Considérons maintenant le cas où U est de la forme

(34) ^ ^ \ '^(n^-Hf)df,

la fonction 'l{t) étant positive ou exceptionnellement nnlle. Sa /?"'""' section réduite est la fonction

u„{ Xi, Tt, . . ., oca) = '^ix\ -+- '^iX\ -+-...-+- '^«a:,^,,

où •-!;/ désigne la moyenne de '\{t) dans l'intervalle / , -\'

L'ellipsoïde «„ = i est donc équivalent à une sphère de l'espace E,j de rayon L^ défini par la formule

de sorte qu'à la limite, le rayon de la sphère de l'espace fonctionnel équivalente à l'ellipsoïde U := i est la moyenne géométrique des

valeurs de . c'est-à-dire le nombre positif L défini par la

CHAI'. IV. — .MICSIHE DES VOLLMES ET DES SI lUACES. "i \j

formule

Ce rajon est évideinnienl inlini si la fonction '}( /) est nulle pour les j)oints d'un ensenihle de mesure positive. Mais il reste (ini si 'l{t)f'sl une fonction continue ayant en un point une racine d'ordre entier.

TI est facile de passer de ce cas au cas plus général où Li est une fonctionnelle normale du second degré,

(35) ^ = / 'H 0 -^'^ ' 0 ^^ -+- / / ■:f{t.-)x{t)xi-.)d(d-.

La présence de l'intégrale double, qui peut éxidemnicnt changer le signe de L pour certaines fonctions x{t) et par suite la nature de la quadri(pie U = i. ne peut pas changer le rayon de la sphère équivalente, si cette quadrique reste un ellipsoïde. Cela tient à ce que cette intégrale est du type (3i) et par suite, quelque petit que soite, inférieure à s/- dans un plan à to — p dimensions, p étant fini. Les p dimensions ainsi négligées sont sans importance (sauf dans le cas où le carré d'un des demi-diamètres correspondants de^ ient inlini ou change de signe; mais dans ce cas la cjuadrique U = i cesse d'être un ellipsoïde). Pour les directions du plan à oj — p dimensions considéré, l'intégrale double est négligeable devant l'intégrale simple, à moins que celle-ci ne soit elle-même très petite par rapport à /■*; mais les directions pour lesquelles il en est ainsi, ou bien peuvent être négligées, ou bien ne le pçuvent pas, et dans ce dernier cas le rayon de la sphère équivalente à l'ellipsoïde est infini, et le reste après addition de l'intégrale double. (Il n'y a d'ailleurs aucune difficulté à préciser ce raisonnement et le rendre parfaitement rigoureux.)

76. Plaçons-nous dans le cas où la quadrique L' = i est un ellipsoïde, et considérons les trois quantités suivantes : i" Le rayon L de la sphère équivalente;

2° La valeur moyenne de — sur la sphère r^ ^ i (ou à son intérieur, ce qui revient au même); nous la désignerons par ^, ; / est alors

le rayon de la sphère sur laquelle U est en moyenne et, par suite, presque partout, égal à i.

3° La valeur moyenne de — à l'intérieur de l'ellipsoïde U = i ; nous la désignerons par — • (Il résultera de la suite que c'est aussi la valeur

moyenne du même rapport sur la surface de l'ellipsoïde.)

-11 existe une relation d'inégalité entre /, l' et L. Pour l'établir, considérons d'abord la /i"'""' section de l'ellipsoïde. Son équation, rapportée à des axes convenables, est de la forme

Les quantités /,j, l\^ et L,^, analogues à /-, /'- et L-, mais relatives à cette ji'^'"'' section, sont les moyennes harmonique, arithmétique et

géométrique des carrés des quantités À,= — , carrés des demi-axes.

On a donc

Elles tendent respectivement vers /, L, /'. On a donc

Ce résultat est facile à interpréter géométriquement. Si, en chaque point M de la sphère /■- :^ i . on désigne par A la longueur du demidiamètre de l'ellipsoïde qui passe par ce point (en d'autres termes,

si l'on désigne par y-^ la valeur de U en ce point), A est sur presque

toute la sphère égal à /. Mais, si l'on passe de la sphère à l'ellipsoïde en faisant se correspondre les éléments situés sur un même rayon, les éléments pour lesquels X > / sont « tellement grossis », qu'ils peuvent constituer, après cette opération, presque tout le volume de l'ellipsoïde, bien que ne constituant auparavant qu'une fraction négligeable de la sphère. Le volume de l'ellipsoïde peut être ainsi le même que si X avait une valeur constante L > /.

On s'explique de même, en intervertissant les rôles de la sphère et de l'ellipsoïde, que l'on ait L^/'. Rappelons qu'au n" 23 nous avons déjà établi et expliqué géométriquement l'inégalité l^l' sans faire intervenir L.

U est intéressant de se demander dans quels cas on a l'égalité

Il est évidemment nécessaire et suffisant pour cela que, dans le calcul

CIIAP. IV. — MICSUHK DKS VOI.UMKS KT KES SURFACES. 3 iy

des moyennes (liiirmoiiKjiic, <;éoniélriqiM', ou iiiitliniélique) des carrés des demi-axes, ceux de ces demi-axes qui ne sont pas compris dans l'intervalle (L — e, L-f-e) aient, quelque petit que soit s, une influence négligeable. Cela n'est pas possible dans le cas du spectre continu, tout intervalle (iiii conlcnanL des valeuis des demi-axes ayant un poids lini. Cela seia réidisé dans le cas du spectre discontinu, si les demi-axes ont une limite. Mais cela peut être réalisé sans qu'il y ait une limite.

Supposons en effet les fonctions y„ [l ) rangées dans un ordre normal. Si l'on choisit une suite d'indices n^^ /?o, • . • , Hj,^ • • • , tels que

le rapport — devienne inlini, c'est-à-dire tels que leur densité

moyenne — tende vers o, les demi-axes correspondants n'ont aucune n p

influence sur le calcul de la moyenne; ils peuvent ne pas tendre vers la même limite que les autres sans que l'égalité (3'j) cesse d'être vraie. La condition nécessaire et suffisante pour que cette égalité soit vraie est donc que, si petit que soit s. la suite des indices rip correspondant à des demi-axes non compris entre L — z et L -f- s, soit

finie, ou telle que sa densité moyenne — tende vers o. Nous dirons

Il I,

que, dans ce cas, les demi-axes de l'ellipsoïde tendent presque tous vers La limite L(').

Bien entendu, il résulte de ce raisonnement que l'une des égalités / = L et L ^ /' ne peut être vérifiée sans que l'autre le soit.

77. Les sections planes de l'ellipsoïde. — Nous avons déjà observé que la géométrie de l'espace fonctionnel, et celles des plans à (o — i ou à to — p dimensions, sont identiques, du moins en ce qui concerne les propiiétés liées aux notions d'angle et de distance. Telles sont celles qui concernent les axes d'une quadrique, à l'extrémité desquels le plan tangent est perpendiculaire au rayon. Aussi rencontre-l-on dans l'étude des axes d'une section plane les mêmes cas que dans

(') Dans la suite, nous emploierons l'expression presque tous, en parlant d'éléments liés aux fonctions d'une suite orthogonale, lorsque, ces fonctions étant rangées dans un ordre normal, la proportion — des indices négligés tend vers o. Qu'il

s'agisse de tels éléments, ou d'éléments dépendant d'une fonction arbitraire, les mots presque tous, qui reviennent souvent dans cette étude, signifient donc toujours « en négligeant des éléments sans influence sur la valeur de la moyenne ».

35o TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

l'étude de ceux de la quadrique : spectre continu ou discontinu ; longueurs des axes ayant une limite ou n'en ayant pas; dans le cas de rellipsoïde inégalité (36) ou égalité (3-).

11 reste à étudier les relations entre les propriétés de la quadrique et celles de la section plane. La circonstance essentielle que celte étude mettra en évidence est que ces propriétés sont les mêmes ; en ce qui concerne les différents cas que nous venons de distinguer, une quadrique et toutes ses sections planes se rattachent au même cas; les valeurs des moyennes /. L, /' sont les mêmes pour un ellipsoïde et toutes ses sections planes. 11 ne peut y avoir d'exception que pour les propriétés pouvant être modifiées par un changement ne portant que sur un axe, comme c'est le cas pour la nature des quadriques au point de vue de la réalité des directions asymptotiques.

Il suffit d'ailleurs d'étudier la relation entre une quadrique et sa section par un plan à w — i dimensions. Dans ce plan, on étudie de même la relation entre la section complète et sa section par un plan n'ayant plus que to — 2 dimensions, et ainsi de suite. Les résultats ainsi établis en ce qui concerne les plans à (o — i dimensions s'étendent donc aux plans à oj — p dimensions, p étant fini. Bien entendu, il ne peut être question d'aller beaucoup plus loin(') ; ainsi les propriétés des sections par do phuis à un nombre fini de dimensions sont toutes différentes, et les longueurs de leurs axes sont sans influence sur le ealcid des valeurs moyennes /, L. /'.

78. Commençons par indiquer comment les calculs se présentent en pratique. Soit à étudier la section de la quadrique U = i par le plan V = o, les fonctionnelles U et V étant homogènes, de degrés respectifs 2 et i . A l'extrémité d'un axe, les plans tangents à la quadrique et à la sphère /- = const., passant par ce point, ne seront pas

('; Nous disons à dessein beaucoup plus loin : on peut, dans certains cas, aller un peu plus loin. Si les axes sont rangés dans nn ordre tel que la suite des fonctions correspondantes soit normalement dense, et si Ion considère ceux d'indices

n «j, n n le rapport — devenant infini avee p. l'ensemble de ces axes est

analo^^ue par certaines propriétés à l'ensemble d'un nombre fini d'axes; il n'influe pas sur le calcul des moyennes, comme nous l'avons vu au n" 75. Le plan formé par tous les autres axes est. par contre, analogue à un plan à (o — j) dimensions, p étant fini ; on peut, en employant le même langage qu'au n° 7.5, dire qu'il contient /^/evr/MC tous les axes.

r.lIAI'. IV. — MRSURK DES VOLUMES ET I»ES SI RFAf:ES. 35l

m'M'('^s;^i^(Ml^{Mll ((mloïKliis ; nmis leur». iiit('i>c(li()ii> ;i\rc \i- nhin .v(''c;ml soni ((uildiKliic»». On ii iilois

p fl y (Irsionanl des constantes convenahles. Cette condition caiaclérise \c<. points des axes, et les longueurs des flemi-uxcs sont le»

\alciirs de —r=-

Plaçons-noii.s dan> le cas du speclic discontinu. La fonctionnelle l p<ut alors se mettre sou> la l'orme

u = Xa^a;,,

le> a„ étant Unis, j)ui>(]iie U est continu, et le système des axes {\c>~ </,. a-t. .... a,i. ... clan! suj»pos('' coniplcl, ce (pu csi toujours possible <'n «'crivant autant de liuincs nuls ([u'il est nécessaire. La fonctionnelle \ étant alors de la forme ï c,, «„ (les c„ étant tels que la série ^cl soit convergente), la condition (38) donne, pour toutes les valeurs de n.

Tirant a„ de cette formule, et portant la valeui- obtenue dans la condition V = o, on a léquation

qui détermine les valeurs de [i, inverses des carrés des demi-axes.

Si, par exemple, les a„ sont des nombres positifs décroissani constamment, il résulte immédiatement de la variation du premier membre de l'expression (39) qu'entre deux (/.,i consécutifs existe une racine de l'équation (39) et une seule. Cela donne une relation ti^ès nette entre les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde considéré et de ceux de sa section plane.

Dans des cas plus généraux, la conclusion est moins simple. Si les valeurs des a„ sont denses dans un certain intervalle, le premier membre de l'équation (39) est une fonction analytique d'un type considéré par M. Borel dans ses Leçons .^ar la théorie des fonctions. qui admet tous les points de cet intervalle comme points singuliers ; la discussion de 1 équation (39) ne peut plus se faire d'une maniéic aussi élémentaire.

Pour pouvoir conclure dans tous les cas, même dans le cas du spectre continu où l'application directe de la formule (ig) est impossible, nous emploierons la méthode du passage du fini à l'iiidni. en considérant la /i''""* section de la figure constituée par rellipsoïde et sa section plane, et faisant augmenter n indéfiniment.

Dans l'espace à n dimensions, les n quantités a,, a^, . . . , y-n étant supposées distinctes et rangées par ordre de grandeurs croissantes, les n — I racines de l'équation (^q) sont respectivement situées dans

les intervalles (a,, ao), (ao, 7.3) (^'■«-i, a„). Si plusieurs des a sont

égaux, si par exemple 7./^^, = a^^^ = . . . ^ y-h+h, il est évident géométriquement que cette valeur correspond à /. — i axes égaux de la section plane [bien qu'elle ne vérifie pas l'équation (Sg) ; cela tient à ce que dans ce cas le facteur y, que nous avons laissé de côté en écrivant cette équation, est nul]. On peut donc toujours dire qu'entre deux valeurs consécutives des a„, égales ou non, est située une valeur et une seule de [^ correspondant à un demi-axe de la section plane.

A la limite, 71 augmentant indéfiniment, l'ensemble des valeurs limites des a/ constitue le spectre de la quadrique. ( Il est indifférent

d'appeler spectre l'ensemble des valeurs des a ou des quantités a =z - ; nous adopterons dans chaque cas la définition la plus commode; c'est ici la première. ) D'une manière précise, si a est un nombre du spectre, et e un nombre arbitrairement petit, il existe dans liutcrvaile (a — £, a-f-s) au moins un nombre a/, pour toutes les valeurs de n suffisamment grandes (et non seulement pour une infinité de valeurs croissantes). De même, l'ensemble des valeurs limites des |^ constitue le spectre de la section plane. La relation obtenue entre les a et les jî donne alors immédiatement les résultats suivants :

i" Si a' et a" sont deux nombres a du spectre de la quadrique, et qu'il n'y ait aucun autre nombre a dans finterxalle (a', a), il y a dans cet intervalle un nombre ^ et un seul, et réciproquement ;

2" Si un noml)re a' est limite d'une infinité de nombres a, il est aussi limite d'une inbnité de nombres [3, et réciproquement ;

3° Si l'ensemble des nombres a est dense dans un certain intervalle (a', a"), l'ensemble des nombres ^ est dense dans le même intervalle^ et réciproquement;

4" 11 n'y a aucun nombre [3, ni entre le plus grand des a et — oc, ni entre le plus petit des a (^algébriquement) et — 00.

CIl.VI*. I\. mi; s IKK IIK.S VOLL.MES KT OKS SLRIAOES. JiJ

1\). L;i scclloll (I llll clll j»-^(lï(l^• ('«l |i>ll|(illl'x i'lli|)l iillK'. Milis 1,1 -,(•(-

Le |ihiii V - () admcl le iiièmr diamèli'c (•(>ujiii;ii('' par ra|)|)iirl à loiiU's li'^ ([iiadi'iqiio L -r A \ - - i. On peut loiijoiiiv» dt'-lriniiacr A, (le manière cpu' U -f- À ^'^"- soil poMlil Mir ee diani«''lie. e| par suite, M la x-elion eiuiMilr'n'e esl elliplupie. dan>^ loiil I es|)aee loiielnmnel, saut à 1 online. Il esi donc néeessaire, el évideininenl sutlisant, (pion pnisse d<''lerrninei' A de manière (pie la forme U -{- X A ■* soil définie j)ositi\ e.

80. i\oti> >a\on> (pie pour caleuler les nond)re.s / el /', qui se ramènent à des moymines sui- une sphère, il suflil de connaître^ sur un <;rand cercle les (pianlilés dont on a à clierclier la movcmie. Gela revient à dire que / el /' ont la même valeur jxuir un ellipsoïde ci une section plane (dont le j)lan conlienne le centre).

Le même résnltal est vrai pour le nombre L, lavon de la sphère équivalente à Lellipsoïde. Démontrons-le j)ar la niéihode du passade dn iîni à l'inlini.

Soient, dans la //'*""' section, L„ le rayon de la sphère é(pii\alente à l'ellipsoïde, L^^ la quantité analogue relative à sa section par un plan conl.cnant le centre, /<„ la distance à ce plan des plans parallèles tani;ents à l'ellipsoïde. Ces quantités tendent, pour n infini, vers h\s (piantités L. L'. h délinies de la même manièie dans l'espace fonctionnel. D'ailleui's /i est fini (autrement le diamètre conjugué du plan sécant considéré étant inlini, la quadrique considérée ne serait pas nn ellipsoïde). La formule évidente

K " V K donne à la limite —, =r i . sauf peut-être dans le cas où L' esl infini ;

mais, dans ce cas, L l'est aussi, et Ton peut toujours écrire L = L'.

On sait d'ailleurs que les valeurs de /, L et /' poiii- l'ellipsoïde peuvent varier suivant la manière dont on définit la n'''""' section. D'après ce qui précède, pour chaque définition, ces quantités auront

Ic-i niènic^ valeurs pour rpUipsoïde el pour toutes ses .seclion> planes (par (les plans à to — i ou (.) — p dimensions, cpii eontienneul le rentre). Si donc les suites de fonelioiis normalement denses joui>senl l)ien de eelte propriété que nous avons énoncée comme très prohable, de conduire an même résidlat cpie le point de vue de Gâteaux, non seulement pour /et/', mais aussi pour L, cela est \rai. non seulement pour l'ellipsoïde de l'espace fonctionnel, mais pour louie^, ses >eetions planes.

81. L'indicatrice et la courbure totale d'une svirface. — Soit une surface S, passant par l'orii^ine. ?Nous la représenterons, comme au n" !2i', par ré(jiiatiou

L =: L 1 H Uo -h . . . = G,

L| et Lu étant des fonctionnelles liomogènes de dei;r(''s respeelils i et 2, dont nous supposons essentiellcnnent (pTelles ne sont pas identiquement nulles. On peut alors, en midliplianl U par un facteur convenable, supposer A) U, = i. Il sufliia de nous placer dans ce cas, les formules générales s'ohlenant sans peine en remplaçant U

par , La distance d un point de la suilace, voisin de rori"ine,

au plan langent U, = o, est alors équivalente à- Lu, et la couihure

des sections normales est — f •

\^ indicatrice de la surface à l'origine est la section de la quadrique Uo = i par le plan U) = o. Le rayon de courbure de la section normale est alors égal au carré du rayon de rindicatrice.

Les résultats obtenus relativement aux sections planes des quadriques s'appliquent à l'indicatrice. On sait donc reconnaître si lindicatrice est elliptique (ce qui ne suffit pas, d'après ce que nous avons vu aux n"* 63 à 65 de la première Partie, pour que la surface soit, dans le voisinage du point O, tout entière du même côté de son plan tangent). Les axes de rindicatrice délinisseiit les directions principales et les rayons de courbure principaux.

On peut de même former, uniquement en connaissant Uo, el sans connaître U| (pourvu que A, L, = i), les nombres /. L et / relatifs

à 1 indicatrice. Le nombre — » moyenne de Uo sur la sphère r- = i ,

niAI'. IV. — MbSinK DKS VOI.I MlîS KT DES SURKACKS. »55

t-cf.il à l;i Viilciir de A IJ ,i r(iri';in(', ot hi coiirhiiir innyeiiin- K <\>:y,i 0()ii>i(l«'rc<'. (le xMJi \,\ iiioNciuic (lc>. cniirhiii-es des sectiidi'- |)i iikupales, si CVS ilircolions sonl raii^ét's dims un ordre norniiil. «m si les Videurs (•(»rrespoiid;mlcs de la ediirhiire oui une liinllc

Li' noinhre 1\ ::=z L- est ce ([uc nous appellerons le rayon du cotirhurc totale de la surface; e est la inovrnnc i;coniflri([ue des rayou> <ie eourhure. rauu(''>. dans im oirlrc normal.

<S2. La notion île rourhnrc totale est lice a ccllr de icprésentation spliérique. Bien (^x^^ ces notiiuis soient susceptibles de généralisation, nous nous placeron- dans [c cas des surfaces convexes, situées tout entières du nièuie e(")lé de cliaeun de leui' plan tancent.

Soit A un poini de la surface S. Soit OM un Nccleur de loiii^ueurunité, partant de l'oripue, l'I parallèle en direcluni et sens à la normale en A à la surface, dirigée du côté de la convexité. Le jyoint M <'st pai- d(dinllion la représentation spliérique du point A: (piand A se déplace sur la surface S, il décrit, sur la sphère /•- =: i . une lii^nre qui est la représentation sphérique de celle décrite par A.

Lorsque le point A décrit une aire S', le point M décril une

aire S'. Le rapport ^ est par délinihou la courbure totale movenue <le Taire S'. Sa limite, pour une aire S' de dimensions très petites \oisine dun j)oint A, est la courbure totale de la surface S en A.

Il resuite immédiatement de cette délinition que lintéorale de la courbure totale dans une aire finie S' est égale à Faire "^^ conespondante. En particulier, linlégrale de la eonibure totale sur une surface convexe (') fermée est égale à Ja surface de la sphère de ravon i, soit à co, avec les unités indiquées n° 51 ; on peut dire encore

qu'elle est éiiale à Lande S(dide total.

Cette courbure totale est liée au ravon de courbure totale Pi. Remarquons que, dans le voisinage d'un point A, la représentation >phérique peut, sans erieur sur le ravon des sphères dun plan à co — i <limensions équixalentes aux aires considérées, être assimilée à une transformation linéaire dans le plan tangent.

(') II esL évidemment possible détendre cet énoncé au cas de surfaces non convexes; mais il faut délinir dans ce but le signe de la courbure totale; cette question paraît assez délicate, surtout si sur certaines parties de la surface il y a une infinité tic rayons de courbure principaux de chaque signe.

Plaçons-nous d abord dans la /j'"""' section. Les n — i direclions principales sont conservées en direction, mais les longueurs correspondantes sont agrandies, si l'on pa^se de la sphère à la surface S, dans des rapports égaux respectiveineiil aux ravons de couibun' correspondants, c est-à-dire aux carrés de-; demi-axes de lindicatrice.

Si 1 on désigne par L„ la moyenne géométricpie des demi-axes, et.R,j=L;] celle des ravons de courbe principaux, le rapport des aires correspondant<'> de la surface et de la s|)hèr<" est L^~'.

Passons à la limite: nous voyons crue la conrbure totale est ^ — ?

c'est-à-dire que les aires, déformées en général, sont en moyenne agrandies dans le voisinage du point considéré comme si S était une sphère de rayon L.

L'inégalité (3()), appliquée à Tindicatrice, donne entre le rayon de courbure totale et la courbure moyenne rinégahté

< ît>; =k'

Légalité est possible, dans les mêmes cas que l'égalité (3-), c'està-dire dans le cas où les rayons de courlmre principaux tendent presque tous vers une limite.

En particulier, nne surface minima convexe a sa courbure totale nulle. 11 existe de telles surfaces. Leur équation peut, avec des axes convenables, s'écrire

les 'k,i étant positifs, avant une limite inlérieure positive, et devenant presque tous inlinis. Tel est le cas en particulier si L est une fonctionnelle de Gâteaux, normale, el di'Hnie positive.

83. 11 peut arri\er que le ravon de courbure totale soit indéterminé ; lorsqu'un seul des ravons de courbure principaux est infini, cela suffit pour que la moyenne géométrique des n premiers rayons de courbure (les directions principales étant rangées dans un ordre normal ) soit infinie. !Mais si l'on prend la //'•'™'' section de la surface, au sens de Gâteaux, il n'arrivera en général pour aucune valeur qii elle contienne Taxe infini de l'indicalrice; le plus grand demi-axe de la /i'*"'' section de l'indicatrice augmente indéfiniment, mais en

ciiAP. i\. MKSi'iu; i)i:s von mks i;t dks sim Aciis. iô-

j^énci'iil J);i,s iissc/ \ Ile |)uu r (iiu; hi inov ciwic i^coiiicl ii(|iir dr ces dciii iiixcs (lc\ icimi' iMliiiic.

Celle ili(lelrnniliiill(in li es! ;iii Ire (iiie celle liepi M^iiiiL'e. en unie d ii a" ol , diiiis le (ils (I II e\ liiidi'e /•'- — a- = l , y. <i(''Mj;iiiiiil hi dishiiiee ;i lin phiii. Si I On eiin>idere >i)ii xolinne coninie iidini. on r>l i midiul il eonsideier son liiNon de eoiiihii le loliile eomine inlini. el ^ii courliiire liiliile emiinie iiiiile. Miiis on xoil iiiMiiiinl (iii une Miiliiee d<' révoliilKMi ingénie d;in> ce C)lin(li'e <■! ii\iinl ii\ce lui un emiliiel (I oi'dre ■>, il un iiixoii de e()iirl)iii'e l.oliile leiidiinl \eis i l(n>(|ii (in >e rapproche des |)iiinls de eonliiel; les deux siirlitees ii\ iinl iiiiennl;icl du second ordre, on esl iiiiiM condiiil ii dire (pie le riivoii de coiirbnic loliile du (•^llndl•e esl i. ( )n \oll donc (pie des considi'iiil ions difit-renles |)euvenl conduire ii des conclusions diilV'renlcs, el qii il fiuil c(»nsid(''rer le liiAon de coiirhiire loliile coinine indi'MerinnK' diins les conditions indi(pi(''es.

On peut naUiiolleincnL ii\oir n\iv deleiiniinilion d une iinlre natun^, lorsque^, les rayons de courbure principaux elanl iiiiij;és dans un ordre normal, lii iiio\enne t;coni('-lrique des n premiers oscille enire {\{'\\\ limilcs, (piiind n ;iiii;inenle iinb'-linimenl.

8i. A la nolion de courbure loliile se riillaclie celle de cou rljii re i;éodési({ne lotale. 11 esl sans doule possible de i;(i'n(''ralisei' en utilisant celle nolion le th(^or("'me de Ganss sur rint(^grale de la courbure yéodesKpie. Nous n insisterons pas sur cette (piestion.

80. Propriétés des surfaces parallèles. — IMiicons-noiis d'abord dans l'espace E,, . Soit S une surface parallèle ii une sur(;ice So, et située à une dislance h. En deux poi.nts correspondants M„ et M, les directions principales sont parallèles, et les centics de courbure principaux C,, G2, ..., (>/» sont les mêmes pour les deux surfaces, de sorte qu'on a entre les rayons de courbure correspondants, a/eto,,

la relation

doù l'on d('"duit, pour bi moyenne K„ des courbures principales de S,

Il \ ai —

35S TROisiî:.\n; partik. — moyenne dans le domaine fonctionnel.

Of. |)niii une \al('iii- donnée de K,,, le minimum du second nu injjrc csl icjillsc lorsque tous les 0,- sont riiaux; sa valeur est K^. Dansée cas toutes les surfaces parallèles onl, aux points Mq et M, un contact du second ordre avec des sphères concentriques.

Dans ions les autres cas, on a donc

^ dli\ K„

formule qui indique que le centre de courbure C, situé à la dis-

tance -^- du point INI, a un déplacement en sens inverse de celui

de^[.

On iiinarcpie d ailieuis que. M \aiiaul entre deux centres de courbure consécutifs C/ et Cy sur la droite M^M, la courbure moyenne vai-ie de — oo à 4-oc, sannulant en un point et un seul, fjue nou^pouNons supposer être M^. Les surfaces obtenues en faisant \arier Al de C, à C/, autres que celle qui contient Mq, ont leur courbure moAenne non nulle au point M, la convexité moyenne étant du coté de Mq. Si alors on considère les éléments f/S correspondant à un même élément û?So voisin de Mq, ils forment une sorte de tube à section variable, limité par des normales aux surfaces S. D'après la formule (i), la section maxima de ce tube correspond à la sui'face Sq, les sections décroissant des deux côtés, pour s'annuler aux points C/ et Cy.

86. Effectuons le passage du iini à l'inlini. La formule ( I2) donne à la limite

le symbole 011. désionant la moyenne des ^ale■urs de la quantité— r

toujours au moins égale à K-.

f*laçons-nous d'abord dans le cas où cette moyenne est suj)érieure à K-. 11 en est ainsi dans le cas où différentes valeurs de p interviennent dans le calcul de la moyenne, c'est-à-dire où presque tous les rayons de courl)ures piincipaux ne tendent pas vers une limite,

.IIAI". IV. — MESUIIK DKS VOLUMES KT DES SIRKACKS. 3"j<|

(litre (III iiiliiiK- ; ((îllc circonshincc ;i (l'allleiirs lien <ii iiurnc hiiip-. pour l()ul<'s les siiilnccs pju'allrles. Alors on a

te (jiii iiioiilir ([lU', non seiilrineiil K ciuîl a\fc A. iiiai-< qin - — i- /'

(Irci'oîl, c Csl-à-dirc que le (■ciilrc de coiirltiirc moyenne (i ^<' (l<''|)la(c en sens inverse de INI.

Si nous partons dune siirlace S iéi;idière en M, il n ) ii aiieiiii centre de courbure principal dans le voisinage de ce point; soient (1, et ( ]^ les points de la normale en M. les plus voisins de ce point de part et d'antre, et ([iii soient centres de courbure principaux ou limites de tels centres. Tant (pie IVl se déplace entre C, et Ca, les surlaees parallèles S sont réi;ulières; au point C| et jGo elles cessent de 1 être, les valeurs de la courbure des sections normales n"('tanl pas finies. Comme il peut arriver qu'un seul des ravons de courbure principaux s'annule, cela ne suffît |)as pour que la courbure moyenne devienne inlinie, et K croît entre (], et (^j, mais non n«*cessairement de — X à -|-oo. On ne peut donc aKirmer que K s'annule entre C| et Co. -Mais, d'après la formule (2), si K s'annule, le tube lieu des normales à un élément f/S a, au point où K s'annule, non seulement une section inaxima. mais une section dont l'oidrc de grandeur es! maximum, c'est-à-dire que le ravon de la sphère équivalente est niaMmum.

Plaçons-nous maintenant dans le cas où presque tous les rayons de courbtire |)rincipaux ont une limite, qui est alors à la fois le rayon de courbure moyenne et le ravon de courbure totale; on a

alors -77- = K-. d où i^ésulte que le point C, centre de courbure an ^ ' .

(movenne ou totale) leste lixe quand // varie. Les sphères tangentes aux surfaces S et ayant même courbure moyenne qu'elles sont des sphères concentriques. Le tube décrit par rélément de section t/S a ses sections variant comme celles d'un cône de sommet C.

Il peut arriver en particulier que le point C soit à l'infini, c'està-dire que les surfaces S aient leur courbure moyenne nulle en !\l. Nous allons considérer spécialement le cas où il en est ainsi pour tous les points de la surface S, qui est alors minima; on a une famille de surface minima parallèles, et le tube, lieu des portions correspon-

3f)0 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

(lantes de ces surfaces, a une section, sinon constante, du moins telle que le rayon de la sphère équivalente soit constant.

Dans le cas général, partant d'une surface mininia So- on obtienl des surfaces parallèles tournant leur convexité moyenne vers Sq, et les aires -S correspondant à une aire donnée -Sq ^^ ^o diminuent, loi'squ'on s'éloigne de Sq. de manière ([ue le rayon de la sphère équivalente décroisse. Mais dans le cas où presque tous les rayons de courbure deviennent infinis, les surfaces S parallèles à So sont également minima, et les aires 6 correspondant à Taire S^ varient assez lentement pour que le rayon de la sphère équivalente soit constant. C'est une circonstance qui n'est pas possible dans l'espace E„. sans que les surfaces S soient des plans.

Cela ne \eut même pas dire, d'ailleurs, que toutes les aires -S soient du même ordre de grandeur, en ce sens que leurs i-apports seraient des nombres finis et que la moyenne d'une fonctionnelle délinie dans le tube dépendrait de ses valeurs sur les 'différentes sections. Il est facile de former une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi. Le rapport entre les aires élémentaires correspondantes c/-S et <^-Sn est

ce produil étant entendu en supposant les directions principales

raniiées dans l'ordre normal. Lorsque la série 7 — sera absolument

converi^ente, cette condition sera sûrement réalisée. D après les relations que nous avons établies entre les axes dune quadrique et ceux de sa section plane, cela re\ient à dire. L= o étant l'équation de la surface S et Lo la partie homogène du second degré dans le développement de U dans le voisinage d'un point quelconque de S, que la quadrique 1-2= i peut se mettre sous la forme

Al À. ■ ■ ■ A„ ~

la série > ^- étant absolument convergente; la série 7 r^ 1 est aussi,

a fortiori, de sorte que L 2 est une fonctionnelle normale de Gâteaux.

87. Remarque. — Nous avons déjà remarqué que. envisagée loca-

ciiAi'. i\ - MisuRK Di;s \oi,i Mi;s i:t dus SIHIACKS. 3(il

Icinonl. mil' smliicc niiniiiia rs| jH('S(juc un pldu. en ce sfiis (jiic la <<»url)iii(' (.le^ scclioMs iKiriii.ih's (•>! |)irN(|iic nulle (Ifiiis |)r(;s(|iic toiiles les dii'cclions. (]«'la ne xciil |i:is duc (|ii(' Ic^ ( (niihiiirs de |iit'S(ni(' loiilcs les (I ircci ions |tii iici |»al('s snicnl inilh-^ mi Icinlcnl xcrs zéro, el, lu coiiibiuc nio\ ennc, élanl la ni(t\(MUK' de (cs conrhiircs, sera en ï;éiiei'al une nioNcniic au ^ciis linhiluel fin mot, des ^al('ll^>^ (liUcrcnto axant un |)()mIn Mm dans li- calcid de la ninvcnnc ('.<■ cas (lanl le cas général, on p<'n(, d'ajn-és ce qtii pi-éeèdc, dislingiuM- les cas suivants, dans lesf|nels la surface niininia res>enil)lr de plus en plus à un plan, eliaque cas ('tanl un cas parlnulirr du précédent :

i" Cas où, en chatpie poinl. |)rcN([Mc l()u> Icv ra\ons de conrbure devicnneni infinis; les snri'accs |)arallél(s à la surface considérée sont alors ('■gaiement mininia. ce (pii n"a pas lieu en général;

2" (^as où tous les ravons de coiirhurc deviennent inlims;

.)" (las où L 2 est une (( met lomielle de ( latean \ ;

'^ Cas où 7 — con\('rge en tous le> points, de sorte cpie les aires

correspondantes rS et -S' de deux snrfaces parallèles ont un rapport fini.

88. Propriétés des contours parallèles tracés sur une surface. — Plaçons-nous dans ICspace )L„. Soit un contour Co, variété d ordre n — :>. tracée sur une surface S. En cluKpie j)oinl de la surface, soit // la plus petite dislance, comptée sur la surface, an contour C,). Les contours C, d équations /^^consl., sont les Vi.inhnws parallèles a\\ contour Co sur la syrl'ace S.

Les géodésupies dOrdri' i, ou c(uirbes (lieux de points à 1 paramétre) ayant leurs plans osculaleurs normaux à la surface, jouent dans l'étude de ces contours le même rôle quc^ les droites dans létude des surfaces parallèles. Soit AqA une telle géodésique, partant d'un point Aq de Co normalement à ce contour; soient M et M' ses points d'intersection les plus voisins de Aj,, des deu\ cotés de ce point, avec des géodésiques analogues inliniinent voisines, ils jouent le même rôle que, dans l'étude d(^s surfaces paraHéles, les centres de conrbure les plus voisins de la surface.

Si / est la distance AoA comptée sur cet arc, le contour /= const. peut être appelé aussi contour parallèle à C,,. Cette définition se

362 TUOISIÈME PARTI i:. MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

distingue de la précédente parce que / n'est pas nécessairement la plus petite distance de A au conlour Co- Il faut pour cela que A soit sur l'arc MM', car dans le cas contraire / serait supérieure à la distance de A à Go comptée sur une géodé?ique voisine de AoA et convenablement choisie; mais l'arc MM' peut ne pas convenir tout entier, car il peut arriver que la dislance de A au contour C„, comptée sur une autre géodésique non inliniment xoisine de AqA, soit intérieure à /. Certaines parties des contours / = const. peuvent donc ne pas convenir à la délinition donnée d'abord des contours parallèles. Les contours parallèles /i = const.. identiques pour les petite> valeurs de h aux contours /^ const., s'obtiennent, lorsque h augmente, en supprimant des parties de ces contours correspondant à des parties de plus en plus grandes du contour initial, lis décrivent la surface S une fois et une seule.

^Nous allons étudier la variati<ui de la mesure de ces contours suecessits. Cette étude est liée à celle de la variation de la courburt' géod<-sique moyenne K^,. par laquelle nous allons commencer.

89. La courbure normale de la surface S étant connue, la couibure moyenne et la courbure géodésique movenne diin contour (j sont liées à langle H de son plan osculateur avec la surface. Dans Tétude de la variation de 8, lorsqu'on passe de Co au contour paral-

Fis 3.

lèle C en décriv^^nt une géodésique normale à C, les éléments du troisième ordre n'interviennent pas, et l'on peut supposer la valeur f)o de Q constante sur le contour Cq. La surface minima Sp. c<uitenant Cq et faisant avec S l'angle 9(,, a un contact du second or(be avec la normale principale movenne AoN^.

Soit C le contour parallèle à Co à une distance très petite h. On

ClIAI'. IV. — MKSI liE lti;S VOI.IMKS ET I)HS SUKIACKS. iCt'i

priil I ,i>>lllill( T il lilllci M'ilinii (le S iixrc iiiic miiIjkc 2l pu i. il Ici.- ;i ï,, ;i l.i di-liiMCi' // MM 0,, : I «•rieur-, m lin m uni |ir| ilr du xcoiul «tnlrc |>iii

riippnii il //, est ^^ilIl- i iilliu luc Mir lit \iilriii' de - •

Soit 0, rillli;lc «|iii' liinl cil \ les >.uiriu<'s S cl 1'. Le pliiii liiiii;i-|il à -, [>ariillrl<' iiii pliiii tiini;ciil l',, en un |iiiinl II \uisiii de A„, l:i direction liinile (\t' \„ II cliinl VoJ^'o> ''■'•'' ''*'V<>' une erreur iiiiininicnl |R-lilc du second ordre. p;iriillcle iiu pliin liiii};enL ii l'„ en A„. Lu variiilion 0, — 0,, provient donc de ee (jiie le j)liin t;ini;eiil ii S i\ loniiic. cl csl ('(piivalcnte ii /.//, /, dcM^iiiiiU lii coiiilnirc inninale de S dans la direction iiorinale i'i (]„•

D'autre part, la >nrfiicc ^ lonrnc •>;( con\c\lté nio\enne Ncrr-C,,, la eourlîiire tiéodé>iqiic inoscnnc de i], eoiuplée po.sill\einent du côté des /i eroissiinls, e>t donc plu- ^riindc cpie si S ('Lut inininia, ecsi-â-dire que 0^0,. On ii doue

dh -

Si iilo.r> la surface S est convexe, et qu'en toui point le ravon de courbure de la sceliou normale soll infi-riciir (ui l'giil à un nonihie fixe R, pour toute videur positive de //,

et j>ar miiIc

Lii viiiiiitioa reliilive de la mesure £ du contour C c>l d'ailleurs donnée par l;i formule

d\oi

^—"^-^ I K^„i/S = — (/; — •i)OrL. k„i,

f>R dé^i^nant la movennc. Donc log£ croît nn»in^ r;ipidenient. ou décroît plus riipidement. que si K„ était constamment éi;al ;\ sa

limite inférieure g- eotf'io — -jt ) ; atteinte dans le cas de la sphère de

ravon R.

Supposons qiit* pour le couioiir initial Co« <^i^ ^'it K^= o, c eslà-dire que ee soit une géodésique d'ordre n — 2. sur la surface considérée. Dans le cas de la sphère de ravon R. cette géodésique est sa section ])iir un plan contenant le ccnlie. et £ décroît jusqu'à o

(luand A varie de o à - — . Dans le cas d nne autre sni'face. convexe, ' i '

cl avant le ravon de courbure des sections normales toujour> au

plus égal à R, le rapport de S a sa valeur initiale, décroît au moins

aussi rapidement que |)our la sphère, et s annule poui' une valeur

de h au i)lus ésale à - • Il en résulte évidemment, S' désignant Taire iiin>i décrite quand h \arie de o à sa valeur maxima, et rSi y.j lair.e

décrite quand « \arie de o a a. que le ra|jporl — ^r- est. quel que

soit a, minimum dans le cas de la sphère. Le même résidtat s'applique pour la partie de S correspondant aux valeurs négatives de h. Par suite, la partie de S pour laquelle h est compris entre un nombre positif 7/ et un nombre négatif a" constitue, quels que soient ces deux nombres, une fraction de la surface de plus en phi^ voi>ine de I unité quand., R restant fixe, n augmenle indéfiniment.

A la limite, dans l'espace fonctionnel, on (détient le résultat suivant : si une surface fermée convexe a le rajon de courbure de ses sections normales toujours au plus égal à un nombre fini R, et si Co désigne une géodésique fermée (d'ordre w — 2) de la surface, le voisinage de Cq con>titue presque toute la surface.