prenant pour d^i-

.1 - 1' Il T K' d'<.>' . ,

un élément d une splu-re de rajon a. Le rapjiort — 7^77— a pailout la

même valeur sur la sphère; cette valeur est donc — -, \'^' et rS' dési^rnant

le volume et la surface totale de la splière. D'après le n° 51, cette valeur peut être désignée par w, et il vient

et pour le volume lolal V,

D\L désignant une moyenne sur la surface S.

De la formule (9) résulte immédiatement l'énoncé suivant :

La moyenne^ dans un volume V, d'une fonctionnelle unijorménient continue^ est égale à sa moyenne sur la surjace S qui le limite^ calculée en donnant à chaque élément de surface un poids proportionnel au produit de sa mesure par son rayon de courbure moyenne. On peut d^ailleurs ne tenir compte que des portions de surface pour lesquelles ce rayon est fini et dirigé vers r intérieur.

Remarquons que ces résultats supposent l'existence, sur presque toute la surface, de plans tangents déterminés, et continus à la Lipschitz (c'est-à-dire que les rayons de courbure principaux sont limités inférieuremenl). Ce n'est en effet qu'à cette condition que le volume situé entre S et S) sera, pour un choix convenable de S,, décrit une fois et une seule par des éléments de normales à S.

Si par exemple nous considérons le volume compris entre un plan et une calotte sphérique, et comprenant moins de la demi-sphère, presque toute la surface est dans le voisinage des points anguleux et nos raisonnements ne s'appliquent pas. Nous constatons en efl'et qu'une surface minima, le plan, constitue une fraction finie de la

33o TROISIÈME PARTIE. — MOYEN>E DANS LE DOMAINE FONCTIO^•^EL.

surface totale, ce qui n'est pas possible pour une surface régulière fermée.

58. Variation d'un volume. — Des remarques analogues à celles relatives à la variation des surfaces s'appliquent à la variation des volumes. Soit à étudier la vaination de la mesure "C^ d'un volume V limité par une surface S qui se déforme, ou, ce qui revient au même, le volume décrit par cette surface. On peut la représenter par l'expression

(il) I ûv d§

à condition de prendre les mêmes précautions que pour l'expression {^).

Nous savons que l'expression — (m — i)Kovt/-S de la variation de clS indique que, si K 6v ^ o, l'aire déformée devient, dès que X varie, négligeable devant l'aire initiale, de sorte que la variation de dS, pour une variation finie de \, si petite soit-elle, est — cU. De même, l'expression ùv dS du volume élémentail^e décrit par l'élément dS

indique ciue, pour vme variation finie de )v, on a le volume -7^- -1

i 1 ^ i ' K(tij — i)

ou, ce qui revient au même, — — > puisque o) et co — i sont équivalents;

on retrouve ainsi l'expression (9).

Le rayon de la sphère équivalente au volume V est, d'après la formule (10), égal à celui de la sphère d'aire équivalente à l'aire S. Sa variation est donc la même, et dépend des valeurs de Kov. Cela peut surprendre à première vue, l'expression 0 d'Ç =1 ôv d^i, ne contenant pas K; mais si l'on remplace dS par sa valeur Kcoc/V tirée de la formule (9), on a pour la variation 0 d'^) l'expression Ktoov<i\'^ tout à fait analogue à l'expression (4) de 8 dS et entraînant les mêmes conséquences.

59. Les variétés à w — 2 dimensions. — Plaçons-nous d'abord dans l'espace E^, et considérons un contour C, ou variété h n — 2 dimensions, intersection de deux surfaces S et S'. En un point A de ce contour, désignons par AN et AN' les normales à S et à S', par II le plan tangent à G, intersections des plans P et P' tangents à S et S', par AT une droite variable de ce plan. On peut étudier le contour C

CIIAP. IV. — .M KSI «F. DKS VOLUMES KT DES SURFACES. 33l

en iHudiant ses sections par les [)lans à 3 dimensions ATNPs'; ce sont des courbes, admcllant une normale^ principale Aïl, le plan ATII pour plan osculaleur, et une courbure k que nous représenterons géométriquement par un vecteur t-égal à k dirigé suivant AU.

Faisons décrire à AT le plan II. Soit v,n la moyenne, au sens géométrique, du vecteur v^ étant entendu que l'on accorde des poids égaux à des vecteurs décrivant des angles solides égaux; c'est une moyenne sur une sphère de l'espace k n — 2 dimensions. Chaque vecteur i' ajant pour projections sur AN et AN' les courbures des sections des surfaces S et S' par les plans ANT et AN'T, le vecteur v„i a pour projections les courbures moyennes K, et K', de la section de S par le plan (II, AN) et de celle de S' par le plan (II, AN').

Nous appellerons la droite AH, qui porte ce vecteur, la normale principale moyenne du contour C; sa longueur K„j, courbure moyenne de ce contour; le plan déterminé par II et cette normale, plan osculateur moyen.

Si 0 et d' désignent les angles de la normale principale moyenne avec AN et AN', comptés positivement de AN vers AN', et a l'angle de AN et AN', on a

cosO cusO (l3) 6 — G'=a.

Les formules (12) généralisent le théorème de Meusnier; les formules (12) et (i3) permettent de déterminer A-, 8, et 0'. La construction géométrique du centre de courbure moyenne (situé à la dis-

tance 7 sur la normale principale moyenne) est la même que dans l'espace ordinaire; M et M' étant les points situés sur AN et AN' aux distances tt- et -jt^) ce centre est le pied delà perpendiculaire abaissée

de A sur MM'.

Ces différentes notions s'étendent sans peine au cas de l'espace fonctionnel. Dans ce cas, en vertu des résultats connus sur la moyenne d'une fonctionnelle sur une sphère, on remarque de plus que :

1° Le centre de courbure des sections de C par les plans ATNN' sont prescjue tous confondus avec le centre de courbure moyenne; le

plan oscillateur a presque toujours la même position; le rajon de courbure a presque toujours la même valeur;

2° Les nombres K, et K', sont égaux aux courbures moyennes K et K' de ces surfaces; les formules (la) s'écrivent donc

cosO cosO"

les points M et M' sont les centres de courbure moyenne des surfaces S et S'.

60. Des considérations analogues aux précédentes s'étendent aisément à la notion de courbure géodésique sur une surface.

Pour une courbe tracée sur la surface S, la courbure géodésique est la courbure de sa projection sur le plan tangent; elle est représentée par le vecteur Vg^ projection du vecteur r sur ce plan.

Lorsqu'on considère les diflférentes courbes tracées sur S, sections d'un contour C de cette surface par tous les plans à trois dimensions contenant le plan ANN| normal à G, les vecteurs i^^ ont tous même direction AN,, située dans le plan tangent à S et normale à C. Leur moyenne est la projection du vecteur (',«, moyenne au sens géométrique des vecteurs r; c'est la courbure géodésique moyenne de C, projection de sa courbure moyenne, ou, ce qui revient au même, courbure moyenne de sa projection sur le plan tangent à S. Désignant sa grandeur par K„, on a évidemment

(i5) K^.= K„,sinO = K tgO.

Nous désignerons par géodésiques d'ordre to — 2, ou simplement, lorsqu'il n'y aura pas ambiguïté, géodésiques^ les variétés à to — 2 dimensions pour lesquelles K^= o. (On définirait de même les géodésiques de divers ordres; les remarques qui précèdent s'étendent en effet sans peine aux variétés à (o — y> dimensions; on peut aussi les étendre aux variétés à p dimensions; mais dans ce cas, les deux remarques finales dn numéro précédent ne s'appliquent pas.)

La formule (i5) nous montre que, si la surface S nest pas minima, une géodésique est une variété à co — 2 dimensions dont le plan oscillateur moyen est normal à la surface.

D'après la formule (i4)i une surface minima, contenant un contour C dont la courbure moyenne n'est pas nulle, admet j)our plan

CHAP. IV. — MKSLRIC DKS VOLL'MES ET DES SURFACES. 333

langent, en chaque point de C, le j)Ian oscillateur moyen de ce coniour; réciproquement, si elle est tangente à ce [)lan, sa courbure m()j(;nne est nulle pour les points de C. Si C est sur une surlace S non niinima, nous voyons que la condition nécessaire et suflisante pour les surfaces minima contenant C soient normales à S, est que C soit une géodésique de S.

On remarque que la condition imposée à une surface contenant C d'être minima entraîne que cette surface ait un plan tangent déterminé, comme si l'étude des surfaces minima dépendait d'une équation du premier ordre, et non du second. Des circonstances analogues joueront un grand rôle dans le Chapitre suivant. Dans l'espace à n dimensions, une surface minima S contenant un contour C peut de plus avoir un plan tangent arbitraire ; mais celles qui touchent le plan osculateur moyen de G sont caractérisées par une circonstance particulière : elles ont avec la normale |)rincipale AH moyenne de C un contact du second ordre. Ainsi, la courbure moyenne étant la moyenne des courbures des sections normales de ï tangentes à n — 1 directions du plan P perpendiculaires deux à deux, on peut prendre n — 2 directions dans le plan tz tangent à C, la dernière étant AH; les courbures correspondantes sont nulles en moyenne dans chacun des deux groupes. Lorsque n devient infini, la courbure relative à une direction unique n'a plus d'importance dans le calcul de la moyenne; il est alors indiflerent que la surface S ait avec AH un contact d'ordre 2; la condition pour que sa courbure moyenne soit nulle est que les courbures normales correspondant aux directions du plan n soient nulles en moyenne, c'est-à-dire que le plan tangent à S soit le plan osculateur moyen de C.

61. L'étude de la déformation d'un contour sur une surface S est analogue à celle d'une surface dans l'espace. Il y a même identité, si S est un plan, rien ne distinguant la géométrie d un plan à to — i dimensions de celle de l'espace fonctionnel. On passe de là à une surface quelconque en assimilant chacun de ses éléments à un élément de plan; il en résulte des erreurs sur les angles ou des erreurs relatives sur les longueurs, qui sont infiniment petites du second ordre, et par suite sans influence sur les variations premières des quantités considérées. Toutes les considérations des n"* o4 à 08 s'appliquent donc, inutatis luutandis; précisons en particulier que

la notion de courbure moyenne d'une surface est remplacée par celle de covLYhnre géodésique moyenne d'un contour.

En particulier, par extension des résultats qui terminent le n" 35, si une surface fermée S est décrite par un contour G dépendant d'un paramètre a :

1° Sauf au plus pour certaines valeurs exceptionnelles de X, la courbure géodésique moyenne de chaque contour C a presque partout la même valeur;

2° Il existe évidemment au moins une valeur de A pour laquelle le voisinage de C constitue une fraction finie de la surface; pour le contour C correspondant, la courbure géodésique moyenne est presque partout nulle.

Remarquons aussi que si une portion S de surface, d'aire -S, est limitée par un contour C, de mesure ©, dont la courbure géodésique moyenne soit presque partout dirigée vers S, on a, par généralisation de la formule (lo),

w — 1 \Kg / ui — i J ^. K o-

62. Décomposition en carrés d'une forme quadratique. — Avant d'indiquer d'autres applications des notions de volume et d'aire, à l'étude du volume de l'ellipsoïde et de la courbure totale des surfaces, il est nécessaire de rappeler quelques résultats, dus à MM. D. Hilbert (') et E. Schmidt (-), et rapidement devenus classiques, sur la décomposition en carrés d'une forme quadratique^ c'est-à-dire d'une fonctionnelle entière et homogène du second degré. Pour plus de détails, ou pour les points qui seront indiqués sans démonstration, le lecteur peut se reporter au Mémoire de M. E. Schmidt ou aux Ouvrages déjà cités sur la théorie des équations intégrales (première partie, n" 100).

Si étant donnée une forme quadratique U, nous arrivons à trouver une suite de fonctions orthogonales et normales

/,(/), Mt), ..., fn(t^

C) D. Hilbert, Grundzuge einer allgemeinen Théorie der Unearen Integralgleichungen {Gottinger .\achrichten, années 1904 et suiv.).

(') Schmidt, Zur Tliporle der Unearen und nicht Unearen Intégral gleichungen {AfathemaUsche Annalen, t. 63 et suiv.).

CllAl'. IV. — .MLSlRi: I)i:S VOLLMES KT DES SURFACES. 335

telle que

u = ci«j -t- cjaj -H. . .H- c„c?;-; -h. , .,

<'„= I fn(l)or{t)dl

la forme quatlralique sera de composée, en carrés. Une telle décomposition n'est d'ailleurs pas toujours possible, comme nous allons le voir en cherchant à généraliser la théorie relative au cas des formes quadratiques de n variables.

Les directions des axes de coordonnées a,, «o, . . ., a,,, .... ou axes de la quadrique U=:const., s'obtiennent en cherchant les points où cette quadrique et la sphère /•-=const. ont même plan tangent, c'est-à-dire où la variation 3()>U — /•-) est identiquement nulle, A étant un coefficient convenable. L'équalion en x[t) ainsi obtenue est en général une équation intégrale, naturellement linéaii-e et homogène.

63. Forme normale de Gâteaux. — Plaçons-nous d'abord dans le cas où U a la forme normale de Gâteaux

u = / / o{t,i)x{t)x{z)dtd-,

o(t, -) étant symétrique et de carré sommable. On a

o(XU — /•*)=2/ rjx{t)dt Xl ^(t, -zjxi-zjd-. — x(( ^

Les fonctions x(t) annulant celle variation sont donc les solutions de l'équation de Fredholm, homogène et à noyau symétrique

11 n'existe de solution non identiquement nulle de cette équation que si X est une des racines

de son déterminant; ce déterminant étant une fonction entière de X, ces racines, que l'on appelle Jiombres fondamentaux ou caractéristiques de l'équation (18), ou bien sont en nombre fini, ou bien

croissent indéfiniment. Dans la suite (19), nous supposerons chaque racine écrite un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité.

A une racine simple A,j correspond une solution y,j(^) de l'équation (18), définie à un facteur constant près. Nous supposerons ce facteur choisi de manière que la fonction y"„(/) soit normale.

A 11 racines égales correspondent des solutions de l'équation (18), fonctions linéaires à coefficients arbitraires de h d'entre elles, qu'on peut supposer orthogonales et normales, et que nous ferons correspondre aux racines considérées.

A la suite des nombres fondamentaux correspond ainsi une suite de solutions fondamentales

(20) A(0, /.(O, ••., fni.t), ...

de l'équation (18). Je dis que ces fonctions sont orthogonales et normales.

D'après la manière dont nous les avons choisies, elles sont normales, et celles qui correspondent à des valeurs égales de À sont orthogonales. Il reste à vérifier que deux fonctions y"„ ( ^) et y"y,(;), correspondant à deux valeurs distinctes À,» et Ay,, sont orthogonales.

On a, par définition de /„(/),

fnKt) =K f ^(t,x)/„{-)ch,

d'où, en multipliant par '^-pfp{t) dt et intégrant de o à i ,

'^P f fu(t)f,At)dt = Xn>p f f ^{t,z)f,{t)fn{x)dtdx.

Le deuxième membre ne change pas si l'on intervertit les indices n et p. Il en est donc de même du premier, ce qui donne

(>.«-X/,) f fn{t)fp{t)dt = 0.

Le premier facteur n'étant pas nul, le résultat énoncé est établi.

64. On peut établir une théorie des développements des fonctions de carrés sommables de deux variables en séries de fonctions orthogonales, analogue à celle déjà exposée dans le Cas d'une variable.

CIIAP. IV. — MESMUIÎ DIÎS VOMJMKS KT OKS SUHI'ACES. 337

Nous considcrcions à C(!l cAVcl deux siiilcs complexes de fonctions orlhogonulcs et normales

{ Mn, Ml). •••■ /«(O, ••••

Les fouelions //,(/) ;'y(T), considérées comme fondions des deux variables t et t, sonl orthogonales et normales dans le carré o <i t< i^ o <' ' T ■< I •

Soit d'aboi-d une fonction cp(^/, t) continue dans ce carré. On peut, pour chaque valeur de t, la représenter par une série de fonctions /'n{t)i les coelfîcienls

pouvant eux-mêmes se représenter par une série de fonctions g,i{i)- On est ainsi conduit à représenter cc(/, t) par la série

ou

(a3) C/,,,/= / / fi,{t)g,,{i)^{t, z)dtdz.

On vérifie d'ailleurs sans peine quelle converge en moyenne vers cp(/, t).

Si la fonction cs(/, t) n'est pas continue, mais seulement de carré sommahle, on peut en approcher en moyenne, autant qu'on veut, par une fonction continue, et par suite, par une somme limitée de la forme (22). Or de toutes les sommes de cette forme, formées avec des systèmes déterminés d'indices /?, q, mais des coefficients indéterminés, on vérifie srfns peine que celle qui approche en moyenne le plus de C3 (/',':) est celle formée avec les coefficients (23), projections de la fonction cD(f, t) sur les vecteurs rjui représentent y"/,(^)o-^(T) dans l'espace fonctionnel à 20) dimensions qui représente les fonctions de carrés sommables de deux variables. Il est donc certain que la série (22), p et q prenant toutes les valeurs entières, converge en moyenne vers cp(f, x).

Inversement, si les coefficients Cp^q sont donnés, et tels que S^ ,^ soit finie, on vérifie sans peine que la série (22) représente une

Llh'Y. 32

fonction cp(/, -) de carré sonimalile, et que

60. Appliquons ces résultats au cas où l'on prend pour fonction cp(/, T) la fonction symétrique, nojau de l'équation (18) et pour suite des /p{t) et pour suite des gp(i) la suite (20), supposée complète. Il vient

0','/= f fp(t)dt f M'.)^(i,'z)d-. = ± f f,(iKf,(ndf,

c'est-à-dire o, si p et q sont différents, et ^-? s'ils sont égaux. On a alors

celte série étant, sinon convergente, du moins convergente en moyenne, dans le carré o <^ f <^ i . o -^ t <r i , et

(26. Ç f ■:;-^{t.'MUd-^^+...^ ^r,^...,

formule qui montre que les A„, racines du déterminant de l'équation (18), ne sont pas des nombres quelconques, mais doivent croître assez vite pour que cette série converge.

En portant cette expression dans la valeur de la fonctionnelle L, on trouve

(271 l = yi +...+ y- +...,

série qui est bien convergente, puisque -<7,^, est fini et que les 0,1 auguientent indéfiniment.

66. 11 peut arriver que la suite (20) ne soit pas complète. Les séries -Cp^ç/p{l)/q{':) ne représentent pas dans ce cas toutes les fonctions de carrés sommables. Le résultat fondamental de M. Schmidt consiste en ce qu'elles peuvent certainement représenter le noyau cp(^, t) dont la suite (20) est déduite. Alors les formules (25), (26) et (2-) restent valables, la série de la première formule étant convergente en moyenne, et les autres étant convergentes.