JUSTIFICATION DE LA NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS

DE LA sr;;i:i(E. questions diverses.

Sommaire : Le cas des fouclionnelles de Gâteaux. — l'2tude d'un autre cas particulier. — Elude d'un cas plus général. — Généralisations du ihéorènie de Gâteaux. — La notion d'écart. — Application à la inoxcnnc dans une sphèn-. — \pplicatiiin au potentiel de diuihlc eouclie. — ( tue-tions diverses.

137. Nous avons étudié dans les Chapitres I à IV de la troisième Partie les propriétés de la moyenne dans l'espace fonctionnel, mais nous avons admis l'existence de cette moyenne, en deliors de certains cas où, la fonctionnelle étudiée étant représentée par des séries uniformément convergentes d'intégrales définies, cette moyenne est aisée à calculer, et son existence établie par ce calcul même. Il y aurait lieu de combler cette lacune en généralisant le raisonnement classique par lequel on établit l'existence de l'intégrale définie. Il s'agirait d'arriver au résultat, sans supposer aucune représentation [)articulière de la fonctionnelle étudiée, en partant uniquement dliypothèses relatives à son mode de continuité.

Nous allons exposer cette justification dans le cas de la sphère. Commençons par un cas simple.

138. Le cas des fonctionnelles de Gâteaux. — L ne fonctionnelle de Gâteaux L, uniformément continue dans une sphère S de rayon R ayant l'origine pour centre, est caractérisée par cette propriété que, pour n assez grand, la différence L\ — L,, est inférieure en module, dans toute la sphère, à n'importe quel nombre donné î, H désignant la projection de A sur le plan de la n"''"'' section. La fonction qui correspond au point H étant la fonction simple d'ordre n ayant dans

chacun des intervalles ( j - ) même valeur moyenne que celle qui

422 TROISIKMIC PARTIIÎ. — MOVENNIÎ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

correspond au poiiil A, la piopriété qui précède n'est pas autre chose en effet que la propriété CJf du n" 80 de la première Partie, énoncée sous forme géométrique.

Dans le calcul de la moyenne de U dans la sphère ~^ on peut donc remplacer L ^^ par Un. en ne risquant de commettre sur la moyenne qu'une emcur au plus égale à s. l^a moyenne de L dans la sphère se ramène ainsi à une moyenne dans une sphère S,; de Tespace E„, chaque élément de volume d\ n ayant un poids proportionnel à la fraction de la sphère S dont il est la projection.

Soit /• la distance au centre de S d'un point de l'élément considéré, et p = y,^R- — h-. La moyenne dans la (n -j-y))'^""' section de S, à une erreur près inférieure à s, s'f'crit

^ n ^ R ^ Il

/ / • • • / i( ( .Ti, X2, . . . , Xn ) p'' 'Ixi dx-i . . . dx,i

X\^ X2, ■••■) Xn désignant les coordonnées du point H, et a(j7,, X2, •••, x,i) hi valeur de U en ce point. Lorsque y> devient infini, les éléments voisins du centre, où p est maximum, deviennent prépondérants pour le calcul de la moyenne, et l'expression précédente tend vers Uo, valeur de U au centre de la sphère. La moyenne de U dans la sphère S,,^^,, pour/> assez grand, c'est-à-dire dans la sphère S^? pour n assez grand, est donc comprise entre Lq — £ et L'oH- £• Comme il en est ainsi quelque petit que soit s, elle tend vers L^. Donc la moyenne de U dans la sphère 2 existe et est égale à L'o (')•

Ce résultat est très particulier et n'apprend rien que nous ne sachions déjà; les fonctionnelles de Gâteaux étant représentables par des séries uniformément convergentes de polynômes normaux de Gâteaux, l'application des formules de Gâteaux permet de définir la moyenne, non seulement pour ces fonctionnelles, mais même pour des fonctionnelles beaucoup plus générales. Mais il nous donne une

(');Par un raisoanemeat tout, différeat, moins rigoureux, mais plus intuitif, on peut dire : dans l'espace E„, si une fonctionnelle est linéaire par rapport à chacune des coordonnées, sa valeur au centre d'une sphère est la moyenne de ses valeurs sur la sphère. Ce résultat est vrai à la limite pour les fonctionnelles de Gâteaux.

C'est d'ailleurs un cas particulier du théorème analogue pour les fonctionnelles harmoniques.

CIIAi'. M. — NOTION Il|.: M(>Vi;>'MC KAN.S M' CAS l»IC LA SIMIKIU:. 47.3

idiT (le la maiiiiir (Idiii, on |)iuL ('sp(''i(M' arriver à f'-tablir rcxislcncc delà inovcniic vu parlant dli \ pollir'^i-s rdal ivcs au rinidc dcconliniiih' de la lonclionncllc l .

139. Étude d'un autre cas particulier. — Soit - =J'{\ ) la fouclion soinmaloire de x{t)^ c'esl-à-dirc la mesure de reuseniblc d(;.s valeurs de ^, comprises entre o et i, pour les(pMdles ;r<;. Les foiietioniielles LI c\ue nous allons considérer sont C(dles qui ne dépendent qu(.' dey(ç). Elles prennent donc la même valeur pour-deux df'-lerminalions de.r(/)qui se transforment l'une dans l'autre par une substitution elleetuée sur la variable t et n'altérant la nu^sure d'aucun ensemble. Tel est le cas des fonctionnelles représenlables par des intégrales définies de la forme

dans lesquelles la fonction inlégrée ne dépend pas explicitement de

Nous supposerons de plus que L soit une fonctionnelle continue de/(;). Comme d'ailleurs/ (;) est essentiellement une fonction non décroissante, cela revient au même de supposer qu'il s'agit de continuité liée au voisinage uniforme ou au voisinage en moyenne.

l^our étudier la moyenne de U dans la sphère i^, ou, ce qui revient au même, sur sa suiface, prenons une fonction J7(/) sur sa n"'"^'' section

-;i. Ce sera une fonction, é^ale dans chacun des inlervallesf : - )?

^ \ n nj

à une valeur constante Xi, et telle que x'î -+- xl -i- . . . -^ x^ := /iK-. Chacun des Xi. pour 7i assez grand, a la loi de Gauss pour loi de probabilité. Il résulte alors de raisonnements connus de calculs de probabilité que, pour n assez grand, la répartition des valeurs x^j x>, ..., x,i reproduit sensiblement la courbe de Gauss. Dune manière précise, pour n assez grand, la fonction sommatoire /(ç) difTère de la fonction de Gauss

dans tout l'intervalle ( — oo, -r- oo), de moins de t, sauf dans une fraction de la sphère ^,i égale à e', t et î' étant arbitrairement petits.

Par suite L , sauf dans une fraction néaliçrfidile de -„, tend vers la % aleur obtenue pour f{ ;) = cp (ç j, c'est-à-dire en prenant pour x (t) lu fonction 'li{f) inverse de z>(q). La moyenne de L dans la sphère S existe donc, et a la valeur L 1 [^r(f)] [.

"140. Étude d'un cas plus général. — Passons à une catégorie de fonctionnelles très générale, qui comprend les précédentes comme cas particulier. Nous supposerons que. z étant arbitrairement petit, on puisse détermine?' n de manière que, si x (t) et y (t) sont deux fonctions intéiieures à la sphère S et ayant même fonction

sommatoire dans chacun des i/iten-alles ( • — ) ; on ait certai-

nement

(V lU|[j(0]I-U|[x(o]||<E.

Cette propriété est évidemment beaucoup moins restrictive que la propriété Çt des fonctionnelles de Gâteaux ; elle définit donc une catégorie plus étendue de fonctionnelles. fsousVùppeWerons propriété 3Z (définie dans la sphère -; on peut de même la définir dans un volume quelconque i.

Clioisissons le nombre n de manière à vérifier l'inégalité (2), et •étudions la moyenne de L sur la (7?^)'*"* section }i],y/, de I, /; étant très grand. D'après la loi des grands nomlires. chacune des moyennes

n / x'^{t)dt

est presque égale à R-, sauf dans une fraction négligeable de S^y, ; on ])eut donc, pour calculer la limite de la moyenne, supposer ces moyennes égales à R-. De même, d'après le numéro précédent, on ne néglige que n fractions négligeables de 2„y,, en supposant que dans chacun des intervalles considérés, la fonction sommatoire de x{t) •diftere très peu de — cp(ç). L'ensemble des erreurs ainsi commises sur la moyenne est, pourp assez grand, inférieur à î.

D'autre part, d'après la propriété 3C, on commet une erreur au plus égale à s en remplaçant x{t) par une fonction particulière ayant la fonction sommatoire considérée, par exemple la fonction X„ (/)

«ii;ale. dans chacun des intervalles i- ^-' - ) , k 'l int — / -h i).

Clive. VI. — NOTION 1)K AlOVr.NNK ItANS LK C.^S l»i: l.A SPIIlîUli. 4'>>

Donc, SI Idii clidi-iil //. j>iii>y^, .siiCli.sainnicnL ^t;iii(Is, lit inôNcniu' «If l Mil- la .s|>licrc )ù,i,, (lillVic (le l || \„(^)j| cJ'aii plus az; donc la ino^jcnnc de L sur la splicre 1'. mi dans colle sjdicic. cxislo, cl esl i'^alc à la limilc de l | | \„( / 1 1[.

111. Généralisations du théorème de Gâteaux. - La propriété (/,, (pu caracicrisc les ioiuiionncilcs de (laicaiix, esl , d'après le ihéorème de Galeanx. idenlnpii' à la propriété (j. qui indique que ces fonctionnelles peuvent être repiésenlées par des séries uniformément converj;cntes de pidynomes normaux de Gâteaux. Par analo<;ie, on peut penser que la propriété ;5C caractérise les fonctionnelles représentables par une série uniformément convergente de pol\ nomes normaux quelconques.

A\anl déludicr celte queslion, nous dc-moiili-erons un tliéorème analoi;ue concernani une propriéh' inlerincdiaiic cuire les propriétés

Nous dirons c^u une fonctionnelle L |[j.'(/)]| possède la propriété CJp dans un domaine fonctionnel A si. étant donné un nombre positif e arbitraiiement petit^ on peut déterminer n de manière que, -^{f-} ^O'(0 él-fmt deux fonctions du domaine ,'R ayant mêmes valeurs moyennes d'ordres i, 2, ..., p dans chacun des inter\alles ( , - ] ^ on ait certainement

^\[yKt)]\-\:\[x{t)]\\<t.

Les propriétés (|',, (/o, ..., Ç^p, .... 5C sont évidemment de moins en moins restrictives.

Kous dirons d'autre part qu'un polynôme normal, somme de termes de la forme

(3j / / ■'• j t:^[tx, t^,, . .., t,,)x^^iti)xMt-i).-.x'^^-{ti,)(ltidti...dln «^0 «-^0 «-'0

est de classe p si les exposants a/ sont tous au plus égaux à p.

Nous appellerons distance de degré p de deux fonctions x{t) et y U), ou des points correspondants de l'espace fonctionnel, le nombre positif rp défini par la formule

;:= f \yin-^{t)\i>

dt.

426 TROISIÈME PAUTIi:. — M0VENM2 l)\NS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

A cette définition correspond la notion de coiitinaiié de degré p dune fonctionnelle. Une sphè/e généralisée de degré p sera le lieu des points dont la distance de degré p à un point fixe a une valeur constante.

Ces définitions posées, on a le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour cpî une fonctionnelle U soit^ dans une sphère généralisée de degré p^ représentable par une série uniformément convergente de polyno/nes normaux de classes p et continus de degré p ('), est cju^elle soit conti?iue de degré p dans cette sphère et y possède la propriété CJp.

La démonstration est analogue à celle du théorème de Gâteaux (première Partie, n" 86).

jNous ne recommencerons pas la démonstration du fait que la condition est nécessaire, la démonstration indiquée dans le cas où p ^= i sappliquant sans modification.

Inversement, soit U une fonctionnelle continue de degré p dans la sphère généralisée de degré />

(4) f \^(.t)\"dt^R^„

et y possédant la propriété Qp. Pour démontrer le théorème, nous allons montrer qu'on peut la représenter avec une erreur au plus égale à s en valeur absolue par la somme d'un nombre fini de termes de la forme (3).

Dans la sphère considérée, les moyennes w^,,,, définies par la formule

(5) {mi,ri)i= n j\i(t)dt. (

sont limitées supérieurement. On peut évidemment définir une famille de fonctions y (<) dépendant de np paramètres, telle qu'il existe une fonction et une seule définie par chaque système de valeurs des

(•) La condition que ces polynômes soient continus de degré p impose aux fonctions '-?(<i, t.,, ..., ^,,) certaines restrictions faciles à préciser. Ainsi, si a, = a, = ... = a,, = jD, il faut que 9(<,, t^, •••, f;,) soit une fonction mesurable bornée. Pour le cas de p = 2, voir première Partie, n° 79.

(MAP. vr. — NOTION IlK MOYENNE DANS I.K CAS DE LA SPHÈRE. ^"i.-

ni()\ cniirs /?/, . et que l;i «lislance <le dei^ré /> de deux lonelinns de celle lainille leiide vers zi ro si les moyeiities relatives à l'une dCJIc-. leiident reb|)eel.i\ eiiu'nt vers les nioNcniies rt'Ialives à l'aulrc.

Soil. al()rs xi t ) une tunelioii vérifiant 1 iiié|;;alilé ( \). Soil \„( t ) la l'(»nel.i(Ui de la laniille eoiisidi'rée avant dans chacun des intervalles

( j - ) les inriiies nut\euues d Onire i, ■>, n. Si // est assez

\ n nj ■ I

urand, on commet sur la lonctiunui'llc l une erreur au plus ('••raie à en remplaçant xit) pai- \„{ t ) (dapn-s la propriétt- (j^, ). On (d)lient ainsi un<' nouvelle fonctionnelle

(pii est une fonction continue des np moAennes m, '^ on peut, avec une nouvelle erreur au [)lus égale à -> la remplacer par un j)oljnonie. En remplaçant dans ce polvnome les ///,,. par leurs valeurs (5), on obtient une fonctionnelle l„|[a7(^)]j, dilVérant de L d'au plus £, et rcjtrésenlée par une somme de termes de la forme (3).

\'À\ opérant comme nous venons de 1 indiquer, on trouve pour

'S>(t^, fo, ///) des fonctions discontinues. Parle même procédé que

pour le théorème de Gâteaux, on peut s'arran^ev ])our avoir des fonctions continues.

142. On peut chercher à étendre les résultats précédents au cas où p devient iniini. Désignons symboliquement par a?''' une fonction entière de la forme

î;- {x ) ^= CiX -^ c-,x'- -^ . . .-^ c ,,xi' -r . . . ,

les coefficients étant tous positifs, (^omme dans le cas du degré fini, on définit aisément les notions de disiaiice de degré o). sphère généralisée de degré w, fonctionnelle continue de degré oj. Désignons par (^i^ le volume intérieur à la sphère généralisé

8\\{xt)\\dt^g\.\

cl par V'a le volume homothétique du précédent, par rapport à l'origine, dans le rapport h>\. Le théorème suivant paraît vraisemblable :

La condition nécessaire et suffisante pour quiiiie fonctionnelle U soit représentable par une série de polynômes normaux et continus de degré to dans le volume \'> qui con^'erge uniformément dans n'importe quel volume \'^a, est qu' elle soit uniformément continue de degré w et possi'de la propriété '3t dans n importe quel volume Va-

Cela revient au même de dire de deux fonctions qu'elles ont même fonction sommatoire dans un intervalle ou qu'elles ont mêmes moyennes de tous ordres, si ces moyennes sont finies, ce qui a lieu nécessairement à l'intérieur du volume \'>. Cette remarque montre bien l'analogie de la propriété Ç^p et de la propriété 3C, qui est la limite de la précédente poui- p infini, et l'analogie de ce théorème et du précédent. Le fait que la condition soit nécessaire se démonti'c, comme pour le précédent, par la méthode indiquée à propos du théorème de Gâteaux.

Pour démontrer qu'elle est suffisante, on peut la supposer vérifiée, et chercher à représenter U par un polynôme normal avec une erreur inférieure à un nombre e arbitrairement petit. On fera à cet effet tmis

erreurs successives inférieures à ^:

i" En remplaçant x (<) par une fonction X (<), avant même fonction sommatoii'c dans chacun des intervalles ( , - 1 j et qui soit croissante, ou du moins non décroissante, dans chacun de ces intervalles; si n est assez grand, l'erreur est bien, d'après la propriété ^, infé-

, e rieure a -;

2" En remplaçant X(<j par une autre fonction Y(<), ayant dans chacun des intervalles considérés même moyenne d'ordre i, 2, ...,/>, et dont la forme dépende suivant une loi déterminée de ces np moyennes; si ^ est assez grand, cela est vraisemblablement possible

en commettant sur U une erreur inférieure à -;

3" En remplaçant U|[\ (^)]|, qui est une fonction continue de np variables, définie dans un domaine fini, par un polynôme. Ce polynôme, considéré comme fonctionnelle de x(t)^ est bien un polynôme normal.

La seule difficulté consiste dans la deuxième opération. S'il s'agit

cii\p. M. NOTION m; \i()Vi;\NK iians li: cas m. i.\ ^i iii.ui;. j^Q

(le loiutu)n> (jiic'lcoïKjuo. la c()niiai>.>?uncc de ses lîiitvcniiH;^ d unJrus

I, 2 /) «liius un intervalle ne donne pas une connaissance très

exacte de ces fonctions, et deux fonctions X(i) et Y(/) peuvent avoir même moyenne de tous les ordres sans qu'il soit possible de Irouveipour leur distance de ilegrc p une limite supérieure nieilleuie que la somme de leui- dislance à lOrii^ine.

Si au contraire il s'agit de fonctions croissantes a[>partenant au volume V', la c<jnnai>sance des p premières moyennes les définit assez l>ien, si/? est giand; cela revient à dire qu'une loi de probabilité est bien connue si l'on connaît les valeurs moyennes d'ordres i, 2, ...,/> de la variable x obéissant à cette loi, et si l'on sait que la valeur moyenne de «(|jr|) est inférieure à g(p). Dans ces conditions, on peut sans doute montrer, si p est assez grand, et si X(^ ) et \ (f j appartiennenl à un même volume \''a, que la distance de degré /> de ces deux, fonctions a une limite supérieure r,. fonction de /.et de/?, et tendant vers zéro ciuand /, auumente indéfiniment. En vertu de la continuité uniforme de L, l'erreur sur cette fonctionnelle ré>^ultant du remplacement de X(^) par \ (t.) peut alors être rendue inférieure

à ^ en prenant p as^ez grand.

143. La notion d'écart. — L'idée qui nous a conduit à définir la propriété (j"^ est la suivante : la connaissance des p premières moyennes d'une f(uaction dans un intervalle définit assez bien les valeurs de la fonction, mais sans rien apprendre sur les valeurs correspondantes de la variable. Si l'intervalle considéré est très petit, cette indétermination est sans importance. Aussi, si l'on se donne les

moyennes de degré i, 2, ....p dans tous les intervalles ( 5 — )>

n et/? étant grands, la courbe représentative de la fonction apparaît comme bien connue, en ce sens qu'on en connaît les différents points avec des erreurs qui ne peuvent être très grandes ni sur l'abscisse, ni sur l'ordonnée.

On peut préciser la nature du voisinage entre deux fonctions x (t ) el y (t) ayant ainsi mêmes moyennes de degrés i, 2, ..., p dans tous

les intervalles ( , - ], en introduisant une nouvelle définition de

la distance, que nous appellerons écart de degré p.

Concevons entre les variables t et t. variant toutes deux entre o

^30 TRO!Sl^:^rE partie. — moyenne dans le domaine fonctionnel.

cL 1, une corres-pondance biunivoque telle que les mesures des (mserables correspondants soient égales. Posons

et

dt.

Nou-s a^ppellerons écart de degré p des fonctions x(^t) et j(^), et désignerons par Zp, le minimum de ep lorsqu'on fait varier la loi de correspondance entre t et •:('). On définirait de même l'écart de degré (o.

Si les fonctions xi^t) ç\y(^t) vérifient l'inégalité (4), on peut, à condition que n soit assez grand, trouver deux fonctions \(V) et t, (f),

constantes dans chacun des intervalles ( i-\i et dont les dis-

tances de degré p k x {() ely( l) soient aussi petites qu'on veut. On en déduit aisément que, dans la définition de î^,, on peut se contenter de considérer les correspondances entre i et t obtenues en divisant l'intervalle (o, i) en n parties égales, et en permutant ces intervalles partiels. On a ainsi seulement une infinité dénombrable de nombres Sp, dont le minimum est tp.

Une des valeurs possibles de e^, obtenue pour f = x, est la distance du degré /j, /-p^ entre les fonctions a^ (/) etj'(/). Il eir résulte évidemment que tp'Si'p. Deux fonctions x{t) ely(t) peuvent donc, au point de vue actuel, apparaître comme plus voisines que si l'on définit

(') Il y a une grande analogie entre celte notion d'écart et l'écart de deux courbes considéré par .M. Fréchet. Pour arriver à la définition de M. Fréchet, il faut effectuer à la détînition du texte les modifications suivantes :

1° Remplacer e , moyenne de degré /> de o, par le maximum de p; il y a entre ces deux points de vue la différence déjà signalée entre le voisinage uniforme et le voisinage en moyenne:

2° Supprimer, dans la loi de correspondance enlre t et t, la condition que les ensembles correspondants aient même mesure. Si l'on n'a pas pour objet d'étudier des fonctionnelles représentables par des séries d'intégrales où t est la variable d'intégration, celte condition est sans intérêt;

3° Imposer par contre à celte loi de correspondance d'être continue.

La définition de M. Frécliel est naturelle lorsque l'on considère deux courbes voisines comme deux traits continus tels qu'avec un crayon imparfaitement pointu on ne puisse pas les distinguer. La nôtre est naturelle dans les questions où .r (/) et jK {/) sont des fonctions mesurables, ce qui est le caractère de pres(|ue toutes les questions traitées dans le présent Ouvrage.

ClIVP. VI. — NOTION DE MOVKNNf; DANS l.K CAS DK I.A SPincnK. 4'5l

leur \ oiNina^c |)ar la (lislaiicc /f,. ( Ida o.sl vrai sihIdiiI si, sui'Laul du • lomaiiic (l<liiii par riii(''j;alilù ( \ ), on peut a\(iir des distances fp dc- \(iianl inlinics. Ain^i, la dislancc /',,, (/> vi' i ) di- deux ionrlidiis du

l\ pc

rst inlinic. laiidis (|uc Ircarl C/, <!•' ((Iles (pu ((Hicspoiidciil a d( ii\ xalciirs inlininienl Noisines de a csl inliiiinicul j»(til.

La dclinilion de la conlinnili' diuK; r()ncli()nn(dle lice a la n(»ti()n dCcart ej, csl donc plus reslricli\c (pic (rdlc Vwrh la dislauct; Z'^; mais elle no l'est pas beaucoup plus. Si. dans une spl^'i-e g"cnéralis(!'e de degré p, on considère une faniillc de lonclions jc(1) dépendant d un paramétre a, de manière que la variation de chaque point de la courbe représentative de x{t), quand a varie de oa, puisse se décomposer en une variation o.r et une variation ol très pelilesen moyenne, une fonctionnelle L, d(''rinie dans cette splière. sera en général une l'onction ( outinue de a. 11 serait même sans doute assez difficile de donner une fonctionnelle continue, avec la d(''(!nltI(Mi j'p de la distance, (|ui ne le soit pas avec la définition e^, au moins {)our vnic \aleur de r/ supérieure à p. ou en tout cas avec la définition de l'écart s,,,. Vussi les fonctionnelles continues avec la définition s^^, et une fonction gÇx) très rapidement croissante, semblent cire à peu de chose près les fonctionnelles les plus générales que l'on puisse concevoir, ayant une continuité que l'on puisse mettre en évidence sans faire intervenir les d('- rivées de.r(0-

La restriction, très peu restrictive, ainsi introduite, est cependant suffisante, si la continuité est uniforme, probablement pour permettre la représentation des fonctionnelles considérées par des séries uniformément convergentes, en tout cas la démonstration rigoureuse de l'existence de la moyenne dans une sphère, résxdtats que nous n'avons pu obtenir avec la définition habituelle de la distance. Pour les démontrer, il suffit de montrer que la définition de la continuité liée à l'écart tp entraîne la propriété .IC.

En efTet, deux fonctions x{t) ely\t)^ avant mêmes fonctions som-

matoires dans chacun des intervalles/ , -j peuvent se ramener

l'une à l'autre par un changement de v^ariables faisant dans chaque intervalle se correspondre les points où elles ont mêmes valeurs.

432 THOISIÈME PAKTIE. — MOVENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Ou a alors p << - j et par suite tp, et même l'écart obtenu en remplaçant ep par le maximum de o. sont au plus égaux à -• Si donc n est

assez grand, et si U est uniformément continue dans son domaine, on a dans ce domaine

|U|[7(0]|-LM[:r(/)]lI<E, c'est-à-dire que U possède la propriété 3C.

144. Application à la moyenne dans une sphère. — Le fait qu'une fonctionnelle soit représeatable par une série unifoiménient convergente dans un domaine permet de définir la moyenne de cette fonclionnelle comme somme de la moyenne des différents termes. Si les séries précédentes sont uniformément convergentes à l'intérieur de la

sphère 2, d'équation

x^(t)dt = R2,

ou dans presque tout le \olume de celte sphère, on peut donc appliquer les formules de Gâteaux relatives à la moyenne dans une sphère, et cela donne une nouvelle démonstration du théorème du n° 140. Nous devons donc comparer à la sphère !S les volumes dans lesquels nous avons établi la convergence uniforme dans nos séries de polynômes.

Dans la sphère S, ni2p désignant la moyenne d'ordre ip de la fonction de x{t)^ ml'l^ est presque partout égal à sa valeur moyenne

'A';,= -= / a:2/'e"^- ^ =i.3...(2/>-i)R2/', c'est-à-dire que in-ii, est pres(pie partout égal à sa moyenne

Si donc on considère une représentation par une série de polynômes normaux de classe 2p uniformément convergente dans une sphère généralisée de degré 2/> et de ray(»n au moins égal à ulo/», elle est valable, non toute la sphère S, mais presque toute cette sphère. La série considérée, qui ne saurait évidemment con\ erger dans toute celle

riIVP. VI. — NOTION HE MOYKNNK l>A\-^ I.K CAS DE LA SPIlÈUE. .'('53

>|)lu TC ( .>>i /> ^^ 1 ), com or|;c loiiL di' mriiic imilnrinénient clans presque hmle cotte sphère.

On obtient des résultais analogues pour les moyennes d'ordres impairs, ou [)onr celles d'ordre <-). Kn prenant par exemple ^'{■x) = e'*, on trouve comme moyenne <Je l'intégi-ale

(c'esL-à-dire de la ("onelion caractéristique de Poincaré)dans la sphère ï

la valeur e - . Si fjors le nombre p du n" 14-2 est au moins égal à -; — ?

la série obtenue est bien uniformément convergente dans presque toute la sphère 1\

Tant que la fonction ^(.r) croît moins rapidement fjue e'*'. A étant une constante convenable, la valeur movfunc dans la sphère ^ de

f ,::[\x(t)\]r/f, c'est-à-dire l'intégrale

a un sens pour R assez petit, et, si l'on choisit o de manière que ,^(p) soit presf|ue au moins égal à celte valeur, le volume V^ dans lequel la série (jui représente U est uniformément convergente comprend j)resque toute la sphère S à son intérieur; cela suffit pour qu'elle soit applicable au calcul de la moyenne,

c- ■ ■ loSs^(^) 1 • ■ /• • -1 • • 1 - r.

oi au contraire — 2j__ — . devient iniini, il n existera aucune sphère 1

à l'intéreur de laquelle on puisse affirmer que la série qui représente U dans \') soit presque partout uniformément conv^ergenle ; il pourra au contraire arriver que cette fonctionnelle soit infinie dans presque toute la sphère S, et cela quelque petit que soit le rayon R.

lio. Application au potentiel de double couclie. — Soit U une fonctionnelle déiinie sur une surface S et dans son voisinage, et possédant la propriété 3C. Nous supposerons la surface S fermée et convexe, et ayant une équation de la forme <I> =: o, la fonctionnelle <I> ayant elle-même la propriété JC. Nous supposerons de plus qu'on ait, sur la

siii'face s et dans son voisinage,

et que les surfaces <ï> = const. soient convexes. Nous allons nionlier que dans ces conditions le potentiel ;'>rL;^(lJ) dû à des masses de densité U réparties sur S a en chaque point A intérieur à cette surface une valeur bien déterminée, et que c'est une fonctionnelle harmonique du point A. Nous allons pour cela, utilisant les résultats du n" 140, rendre rigoureux les raisonnements du n° 116.

Désignons par P et P' deux points de la surface S, par Q et Q' leurs perspectives sur la sphère S' de centre M et de rayon i , et par P'j le point situé sur la demi-droite MP' et à une distance de M égale à MP ; dé-

signons par A le rapport ^^ = ^^, et par o{i),x{l), x'{t), ^iK^)^

y(^t),y,{t)\es fonctions représentées respectivementpar les points M. P, P', P;,QetQ'. On a

oi;{i) = o{t) + l[y{t)-^{t)],

Supposons les points Q et Q' choisis de manière que les fonctions correspondantesy(f) et y'(^) aient même fonction sommatoire dans

chacun des intervalles/ » — )» et montrons que, si 7i est assez

grand. Up — Up- est sûrement inférieur en module à n'importe quel nombre donné s. 11 en résultera bien que Up=cp(M, Q), considéré comme fonctionnelle du point Q, a la propriété 3C, et, par suite, d'après le n" 140, que le potentiel de double couche OR j, ( U), moyenne de cs(M, Q ) sur celle sphère, existe.

Or étant donnée Ihypothèse relative aux fonctions^ et y', les fonctions X et x\ ont aussi même fonction sommatoire dans chacun des

intervalles! , - ) • On a donc, si ii est assez «rand.

|Up-l"p.|i^, l'IV. 1=1*1., -*p1^^'-

Or, les surfaces $^ const. voisines de S étant convexes, et le point M étant dans une certaine région intérieure à ces surfaces, on peut trouver une limite inféi'ieure a de Fangle de MP' avec ces surfaces. La variation de <1>, pour un déplacement dl sur cette droite.

cil AI». VI. — NOTION nii: sioyicn.nk dans m-; cas hk i.a si'iii;iie. (' >

rsl (loue ;iii moins /// siii a <^//, et csl de sii;ii(' ((msliiiil , lundis qiK) ci Ile de D csl an |)liis M dl. Il en i(''miIic (iiic

si I (III a i)iis z =z - — T-, — • ( )n a alors

cf ([iii (Mitiaînc rcxislcncc de la inovcimr Mj,(L]) =y'(M).

Si, d'après le n° 1 10, on précise le nombre n pour Iccpic;! la moyenne /«(M) de '^(M, i)) dans la //''""' section de ï' dillére de y(M) de moins de s, il esl eerlain (pi'on ()cmI le liniilcr sii|ieiienremenl dans lonle rét;ion inlérieure à S, l'angle a élanl liniiU" inférieuremenl, el le poinl M n'intervenant dans les raisonnements (jue par cet angle ('). Donc/„(M) tend uniformément vers /(M), el les r<risonncmenls dn n" 1 iO sont bien rendus rigonrenx.

D'ailltMirs on p(>ut élargir les livpotlièses faites. On sait que la movenney(M) ne dé])end que des valeurs de U sur certaines [)arties (le la surface; <ni peut alors supprimer les antres, <;t le résultat obtenu s'élend ainsi aisément an eas de surfaces ouvertes. On 1 el(Mid de même sans peine au eas de surfaces non convexes.

J iO. Questions diverses. — Nous pensons a\<)ir monlié, par ce (pil précède et spécialement dans cette dernière; Partie, combien l'analyse fonctionnelle est un domaine vaste et méritant encore de nouvelles recherches. Pour terminei-, nous allons énnmérer un certain nombre de questions, posées dans ce qui précède ou qui se posent naturellement, et non complètement résolues.

i" Représentation des fonctionnelles continues . — Les théorèmes de Gâteaux, et leur généralisation exposée dans le {)résent Chapitre, semblent ouvrir le chemin à de non\ elles recherches. Il y a lieu, avant tout, de démontrer le théorème énoncé comme probable au n" Jiï2; s'il n'est pas exact sons la forme indiquée, ilsuflit certainement d une légère modification à l'énoncé.

(') Cette reinarqiie, sous une forme moins j^énérale, n'est pas autre chose que la pioposi; ion a" du n° 116.

2" Justification de la notion de moyenne. — La question semble maintenant résolue pour la sphère. Mais elle reste entière pour le cas d'un domaine quelconque.

Dans l'espace E„, S désignant une surface intérieure à la sphère -, et f^ désignant la distance à cette surface, la moyenne d'une fonctioi»nelle U sur cette surface peut se définir par la formule

,m,(U) = h»,^ orue-x<î>- '

;Ti.^ désignant la moyenne dans le volume intéi'ieur à la sphère S. On pourrait songer à employer une méthode analogue dans l'espace fonctionnel. Mais il y a une difficulté fondamentale, les valeurs de DrLj,(U) ne dépendent que des valeurs de U sur la surface de la sphère S, tandis que Mg(U) dépend efFectivement des valeurs de U à l'intérieur de cette sphère. La formule précédente n'est donc pas applicable dans l'espace fonctionnel.

On peut alors prendre les moyennes dans la /ï"'™® section de S, et faire augmenter indéfiniment en même temps n et À. Si \ ci"OÎt assez rapidement par rapport à «, on aura bien à la limite la moyenne de U dans le volume voisin de S. En écrivant Ke~''*' au lieu de e~^*', K désignant la courbure moyenne de la surface S, on aura de même la moyenne de D sur cette surface.

La fonction dont on prend la moyenne variant quand ti augmente, on ne peut pas appliquer simplement les formules relatives à la sphère. Bien que l'aspect de la difficulté soit complètement modifié, elle semble rester aussi grande.

3" Classification des surfaces au point de vue de V aspect de la notion de moyenne. — Il serait certainement intéressant de développer et préciser la classification indiquée à la fin du Chapitre IV.

4" L'ordre normal dune suite de fonctions orthogonales. — Une suite de fonctions orthogonales et normales

fl(t), fit), ..., /n(f). ... .

étant rangées dans un ordre normal, nous savons quelles sont les permutations qu'il est possible d'efTectuer sans que cet ordre cesse d'être normal. Elles sont caractérisées par cette condition que, c,,

CII.VP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS I.E CAS DK I.A Sl'llliiu;. f\ iy

r^., ..., r„, ... (li'^iiinaul imr suite f[iiclc(>n(|iic dr ikmuIhtn inl'criciMs à 1 , la ni(i\ ciiuc

ne cliiin<;(' pas par la iK-rmiilalioii considcifH'. Celle euiidilioii délinll lin groupe de subslil niions iiidé[)en(lant du choix des fonctions y,j(fj. l'ar eoaii'e, nous avons eonsidéré eoinme \ raisemblable que l<jule «•iiile eoinplèle de lonelions orthogonales admet un ordre noiinal. Tl >erait imporliinl de démontrer ce théorème.

5" L'ordre normal d' une suite de fonctions orthogonales et le volume de l'ellipsoïde. — Nous avons montré les propriétés de l'ordre normal au |)oinl de vue du calcul de la movenne arithmétique. Ainsi, cela revient au même, si une fonclionnelle est définie dans une sphère très petite, de calculer sa movenne au point de vue de Galeaux, ou la movenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités des axes, rangés dans l'ordre normal.

Nous avons admis une propriété analogue en ce qui concerne le Nolume de l'ellipsoïde ; le rayon de la sphère équivalente serait la moyenne géométrique des demi-axes rangés dans l'ordre normal.

Il serait intéressant de démontrer ce théorème, ou bien de montrer > il faut substituer à l'ordre normal un autre ordre, qui ne serait pas non [)lus parfaitement défini, le groupe de substitutions permettant d«' passer d'un ordre possible aux autres étant évidemment le même que pour l'ordre normal.

6" Les fonctionnelles harmoniques sur les surfaces. — Nous avons vu que la théorie des fonctionnelles harmoni([ues sur une surface minima était identique à la théorie des fonctionnelles harmoniques dans l'espace. De même, la théorie des fonctionnelles harmoniques sur une surface non minima est identique à la théorie des fonctionnelles harmoniques dans un espace fonctionnel non euclidien. Le développement de cette théorie, et la résolution du problème de Dirichlet correspondant, entraîneraient, comme nous l'avons vu, la résolution il II problème de Neumann dans l'espace fonctionnel euclidien.

-" Equations des types hyperboliques et paraboliques. — En introduisant, comme argument de la fonctionnelle L, en plus de la fonction x\l) ou un paramètre a. on a des tvpes d'équations parabo-

438 TKOISIÈME PAnilR. — MOVENXE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

liqiies ou li\ pi rljoliques telles que

il y.

Cette dernière équation est analogue à l'équation du son. La plupart des théories de Fanalvse classique se généralisent sans peine : caractéristiques, propagation des ondes, représentation de la solution par un potentiel sphérique.

11 y a une dilî'érence essentielle en ce qui concerne le développement des solutions en séries d'harmoniques. On peut toujours appeler liarmonique^ uik^ solution de la forme ^ \\x{t )J|cp(a), V et <p devant vérilier les équations

AV = /.V, '^"(a) = Àtp(a).

Mais le problème dcDirichlet relatif à celte équation en \ se ramène au problème analogue relatif à l'équation de Laplace, et n'introduit pas de solutions fondamentales, correspondant à certaines \ aleurs de A. 11 ne semble donc pas possible de généraliser les développements en séries d'harmoniques. Si c'est possible, toutes les valeurs de À jouant le même rôle, c'est une intégrale et non une série qu'il j a lieu de considérer.

8" Application aux équations intégrales. — On a vu que le potentiel dû à une doidile couche de densité égale à l'unité étendue sur une surface fermée S sans point double est nul à l'extérieur et égal à l'unité à l'intérieur. Si la surface S a des points doubles, la valeur du potentiel en chaque point est un entier, indiquant combien de fois la surface S entoure ce j)oint.

Considérons alors une transformation ponctuelle, faisant correspondre à un ])ointM, représentant une fonction .r(^), un point P repré sentant une io\\v\\on y[ty, par exemple y{t') pourra être un polynôme normal en x{t), dont la forme dépend de t, c'est-à-dire une somme de t<rmes de la forme

CHAI'. M. - NOTION I>K MOVKNNIC DANS l.i; CAS IHi LA Sf'IIKKi:. ^39

Su M il clici'clnr |)(inr comliicii <li' [xmiiIs M , iiih riciii'. ;i uni' mu liicc 1'. le |)()iill I' (>crii|ii' Mlle [((l'^il KHI ildiilK'c V. ( )liiiiiil M (If'ciil l;i MiiTiicr 1'. 1* (léciil une siiiiacc Icrnirc S, cl le iKiiuldc c h crclK; (••d r^iil ;'i la \ a leur <'n A (lu puliMiliil (lii à iinr (Idiiltic (niiclic (le (IciP-ili- iiiiih'" ('■lali'c mit la surface S.

(le polcnlicl >(■ laiiiriic à une nM)\riiii(', sur iiiir • plii'ic .S de centre A, d Une loiielion éi;ale eu cl)a(jue point O au iioiuljre dipoiuls P de S dont () esl la persperti\c, chacun d'eux étant compté pour 4-1 «"Il jiour — i sulsant ipie la ininiiaie iiih'i iciiic à S cii ce [>oiul lait avec la direction 1* V un ani;le aigu ou obtus. On serait doue rautené à une niovenne sur une sphère, si l'on savait dcteruiiner riulerseclioii de la deiui-droile \() a\ec la siirlaee S; mais cela constitue nn prohlcmc exaclenicul aussi (hllicih- (pie le |)idlilciiic proposi'.

Dan- l'espace ï„, on (■•chaj)pe à cette dilliciillt' par un chaugeniciit d(^ variables, ramenant 1 inténrale relative à la siirlace S' à une iiih'grah.' relali\(' à la snrl'ace S. Dans lespace fonctionnel, on ne jx-iit axoii- recours à ce proc<''d(^. I^e lapport des ('déments d'aires correspondants n'est pas une quaiililc finie, mais nue qnanlilé de la foruie /.'■'"', avec les notations du Chapitre 1\ , de sorte cpie lintc'grale considérée ne se l'amène pas à la moyenne d'une fonctionnelle bien définie sur la surface 2. Aussi, même dans le cas simple où la surface ï est une sphère, et où la moyenne d'une fonctionnelle définie >ur ï peut, en général, se calculer par les formules de GateauN, la solution théori(pie qui précède ne semble |)as aisément permettre un calcul efleclif. Pcul-èire les remarques qui précèdent serviront-elles tout de même à obtenir la solution du prol)lème. *