Ce résultat peid d ailleurs >> elablii- plus sinqdemenl
Dans Tespace fonctionnel, la surface minima S^ limitée à Z^t { dont nous étabhrons plus loin l'existence) est orthogonale à S. L<' tube, limité par les normales à S(, aux points de Sq, a, d'après le n^ST. toutes ses sections 2 d Un ordre de grandeur au plus égal à la section de Z^^. Or il est circonscrit à S, et, dès qu on s'éloigne d une disianee h Au contour S„, la partie de 2! intérieure à S, obtenue en n(''i;ligeant*sur le
Contour une liande de laroeur au moins éyale à— r-5 est d Un oïdi'e de
grandeur inférieur à celui de 21, et a fortioii à celui de l,,- '-'* voisinage de So constitue dmic presque tout le volume intérieur à S.
Le raisonnement du n° 89. plus long, avait l'avantage de nous donnei- un r(''siiltal ap|ilie;d)le à 1 espace E„. Dans cet espace, la sur-
ciiAiv IV. — MFîsini; dios voi.umks icr hks sikiacks. 3(5)
fiicc niinnrwi limilt-r ;i C», fl lii sihTjmc iiiiiiiin;i foiilciuiiil C„ cl uillioi;(>ii;il(' il S, soiil (lisliiicics. On ne |)('iil ;il(»i^ «'•Icinl ii- le niinciiir du riUSdiiilcriii'iil prcccdciil (|ii en MCL;li;;r;iiil les piirlic-. ilii miIiiimc non siliM'CN diiMs le \ oi^niii;;!' de hi su iI'jk.c. ce (|ui csl Ic^^ilinic si // csl ^rand. On |)ciil idois riiisoniu r sur une sMiliicc niiniiiiii <irlli((j;nnal(' à S. Mais dii Ils CCS condrlion s, d (si jdii s simple de i;ii sonner sni- la mi flacc, cl non sur le \olnnic inleiicnr. el de reninlacer les suiTaccs 1' pai'allélcs à ï„ par les conloiiis ( ] j);iiallides ;'i ( ]^ ; on csl ;iins| condnil aii\ raisonnetiienis dn n" SI).
1)1. La notion de valeur moyenne dans le cas des surfaces convexes. CoMsidéions loiijouis la siiilac»' feiiiK-e S. con\e\e, cl telle (juc le lavon de coiirhnre des séchons normales soil lonjonis mu pin-, (''j;al à nn iiondtie lint lî. Nous jdloiis d(-inonl icr. dans le c;is d une lelle siirlace, le I lit-oièiiic i;('-neral ('nonce n" io, déjà di'inontré dans le cas de la sphère, d apr«''s lecpicl nue ioiiclioiuiellc niiiforniénienl conlinue L' a presque partout la même valeur. ( >la rc\ ieiit au même dans ce l»iil, d'après le n" 57, de considérer les valeiiis de U sur la surface .S ou dans le \oliime A (piCile limite; sien cHel une ijorfion de S constitue pi'escpu' toute la siii lace, son voisina«;e constitue iiresrpie tout le \ oiuuu'.
Il existe au moins une \aleur Uo fit' U hdie (pie la portion de la surface S pour lacpielle Uo — £ < U <" Uo — ; constitue, (piehpie petit que soit t, une fraction finie de Taire totale. D'après le u" 6|, le contour Co d'équation U = Uo a alors une mesure au moins du même ordre (pie les contours U = consl. \oisius de lui, de sorte (pic sii courbure i;éodesicpie moyenne est null(^ presipie partout.
Raisonnons d'ahoid c(unmc si elle ('lait partout nulle. Lc\oisiaao<î du C(Mitour U = Uo constitue presqiu^ toute la surlace; en \ertu de la continuité uniforme, diuis ce \ ()isinai;e L est trèsp(Mi diflVMcnt de Uq, el le théorème est démoutr<''.
92. Il reste à re\enir sur l'assimilation entre un contour dont la courbure i;éodésique moyenne est nulle presque partout, et un cont(uir p<Mir lequel elle est nulle partout. A cet ellel^ plaçons-nous d'abord dans l'espace E„, et, comme nous lavons fait dans le cas de la sphère, comnieuc;.ons par résoudre un problème de calcul dei^ variations :
Parmi tous les contours limitant une aire donnée -A sur la surface rS. trouver celui de mesure minima.
Désionons par '^<'lt) le?* Jiicsm'cs du contour i\ cl de 1 aiic qii il limite, et défiaissons sa défornialion par le déplacenieni normal yV de chacun île ses points. On a
Kg
dZ
de sorte que le miniiniim nepeuLa\oii- lieu que pour un contour pour lequel K^. soil constant. Ce contour ne jX'ut d'ailleurs admelti-e aucun point conique ou lieu de points coniques ; en effet, on peut modifier 1(^ contour en évitant ces [xtints, cl de mauicie que la \aruilion de % soil très petite (^n valeur absolue par rapport à celle de -1\, cette dernière étant négali\e; on peut ensuite modifier le contour dans sa partie réoulière, de manière à redonner à S la valeur \(uduc -U;Ia valeur finale de i^est alors inférieure à la valeur initiale, qui ne peut constituer un minimum. Vdmettanl rc\istence de ce minimum, nous A'oyons qu'il existe un contoni- n'oulier, fermé sui' lui-même, pour lequel K»^ ait une valeur constante a. Vdmcllons de plus, j>ar laison de continuité (' ). ({ue ci \aric d'une manicrr coulinuc <\<' -— x à — -ce
C) Il y a d'ailleurs quelque diflicullé à rendre la déiiiDoslralion rigoureuse sur ce point. II peut arriver en effet que, pour une valeur c^' de l'air -Ig (ou pour plusieurs valeurs), le minimum de la mesure du contour soit réalisé pour deux Luntours diltéronts C, et Go, les contours voisins du premier donnant le minimum quand taire est inférieure à oA>', ceux voisins du second le donnant quand l'aire est supérieure à cette valeur. La courbure géodésique moyenne est alors une fonction de l'aire discontinue pour cette valeur.
On peut échapper à cette difficulté en remplaçant le problème de minimum absolu par un problème de minimum relatif. Un contour C,, réalisant le miniinuni, pour une valeur très petite JU^ de l'aire, on cherchera, pour les valeurs de l'aire un peu supérieures à "l-„, le contour \oisin de Cj, et de mesure aussi petite que possible, et, continuant de nième, on aura une famille de circonférences géodésiques fermées dépendant de <!Ka d'une manière continue. L'une d'elles sera alors une géodésique fermée, et la conclusion du texte subsiste.
Pour une étude plus approfondie de cette question, dans le cas des surfaces convexes de l'espace oi-dinaire, voir Poincaué, Sur les géodésiques des surfaces convexes {Transactions of math. amer. Society, t. VI, iqoj: voir notamment le paragraphe 7 de ce Mémoire), et Hadamard, Sur quelques questions de calcul des variations {Ann. Ec. Norrn., 1907: voir le n° 7).
<:»IAI«. IV. — \IKStHI-: liKS VOLIMKS ET KKS SltlKA<.KS. 3(»7
f|ii;iM(l -l, Niinc (lr /fii> à I :iiic Inlalc >> de S. ikhI'. \(i\iiii>» <|iic (( -^ iiiiniilc et (juc par- siiilf il r\is|(' un cniildiii rci;iilicr. Icrinc >ia" liiiiiu'''in(', <'l (lorU la coiiihiiic i;r()(J(''si(|iir nioNiiinr m>iI |)arl()iil iiiillc; iitiii". (l(''sii;ii<TtiiiN |)ai- -S|| la \alriir de I aiir liniilcc pai' ce conloii i'.
Le vt»isinai;c «le Cf conloiir, lieu de- |t(iiiils siluc», a iiiir dislaiirc de lui iiili'iH'iirc à î, a une aire '.(■nsd)l(ini ni ('-i^alc à i^z. Ndiis sa\ uns (mm-, ptiiir /i asst'z i;rand. il coiislil ne |)rt'>.(iiic Imilc la sm-facr. ( ,cla sfra \Vi\\ a Jnrtioit pour lr-- aiil i('-~ (imloiiis cnhuiiaiil la niriiir airr -S„, «'t avaiil par siiilc une iiioiiic •^^•upiiicii i c. ( )|-, |)ai"ini lc> airo d»''liiiifs; par uuc iii('-j;alil('' de la tonne L l „• 'I '•• «'m^I*' ««■rlaiiicMu-ul une éi;alo à ^j,,. Le voisiMa<;(' ilii coiihuir L =Ln (•oa>liluc alors picsinie toute la surhice; eu d autre> leinies, pour n assez i^iaud. la \aleiir Uo <"oinple veille dans le eahiil de la moveniie.
93. Le raisoiiueiiiciii prt'-eedeiil prèle euctu'e à nue ol)|eeliou; t y apparaît lanlot comme un Uiunhie lini, ia<](''pen(laiil de //. laulôt comme iiu iiomlue uilinimenl petit. Pour reiidic le rai>omiement riiioureiix à ce point de \ ne, ntuis prendrons un noinhres Itien délermiiié, et appellex'ous roi si liage de C, el dési«;nerons par V';(C), ou simplement \'>(C). le lieu des points de S d(uit la distance à C. comptée sur la surface, soit inférieure à s. Considérons le problème de calcul des \ariations Mii\ant :
PaiDiL tous les contours limitant linéaire donnée -V. sui- la siirpice S, trouver celui pour lequel VM C) ait mie aire niiniina.
La variation de l'aire V de V' (C) est de la forme o\'' = / (a. — a» I ov rfS,
a, et 7-2 désiijnant le lapport, à l'élément dZ. les élèmenls correspondants des contours parallèles C| et Cj qui limit^ent la région \'^(C). La solution du problème est alors un contour pour lequel X, — 7.2^^ const., et, par raison de continuité, on peut encore trouver une valeur ^0 de A, telle que la constante soit nulle, et a, =ao. Les portions correspondantes des contours C| et Co sont égales.
Or les régions élémentaires correspondantes d'une famille de contours parallèles tonnent, comme nous le saxons, un lube dont la seclion, maxima pour celui dont la courbure géodésique movenne est
'368 TUOISIÈ.ME PARTIE. — MOVENNE DANS LE DOMAINE KONCTIONNEL.
nulle, dé(M'OÎl des deiiv côtés, ;iii moins aussi \ite que sur la sphère de rayon Pi. Le maximum a alors lieu nécessairement entre C) et C^, et, si non seulcnicnl lo lavons de courbure des sections normales de S sont iînis, mais qu ils soient des tondions uniformément continues du point considéré de S et de la direction de la tangente, il est à peu près équidislant de C| etCo; autrement, la décroissance de la section de chaque tulje élémentaire se faisant à peu près suivant la même loi des deux côtés de la section maxima, les sections par C( et Co ne pourraient être égales. D'une manière précise, on peut limiter inférieurement la distance à chacun des contours C| et C2 de cette section maxima; soil'/j cette limite inférieure. Gomme les sections décroissent au moins aussi rapidement que sur une sphère de rayon R, la fraction de chaque tube située dans \'M C ) est au moins égale à la fraction de Faire d'une sphère de rayon R (comprise entre deux plans parallèles
situés de part et d'autre du centre à la distance R sin ^ • La fraction
de l'aire de la surface S intérieure à VM G) est alors certainement inférieure à la même quantité, et tend vers i quand « augmente indéfiniment.
Gela est alors vrai a fortiori pour tout contour G limitant la même aire>>o, et en particulier pour le contour L" = LIo, Lo étant défini par la condition que U soit inférieur à Uo sur une aire égale à §0- Gette valeur de Uo compte donc seule, pour /t très grand, pour le calcul de la moyenne. c. q. f. t>.
94. Classification des surfaces et des volumes au point de vue de l'aspect de la notion de moyenne. — Nous appellerons surface de la première catégorie toute surface finie sur laquelle toute fonctionnelle uniformément continue a presque partout la même valeur. Les autres surfaces finies sont dites de la deurième catégorie.
D'après ce qui précède, il e>l particulièrement simple, dans le cas des surfaces convexes, de montrer qu'elles sont de la première caté- "orie. Mais ce résultat une fois ol>lenu, il est facile de former d'autres surfaces de la première catégorie.
Donnons à chaque point M d'une surface S un déplacement, parallèle à une direction fixe, et de longueur a variable; nous supposerons (lue a, considéré comme fonction du point M, soit continu et admette une dérivée fonctionnelle bornée, c'est-à-dire que, si ds désigne un
i:ii\p. IV. — Mi;si:nK iii;s \oi.imks kt iiks sl'iiiacks. U]')
arc élénii'uliii i<' de hi .siitliirc S, ri f/n la \ anal m in cdi rcspdndanlr ilf r/,
-y <'xi>lr cl son iimmIiiIc a imr liiiiilc mi i iciicii ic iinlùpendauU; du as ' *
point \l cl (\r. la dirci lion dr I aie t/.s. Le dcplaccmeiil considtMi''
liansfornn' la snrfacr S i n nnc aulif Miilace S' lellc que les rapports
des lon^iiciiis on des aires de S aux lon^^nenrs on an\ aires corres-
pondanli'^ de S soienl liais. Il en résnllo ais«''inenl, si la surface S esl
de la première catégorie, (jiie la surface déformée Tesl aussi.
En n''|)»''laiil celle opération, on j)euL obtenir des surfaces d'un très
i;rand de^rt' de |4én(''ralil(''. (|ui sohI de première eaU'gorie.
9.'). l^a dislinclion en deux ealei;ories (jne nous xeinnis de laire au sujet des surfaces, ou des volumes qu'elles limilenl, s'étend aisément à toutes les xariélés à une inliinle de dimensions.
Soit une surface S de la première catégorie, limitant un volume \ . Désignons par //,. a.j^ ..., Up les valeurs moyennes de lonclionnelle-
Li|, L o, L p, sur la surface S ou dans le \olumeA*. La variété <t\/,,
à (.) — /> dimensions, lieu des points de \ pour lesquels L, = w,, L2=//o. ..., L y, = tfp, constitue presque tout le volume \ . 11 en résulte qu'elle appartient à la première catégorie. Si en ellet une fonctionnelle l a\ait des \ aleius dislincles dan> di'ux Iraclions limes de la région ;<{p, elle aurait à peu près les mêmes valeurs dans les portions de A voisines respectivement de ces deux tractions de <^/,. et n'aurait |)as par suite la même valeur dans [)resque tout le volume \ .
En partant dune région Ap. à (o — p dimensions, et de n'importe quelle catégorie, il est facile de constituer des volumes de la deuxième catégorie. On peut obtenir un volume en considérant le lieu de régions Ap dépendant de p jtaramètres ). ,. ),o, ..., '/.pi si toutes ces régions sont du même ordre de grandeur, c est-à-dire si les rapports de leurs mesures sont finis, on obtient un volume V de deuxième catégorie.
Considérons dans ce volume/) fonctionnelles L,. Uo, t/,- Les
variétés définies dans ^ par les conditipns L, = 01,^2=^2. .... Vp^=Cp sont en général telles que leur voisinage constitue une
fraction finie du volume total, du moins si le point c^, Co, Cp de
1 espace E^ est dans un certain volume île cet espace. Alors la moyenne d'une fonctionnelle de la forme /"(L ,, I o, ..., L^) sera donnée |)ar une intégrale d'ordre/).
370 TROISIKME PARTIE. — MOYENNi: DANS LK DOMAIMC KONCTIONNKL.
Supposons maintenant les refilons ,d^ de la première catégorie, et considérons un nombre quelcon(|ue q de fonctionnelles U) , I.I2, •••, U^. Chacune d'elles a presque partout la même valeur dans chacune des régions cR;,. Par suite, en négligeant seulement des fractions négligeables du \olume total, ces fonctionnelles sont des fonctions de Ai, /.o. ...,À^. Quelque grand que soit ^, les systèmes (h^ valeurs des fonctionnelles considérées, réalisés dans une fraction Unie du\olume total, déjjendent au plus dey> paramètres. La moyenne dune lonctionni'Ile de la forme/ (U,, Lo, ..., L,y) sera donnée par une intégrale d'ordre y>.
Ce nombre yj dépend évidemment seulement du volume considéré, et non du choix des régions Ap (pii le décrivent. Nous dirons qu un tel volume, ou la surface qui le limite, sont de la deuxième catégorie^ et d^ ordre p. Ce volume ne peut être déciùt par des variétés de la première catégorie que si elles dépendent d'au moins p paramètres; et si elles dépendent de plus de p paramètres, c'est que certaines sont négligeables devant les autres, et celles dont il y a lieu de tenir compte pour les calculs de moyennes dépendent exactement de // paramètres.
iU). Il peut exister des volumes de la deuxième catégorie cl d'ordre iulinl. Tel est le volume \ ' défini par les conditions
.r j < rtf , .r|< rt|. . . . , xl < al, ....
les a,i étant t<'Is que ï rtf, conserge.
Ce volume présente cette particularité d'être trop petit pour pouvoir contenir une sphère à son intérieur. Quelque petit que soit le ravon p d'une telle sphère, il n'y a qu'un nomI)refinide \aleurs de a,i supérieures à p en valeur absolue, et les diamètres de la sphère correspondant aux valeurs de rt„ inférieurs à 0 en valeur absolue sortent du \olume considéré.
Considérons alors le volume V . beu des sphères de ra\on R. ayant h'urs centres dans le volume \ '. Il est de dimensions finies, et, si grand que soit /j, les coordonnées X\^ x^-, ..., Xp prennent, dans des fractions non négligeables du \olunie total, des valeurs indépendantes. Le \olume V est donc de deuxième catégorie et d'ordre infini.
Mais il présente une circonstance assez remaïquable. Soient u une fonctionnelle uniformément continue, etL|, en chacjue |ioint M, le
« :iiM>. IV. — MKsriŒ mes voki mks i;t i>i:s sirpaces. 371
<.< |j«»lenLicl .s|iliéri(jiie », nioyenin- «If I daus la >pliric de (•culic \\ ci <l<' rav«»n R. On \nil ai^f'-im'iit (|im" la iinivenin- de l daii> \ ol ('i^alc à ('«îlie de l I daii> \,. l'iopoxm^-miiis de la calculer a\ ce iiiir n ini 1 au plus c^alc à un iionihic |mMl il e, au>si pclil (luc iinii> \ « lultm-. mais <U'leiimnc ; désij^iions par r| le module de conliiiiiilé iiiiiloiiiic de la lt»iirli(innellc l «laiis le volume \, eorn'spcuidant à z; il eiuivicni aiisM dans je vnluiiic \ , pour la loiicl lonuclh' l ,. Prenons alors// assez »;iaiid pour (pie
Ou peul, pour le ealcul de la moyeune chercliée, remj)lacer par zéro loiis les ./• dlndiccs plus i^raiid ipie p. l 1 se réiluil alors à une fonetion '-5(0?,, iV-2, ...,./•/,), Ol la mo\enue eliereln-e est, à une erreur près, au plus ('-oale à z.
Les seules valeurs de L qui ((uuphat [)our le calcul de la moyenne sont eelles de L 1 . On peut se contenler de considérer des valeurs dépendant d'un nombre fini de paramétres, (pu ne dépend pas de la t'onetionnelle eonsidéré-e. mais seulement du module de continuité uniforme tj correspomlanl à la pr(''eisi(jii cherchée; ainsi, pour une pi'éeision donnée, il sera le même pour Imites les fonctionnelles dont les dérivées j)remières ne dépassent pas un nombre déterminé, et plus généralement pour toute tainille de fonc'tionnelles également et uniformément continues, ^lalnrellement ce nombre y? augmente indi'-linimenl avec la précision cherchée.
Cette circonstance s'étend à tous les \oiumes de deuxième caté- 1,'orJe et d'ordre infini (M. On peut donc les connaître assez bien, au point de v«ie du calcrd de la moyenne des fonctionnelles, en n'étudiant que ceux d'ordres linis, dont la génération à partir des volumes de la première catégorie est très simple. On xoit doue le rôle essentiel que jouent ces volumes de la première catégorie.
( ) Pour y échappei-j il faudrait engendrer un volume V en doiinanl à une variété l'fl de la première catégorie des déplacements dépendant M'une inlinilé de paramètres, et d"amplitudes movennes telles que la somme de leurs carrés ne converge pas. Mais alors le volume V ne serait pas situé dans une région finie de respace.
372 TROlSIlÎMi: PARTIE. — MOVKNNK DANS I.E DOMAINE FONCTIONNEL.
97. Remarques diverses. — Considéi'ons vin volume V, convexe, limité par une surface S. On peut considérer plusieurs quantités liées à l'ordre de grandeur de ce volume. 11 est intéressant de les comparer entre elles.
Un raisonnement superliciel pourrait conduire à penser que. si la surface S est de la première catégorie, ayant presque partout même rayon de courbure moyenne et même rayon de courbure totale, elle est presque une sphère^ et que ces diverses quantités sont égales. Il n'en est rien.
Une première grandeur à considérer est le rayon R de la sphère de volume équivalent à celui de \ . On démontre sans peine que c'est aussi le rayon de la sphère de surface équivalente à celle de S, et qu'on ne change pas non plus ce rayon en remplaçant le volume A et la sphère par leurs projections sur un plan à co — p dimensions. Bien entendu, la mesure de, la projection du volume dépend du plan choisi, mais le rapport entre les mesures de deux telles projections, fini ou infini, ne peut être de l'ordre de grandeur de a^{^a^\\ et est sans influence sur le rajon de la sphère équivalente.
D'autre part, si la surface S est de la première catégorie, le rayon de courbure totale a presque partout la même valeur R', tandis que si on le considère comme fonction du point de la sphère sur laquelle on représente l'ellipsoïde, il a presque partout la même valeur R'.
Les nombres R. R , R' ne sont pas nécessairement égaux. Par des remarques analogues à celles du n" 76 sur l'inégalité (36), on peut montrer que
