MIT S

Si ce |ti(il)lriii(' adincl nue sdIiiI ion. la loiimilc (i)j nous nututre «ju'cllc est unique, eL nou!^ donne le nioven de la l'ornicr.

Dans l'espace E„, on sait ([u'on ne peul ohtenir ce résultai que pai 1 introduction de la fonction de Gr<'en. Dans l'es[)ace fonctionnel, la dis|taiiliou du polentitd <le siuqde coik lie, c'esl-à-dire du tenue delà lornude ( i i ) qui contient la dérivée normale, entraîne cette consé- (jucncc que la solulnui s'ojjtieui d'une manière lieaiicoup plus élémentaire que dans l'espace E„.

Il reste à montrer rcxistence de la solution. 11 suffit à cet elFet de vc'-rifier que la formule (!■>) donne bien la solution du ])roblème. JNous devons dans ce but étudier successivement les deux termes de la formule {\-V)^ le potentiel de double couche et le potentiel de volume, et montrer (piils vérifient bien les propriétés voulues, tant au point de vue de leurs valeurs sur la surface S que des valeurs de AL. L'étude du potentiel de double couche nous permettra d'abord de conclure dans le cas des fonctionnelles harmoniques. jNous étudierons ensuite le potentiel de simple couche, puis le potentiel de volume. L'étude des potentiels de surface, dans le cas de la sphère, a déjà été faite par Gâteaux (^Bulletin de la Société mathcniafique, 1920).

1 lo. Le potentiel de double couche. — Xous savons que la moyenne d'une fonctionnelle sur une sphère est é<;ale à sa moyenne sur une section de la sphère par un plan contenant le centre. Si A tend vers un point P de la surface, on peut prendre ce plan parallèle au plan tangent en P. La surface étant toujours supposée convexe, sa section par ce plan est tout entière voisine de P, et, si la fonctionnelle L donnée sur la surface est uniformément continue, ses valeurs sur cette section tendent vers Up. Ces valeurs étant les seules à considérer pour le calcul de la moyenne OIL^(U), cette moyenne tend vers U|. .

D'autre part, la définition du potentiel s'étend sans peine au cas d'un point extérieur. L'intégrale (12) conserve en ellet un sens bien défini. Par un [)oint extérieur A on peut, la surface S étant convexe, faire passer un plan qui n'ait pas de point commun avec elle; le voisinage de l'intersection de ce plan avec une sphère de centre A consti-

tuant, pour n assez grand, presque touLe cette sphère, l'angle solide sous lequel ou voit la surface S du point A ne constitue qu'une fraction de T„ qui tend vers zéro. L'intégrale (12 ) tend donc vers zéro. Quand on traverse la surface, de l'extérieur à l'intérieur, le potentiel de double couche augmente brusquement d'une quantité égale à l.\ densité. D'ailleurs, au point P de la surface, la perspective de la surface comprend une demi-sphère, concentrée pour 71 très ^rand à sou intersection avec le plan tangent en A; il en résulte que la valeur

ilu j)olentiel de double couche en ce point est - Lp, moyenne arithmétique des valeurs prises de jiart et d'autre de la surface dans le voisinage de ce point.

Pf

IIG. 11 reste à monti^er que Ortj^(L j est une fonctionnelle harmonique du point A. Cela est évident à l'extérieur, où ce potentiel est nul. Pour le vérifier à l'intérieur, il suffit de montrer que sa valeur eu un point intérieur A est égale à la moyenne des valeurs qu'il prend sur une sphère S, de centre A, et de rayon inférieur à la distance de ce point à la surface.

Nous allons utiliser la méthode du passage du fini à l'infini. Désignons par S,t et -„ les /i"""'* sections de S et S, et. en chaque point M du plan E„ de la /i''"""' section, par/„(M) et /(M) les valeurs de é^li5,(L) calculées respectivement dans E„ et dans l'espace fonctionnel. Le théorème à démontrer est vrai dans l'espace E„, c'est-à-dire que/„(A^ est la moyenne des valeurs de y), (M) sur la sphère 2„. Il s'agit de montrer quey(A), limite dey«(A), est la moyenne dey(M) sur ï. c'est-à-dire la limite de la moyenne de /"(M) sur !„. Il suffit alors de montrer que /«(M) tend uniformément vers /"(M) sur la sphère Z.

Soit Q un point de la sphère -' de centre M et de rayon i , intersection avec cette sphère de la demi-droite MP, P étant sur S>

Posons

Up='f(M, Q).

La fonction /(M) est alors la moyenne de C5(M, Q) quand Q décrit la sphère -'.

Etant données les hypothèses faites (surface S convexe; point M intérieur et à une distance de S limitée inférieurement), on peut limiter inférieurement le rapport de l'élément d'arc décrit par Q sur une sphère -' à l'élément correspondant décrit par P sur S. Par suite.

111 UV V. — l'ONCTKt.NNKM.KS II ARMOMyiKS. îfj')

SI l' csl iiiif luiicl iuniicllc iiuildiMU'iiicMl conliiiiir sur S. les loiulionncllcs c2(iM, ()), C()ll^i(l<'l■(•('s coiimu,' rtm(li(»nncllrs de O doul la loniic dépond de. M, sonl éj^aleineiil et uiiironuriiicnl (•f)nlimic'S.

Le raisonnement in't'-cédenl s'appliquf.' bien entendu eu pr(!naiil la définilidn de la continuité d'une fonelionnelle liée à la délinillon habituelle de la di.Nlanee. Supposons que le résultat soit valaijle avee d'autres définitions de la continuité, en particulier avec celle qui |)ernîettra de démontrer les propositions admises au n" 19. D'après la deuxième de ces propositions, /"„(M) tend bien uniformément versy(M), et le résultat annoncé est bien obtenu.

Nous reviendrons au u" 1 ii) sur le point (pii re>ie a prt'ciser, dans le raisonnement précédent.

il7. Une autre méthode, pour tlémoiilrer quey'(A) est la moyenne de /{^D snr la sphère 2, et que par suite le potentiel de double couche est harmonique, consiste à le démontrer d'abord dans le cas où S et S sont deux sphères concentriques. La généralisation est immédiate par le raisonnement suivant :

La surface S étant une surface convexe quelconque, M étant fixe, la distance jMP, considérée comme fonction du point Q où MP coupe la sphère S', a la même \aleur C5(M) sur presque toute cette sphère. Au point de vue du calcul de la moyenne /(M), la surface S peut donc être remplacée par une sphère de centre G ou de rayon 'f (^I). ou encore par n'importe quelle autre sphère la coupant suivant un grand cercle, par exemple la sphère de centre A et de rayon y/p--|- c5-, p . désignant la distance MA. D'ailleurs, les valeurs données sur S importent seules, el, s'il est commode de supposer cette fonctionnelle définie en dehors de S, nous pouvons la définir arbitrairement, la continuité étant seulement respectée dans le voisinage de S.

Le point M décrivant la sphère S, de centre A et de rayon p, 'f (M ) a presque partout une même valeur a, et l'on ne change rien, au point de vue du calcul de la moyenne de /(M) sur celte sphère, en remplaçant 'f (M) par sa valeur constante a, c'est-à-dire en remplaçant y^(M ) par la moyenne, vue de M, des valeurs données sur la sphère fixe S' de centre A et de rayon y/p--t-rt^. La moyenne de /(M) est alors égale, le théorème cà démontrer étant supposé vrai pour la sphère S', à la moyenne de U sur cette sphère. Comme, par la manière même dont elle est formée, elle ne dépend que des valeurs

de U sur S, c'est que presque Loute la sphère S' est concentrée dans son intersection avec S; cela revient alors avi même de prendre la moyenne de U, vue du point A, sur S ou S'. Cette dernière étant égale à la moyenne de /(M) sur S', il en est de même de la première.

118. Pour compléter ce raisonnement, il faut en justifier le point de départ, c'est-à-dire vérifier notre théorème de la moyenne dans \e cas où S et S sont deux sphères concentriques. Dans ce cas, /(M) étant la moyenne de U sur le cercle C, la moyenne dey(M) sur S dépend linéairement des valeurs de U sur S. « Par raison de symétrie, les valeurs de U sur deux éléments d'aires égaux ont des coefficients égaux. » Il en résulte que cette moyenne est égale, à un facteur constant près, à la moyenne de U sur la sphère S; ce facteur est d'ailleurs égal à l'unité, comme on le voit en faisant U ^ i . Nous arrivons ainsi au résultat par un raisonnement intuitif. Mais, pour le rendre rigoureux, il faudrait revenir sur la partie de ce raisonnement écrite entre « ... », et chercher à la justifier par le passage du fini à l'infini. On n'échapperait pas, ainsi, à la nécessité de s'appuyer sur les propositions admises n° 19.

On ne peut y échapper qu'en assujettissant les valeurs données de U sur la sphère S, non à vérifier certaines conditions de continuité, mais à être représentable par une série uniformément convergente du type étudié n" 18, chaque terme étant une somme d'intégrales définies, La démonstration consiste alors en un calcul élémentaire, qui n'est autre que celui par lequel on vérifie que la composition de deux lois de probabilité de la forme de Gauss conduit à une loi de la même forme.

Supposons par exemple que

dt.

Si \{t) el-f](t) sont deux fonctions de module fonctionnel égal à l'unité, les fonctions p^{t) et pç(f ) + rtr,(«) sont représentées par les points M et Q du raisonnement précédent. La fonction /(M) est alors la moyenne de

CHU'. V. — FONCTIONNKI.I.ES lIAnMOMQL ICS. 3<)7

;'i I iiiItTiciir (le i;i s|)||('i('

, 1 / 'f^'-yt I (Il =^ \.

D'après le u" 1<S, clic a la valeur

J.a mojenno de/ (M), lorsque INI clccril la s[)licrc -, csl alors — I dt I I (i(z'r — ar,.t)e ^ d: dr.

. = —= dl '^(l^p^+a%t)e -^ dl,

e'esl-à-dirc la moyenne fie U sur la sphère S. La vèriliealion est tout à fait analogue dans le cas des autres intégrales considérées n*" 18 (yo<'/' Gatfai X. Bull. Soc. math.. i'<)i9)-

119. Remarques sur la solution du problème de Dirichlet et les propriétés des surfaces minima. — Les propi'iélés du potentiel de double couche nous permettent, du moins daiis le cas des volumes limités par des surfaces convexes, envisagés jusqu'ici, de conclure à l'existence et à l'unicité de la solution du problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace, comme dans le cas de l'analyse ordinaire. Nous allons voir, en examinant la nature de cette solution, qu'elle jouit de propriétés tout à fait différentes de celle qu'on rencontre dans l'analyse ordinaire.

Nous savons qu'une fonctionnelle harmonique U (nous désignerons maintenant par cette notation la fonctionnelle harmonique obtenue, aussi bien à l'intérieur que sur la surface) est caractérisée par le fait que les surfaces U =: const. sont minima. Une surface S, d'équation U =: Uo peut donc, comme nous l'avons déjà remarqué au n° 105, être définie comme surface minima, limitée au contour G défini sur la surface S par la même condition U = Uo- Le problème de déterminer une surface minima par la connaissance d'un tel contour est, dans l'analyse ordinaire, différent du problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace. En analyse fonctionnelle, ces deux problèmes

sont équivalents, la détermination des difTérentes surfaces S équivalant évidemment à celle l .

Si Ton remplace les valeurs données de U sur la surface par des valeurs de la forme

ç(U)= L-^>.(U-Uo)^ ()->o),

la même transformation sur L donne à l'intérieur la solution du nouveau problème posé. Sur la surface U = Uo, la valeur de la solution n'est pas modifiée. Il en résulte que, vue d'un point A de cette >urtace, la surface S paraît concentrée sur le contour C; si en ertet il n'en était pas ainsi, la moyenne des valeurs de X(L — Uo)- sur la surface S, vue de A, serait positive, et la valeur de la solution en A, qui est augmentée de cette moyenne par le cliangement des données, serait modifiée.

Nous obtenons ainsi une propriété des surfaces minima qui généralise une propriété déjà connue du plan. Si une surface minima S, contenant un point A. coupe suivant un contour C une surface fermée S entourant ce point, le contour C, vu du point A, paraît constituer presque toute la surface. La valeur en A d'une fonctionnelle harmonique ayant des valeurs données sur S ne dépendant donc que des valeurs données sur C; on l'obtient toujours par le calcul de la moyenne .M^(«), mais les valeurs de U sur C interviennent seules clans ce calcul.

Considérons en particulier le cas où L est une fonctionnelle linéaire, nulle en A. Désignons par ^£ le plan L =: o. Les valeurs de L sur S, ou sur C, vues du point A. sont presque partout nulles, puisque Orc^(L) = U^^ o, et que sur la sphère de centre A, sur laquelle on effectue la perspective de S, une fonctionnelle est presque partout égale à sa moyenne. En d'autres termes, le contour G, vu de A, paraît presque situé dans le plan <£. Vue d'un de ses points, une surface minima paraît presque un plan, puisqu'il en est ainsi de tout contour C situé sur cette surface et entourant ce point. Nous généralisons ainsi une propriété des surfaces minima que nous avons déjà établie localement.

11 ne faut pas que les mots « presque un plan », que nous employons pour rendre plus intuitifs les résultats obtenus, en fassent oublier le sens et fassent croire que l'analogie avec un plan est plus complète qu'elle ne l'est en réalité. Lorsque nous disons, dans ce qui précède,

(:il\l>. V. — FONCTIONNELLES HAB.MONIQl ES. Jiji)

«[lie la SIM l'ace ï, vue de A, est prescjiic confondue a\ee le plan 'J?, 'A' représente n'importe quel plan [)assant j)ar A, et non comme on pdiinail le (Croire le plan tancent à la Miilaee 1'. Pour bien voir le sens tic cet énoncé, appliipions-le au cas où la surface ^ elle-même est un plan, soit 'j?'. Linlerseclion d'une sj)lière de centre A et des plans ^ et ^i" constitue presque tonte la sphère, et par suite prestpie toute rinlersection de (P' et de la >plière; en d'autres termes, \ue de A, l'intersection de y? et <!*' constitue presque tout l'espace, et par suite presque tout le plan ^'. On peut donc dire que le plan ^' est presque confondu avec <JP, entendant par là que seuls les points de leur intersection comptent jiour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle, vue de A, mais non (pi'ils font un angle très petit. C'est dans le même sens que nous disons qu'une surface minima est presque nu plan.

l!20. I.cs remarques (pii précèdent permettent de présenter sous un aspect différent la solution du problème : Trouver une surface minima S limitée à un contour C.

Soit C,j la /j"""" section de C. Désignons par S,, la surface minima de l'espace E« limitée à C,/. On peut montrer que '^„ tend vers ï quand n augmente indéliuiinent.

Soit d'autre part S)^ la surface lieu des points A d'où le contour C^ pr.raît diviser l'espace en deux angles solides égaux; un tel point A étant pris comme point de vue, la perspective de C sur une sphère de centre A la divise en deux aires égales, et par suite, si n est assez grand, son voisinage constitue une fraction de plus en plus grande de la sphère*, la mojenne d'une fonctionnelle délinie sur la sphère ne dépend à la limite que de ses valeurs sur la perspective de C. c'est-à-dire que le contour G, vu de A, constitue |)resque la surface S. C'est donc que A est sur S. La surface S^^ tend vers ï.

Dans l'espace E,,, la détermination de S,; est un problème transcendant. Celle de ^„ est au contraire un problème élémentaire, dont la résolution dépend du calcul d'une intégrale définie d'ordre n — i .

qui i-eprésente l'angle solide; en l'égalant à- a-„, on a léquation

de Z)^ sous forme implicite. A la limite, les surfaces 'Z]^ el ^„. tendent toutes les deux vers il. Le problème transcendant se ramène au problème élémentaire.

loi) TROISIÈMli PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Iî2l. Les problèmes de Cauchy et de Dirichlet pour des variétés quelconques situées sur une surface fermée convexe. — Plaçonsnous encore, pour commencer, dans le cas dune surface S fermée et convexe. Nous avons vu que si l'on se donne les valeurs de la fonctionnelle harmonique L sur un contour C de cette surface, cela suffit, contrairement à ce qui a lieu dans l'analyse ordinaire, pour la déterminer sur la surface minima il limitée à C. Si l'on considère sur S deux contours C et C sans points communs, les surfaces minima ^ et S' limitées à C et C sont aussi sans points communs. On peut, en eflet, se donner des valeurs de U sur la surface, qui aient sur C une valeur constante u et sur C une valeur constante u' différente de n\ on a alors U = m sur S et L = u' sur S', ce qui prouve que ces surfaces sont sans points communs.

Supposons maintenant que L soit donné sur une surface ouverte S,, constituée par une des portions de S séparées par le contour C. On peut décrire cette surface par des contours C, partant du contour C et arrivant à se réduire à un point. Les surfaces minima S' limitées à ces contours décrivent alors tout le volume compris entre S et la surface S limitée à C. Dans ce volume, la foncllonnelle U est bien déterminée. Elle est. au contraire, indéterminée, aussi bien à l'extérieur de S que dans le volume V| intérieur à S et situé de l'autre côté de Z; pour la déterminer dans ce dernier \ okime. il faudrait se donner ses valeurs sur S de l'autre côté de C.

Nous Aovons ainsi que le prolongement de la fonctionnelle U, définie dans V,, est indéterminé au delà des surfaces S et S; il en résulte que les surfaces minima définies dans ce volume ont un prolongement indéterminé à l'extérieur; on peut, en effet, choisir une foiiclionnelle harmonique L , définie dans V, et ayant sur la surface considérée la valeur constante L,,; il n'v a à l'extérieur de V'j aucun point où l'on connaisse la valeur de L ; il n'y en a par suite aucun qui soit certainement situé aur la sui-face minima U = Lo. Le prolongement de cette surface est indéterminé.

Dans le cas de la surface ouverte S,, la solution du problème de Dirichlet, comme dans le cas de la surface fermée S, est représentable par le poti^ntiel d'une double couche de densité U étalée sur S, . Ce potentiel, qui représente dans \ ^ la solution cherchée, est nul en dehors de ce volume. Cela est bien évident, ce potentiel pouvant être considéré comme le potentiel d'une double couche étalée sur

CtlAP. V. — FONr.TrONNHLLES HARMONIQUKH. 4oi"

loutc la sniïacc S. mais donl la densilé serait nulle au delà de C; il représente aloi-s une fonctionnelle harmonique ayant les valeurs \oulues sur S, el \)nv suite dans V,, et évidemment nidlr aussi bien en dehors de S qin" dans le \(»liiine intiiinir à SsihK' de 1 autre côté de iJ.

On remarque la disconlinuili'; de ce potentiel. Il e^t disconlinu, non seulement à la traversée de S, comme cela a lien dans l'analyse ordinaire, mais à la traversée de la surface S, (pii n(! porte aucune masse altiianle. Cela lient à la discontinuité de l'angle solide sous lequel on voit S' ([uand on traverse S. Nous avons déjà remarqué que la portion du volume Vj voisine de S peut être décrite par une surface minima ï,, (pii se déforme en partant de S sans que deux do SCS positions aient de point commun; on peut de même définir de l'autre côté de 1' des surfaces analogues S". J>'intersection avec S de chacune des surfaces S, S' ou S", vue d'un point de la surface considérée, paraît constituer presque tout l'espace. S'il s'agit d'une surface S', cette intersection appartient à S|, et par suite, vue d'un point de 2', c'est-à-dire d'un point quelconque de V,, la surface S, paraît constituer presque tout l'espace. Vu d'un point de S, c'est son contour C qui paraît constituer presque tout l'espace. Si l'on se place de l'autre côté de S, la surface S", qui paraît constituer presque tout l'espace, ne coupe pas S), et par suite, l'angle solide sous lequel est vue cette surface ne représente plus qu'une fraction négligeable de l'angle solide total.

Le potentiel de double couche est donc discontinu^ d\ine part à la traversée de la surface attirante, 4 ai^^^'^ P<^^^'^ ^^ ^^^ traversée des surfaces minima limitées^ soit aux contours qui limitent la surface attirante, soit (ce qui revient au même) aux contours sur lesquels la densité est discontinue.

122. Considérons le cas où la portion de surface S| est très petite. La solution du problème de Dirichlet est alors seulement définie dans un très petit volume V, voisin de S,. Ce problème apparaît alors comme identique au problème de Cauchy.

Nous avons déjà remarqué que, d'après la formule (5), sur une

surface non minima S, la dérivée normale première —j- intervenant.

juais non la dérivée seconde -^-r > le problème de Cauchv se présenle comme pour les équalions dti premier ordre de l'analyse ordinaire. Daiitre part, nous venons de voir que le problème de Dirichlct s'étend au cas de surfaces ouvertes. Toute différence entre les deux problèmes a disparu.

Ce problème unique est, par la manière dont il se pose, analogue au problème de Cauchj relatif aux équations aux dérivées partielles <ki premier ordre. Mais la solution est entièrement différente, surtout par la région où elle est définie. Dans le cas d'une surface fermée S, elle est définie à 1 intérieur et indéterminée à l'extérieur; dans le problème considéré de l'analyse ordinaire, elle est définie des deux côtés de la surface, mais n'est en général pas prolongeable, en restant uniforme, dans toute la région intérieure. Dans le cas d'une surface ouverte S|, la différence est encore plus nette; nous venons de voir que la région où U est définie est limitée par S, et une surface minima S; or il n'y a aucune analogie entre ces surfaces et les caractéristKpies des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

La différence entre les deux problèmes apparaît d'ailleurs dans le calcul des dérivées normales successives. iNous avons remarqué, en effet, à propos de la formule (5), que la valeur de -i- déduite de cette formule était relative au côté de la concavité moyenne, et que, de l'autre côté, la dérivée normale pouvait avoir une valeur différente.

123. La surface S étant toujours suj)posée convexe, considérons sur celte surface une variété ^'^ définie par un nombre fini de conditions d'égalité ou d'inégalité. Les conditions d'inégalité expriment qu'un point quelconque de \') est situé sur une région S,, limitée par un contour C, simple ou multiple; les conditions d'égalité expriment qu'il est sur l'intersection d'un certain nombre de contours C,, C2, . . ., C^. il est facile de définir la région dans laquelle une fonctionnelle harmonique est déterminée si l'on se donne sa valeur en tous les points de la variété \'>. C'est la région Jl commune au volume V, et aux surfaces S,, So, ..., S^, en désignant par S, S,, ..., I^ les surfaces minima limitées respeclivemenl aux contours C, C) , . . . , C,,, et par V, le volume compris entre S, et S.

En effet, la variété \'^ où la fonctionnelle U est donnée apparie-

(:\IM>. V. — FONCTION NKIXIi.S IIAUMONIol.KS. /j()3

naillùS,. celle rniiclioiuielle iiepeiil ("H'e tl<'|(M'llilM<'e (|iie pour <le^ points (lu volume \ . où elle seiail (lélerniinée si ses valeurs élaieiil données dans loute l'aire S,. On voit de même qu'elle ne peut èlre déterminée que |)our (l<'S points ap|)artonant aussi à chacune des surfaces 1',, l'o, . . .. ï^,, et par suite à la région A.

Soit inversement A un point do cette légion. La lonctionnelle ( y a la valeur ;")llj^(U ), moyenne <le U sur la surface S, vue de A. Le point A étant dans \ ), les valeurs d<- l |)our les points de S non situés sur S| sont sans inlluence sur le calcul de la moyenne; A étant sur 1\, il en est de même des points n'appartenant pas à d ; il en est de même aussi de ceux n'appartenant pas à Co, . . ., ou C^. Les valeurs de U, données pour les points de la variété V, suffisent donc à déterminer Uv= .^^^^(Ll).

C-ela i-evient à dir-e que, vu de A, le voisinage de la variété \'^ paraît constituer- |)resqrre toute la surface S, ou que la perspective X'' de V sur une sphère de centre A constitue presque loute celte sphère. Cela revient alors au même de prendre la moyenne sur \'>' ou sur cette sphère. Par analogie avec le théorème du n" 57, ramenant la moyenne dans un volume à une moyenne sur la surface qui le limite, on peut en efï'et montrer que la moyenne sur la sphère se ramène à «ine moyenne dans \'J', calculée en donnant à des éléments de mesures égales des poids proportionnels à des nombres finis, mais non nécessairement égaux. Comme la fonctionnelle considérée a la même valeur surpi^esque toute la sphère, et par suite sur presque toute la variété \'^, le fait que ces poids ne soient pas égaux est sans influence sur la moyenne; il faudrait qire leurs rapports soient <le la forme a*^ (ou fiM-p—\ ^ ^ -^ j j pour que cela modifie la moyenne. On peut donc dire que U^, pour un point A de la région <R, est la moyenne des valeurs données sur la variété '^, vue de A. Cette moyenne est un potentiel de double couche généralisé.

11 est d'ailleurs peut-être préférable de considérer la double couche comme étalée sur S, mais de densité nulle en dehors de "C Le potentiel de double couche cjui en résulte a alors les valeurs voulues daiis M, et est nul en dehors de cette région. Cette circonstance généralise mieux ce qui se produit si \9 est une portion S, de la sui'face S, c'il étant alors le volume ^ , .

Dans le cas général, on peut définir la région A de la manière suivante : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point A

4oi XnOISlÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

soit extérieur ù Jl est qu'on puisse trouver une surface minima contenant ce point et sans point commun avec \'\

Si en efFet un point A est dans la région Si, n'importe quelle surface minima contenant ce point coupe S suivant un contour Y qui^ vu de A, constitue presque toute cette surface. Comme la variété \'^. vue de A, constitue aussi presque toute cette surface, non seulement le contour Y et la variété P ont des points communs, mais cespoints, vus de A, constituent presque toute la surface S. On ne peut donc pas faire passer par A une surface minima sans point coinmun avec X').

Supposons au contraire le point A non .situé dans la région 3i. Si, 23ar exemple, il est situé en dehors de V,, on peut faire passer par ce point une surface minima tout entière du même côté de S, et par suite sans point commun avec \'^ Il suffît, par exemple, de définir à l'intérieur de S une fonctionnelle harmonique U par la condition de prendre sur S des valeurs, constantes sur l'aire S, et sur son contour C, et croissant quand on s'éloigne de S| ; la surface U = const., qui passe par le point A, est alors une surface minima sans poinl commun avec S. Dans tous les autres cas où A n'est pas dans la région fl, on voit de même qu'on peut faire passer par ce point une surface minima sans point commun avec l'une des surfaces S|, So, •••. S/), et par suite avec "Ç. Le résultat énoncé est donc bien établi.

Dans ce qui précède, nous avons supposé p fini. L'extension de ces résultats est possible dans certains cas où p devient infini; nous reviendrons sur cette question au n° 127.

l!2i. Cas de surfaces non convexes. — Soit un point M dune surface S, où la courbure moyenne ait une valeur non nulle K; supposons l'équation de cette surface de la forme $ = o, <I> étant une fonctionnelle admettant en M des variations première et seconde au sens de M. Fréchet (avec notre définition habituelle de la distance /■).

Dans le voisinage du point M, on peut définir une sui'face minima ilo [>î^r Ifi condition que la courbure de sa section normale tangente à n'importe quelle direction du plan tangent soit égale à la courbure de la section correspondante de la surface S, diminuée de K. Cette surface est située tout entière du même côté de S.

Soit S une surface minima très voisine de Sq et située tout entière

CIIAl'. V. — FONCTIONNELLES IIAHMONIQUES. ,'io')

par rap|)()rl à rWr «lu cùlr de la concavilr nioyeiiiic (vMc pourra, j)ar exemple, être (Jrduilc de ïo |>'"" '"if iranslalion parallric à la normale en M), l^'lle roiipe S suivanL un contour fermé C, cpii enlourc coMiplt'lemenl le jxtini A où elle couper la normale en IM (dans l'exemple indiqué, (1 diirér<;ia Irrs peu de l'intersection de ïa\e(: nnc sphère de centre A). La donnc'c d'une fonctionnelle liarnionicpie, sui" S et dans le voisinage de M, suffit donc pour la déterininei' en A et sur toute la portion de S limitée à C, et par suite en n'importe quel point, voisin de M, situé du coté de la concavité moyenne.

An contraire, par un point situé du côté opposé, on peut faire passer une surface minima ne coupant pas S, du moins dans le voisinage de M, et la fonclionnelle est indéterminée en ce ]>oint.

Ces remarques vont nous permettre de oénéraliser les résultats précédents aux cas de surfaces non convexes.

125. Soit d'abord une surface fermée S sur laquelle K conserve \\n signe constant (nécessairement positif si la normale est conq:)lée positivement vers l'intérieur). On peut dire qu'elle (^sl convexe en moyenne, ou qu'en eliaque point il existe une siiilace minima tangente qui la laisse tout entière du même côté.

11 n'y a dans ce cas rien à changer aux résultats développés dans le cas des surfaces fermées convexes. Les surfaces minima limitées aux contours U = const. sont deux à deux sans point commun, et la fonctionnelle L' est bien définie sur chacune d'elles. Le potentiel de double couche, qui représente la solution à l'intérieur, est nul à l'extérieur.

126. Soit maintenant une surface fermée S sur laquelle K n'ait pas un signe constant. En un point M, où K est négatif, on peut définir une surface minima Z, tangente à S en ce point et intérieure à S dans le voisinage de ce point. Elle recoupe évidemment S suivant un contour C, entourant complètement M. La valeur de la fonctionnelle harmonique U tn M est déterminée par ses valeurs sur C, et la donnée de L en M est surabondante. Les points de S où il est inutile de se donner L comprennent alors tous les points où K est négatif, mais peuvent comprendre certains points où K est positif [par exemple, dans le cas d'une surface de révolution ayant l'axe et la niéridienne figurés ci-après {/ig'- 4)]-

4o6 TROISIÈME PARTIE. — .MOVEN.NE PANS I.E DOMAINE FONCTIONNEL.

Désignons par S, la portion de S où il est nécessaire de ><donner U, el par So le reste de la surface. Ces deux régions sonL séparées par un contour C sur lequel K == o (ou plusieurs contours analogues). Soii I la surface mini ma limitée à C (un plan, dans le

cas de la figure). Elle touche S suivant le contour C; en eflet, ce contour, étant situé sur une surface ininima, et étant fermé, ne peut avoir qu'exceptionnellement sa courbure ntoyenne nulle; les deux surfaces S et S, qui contiennent ce contour et ont leur courbure moyenne nulle, ont alors pour plan tangent le plan osculateur moyen de ce contour (d'après le théorème de Meusnier).

Si la fonctionnelle harmonique U est donnée sur la surface ou verte S,, elle est évidemment bien déterminée dans tout le volume compris cnti-e S, et S. Le potentiel de double couche, qui définit la solution dans ce volume, est nul dehors, et par suite discontinu à la traversée de Si et S.

Supposons maintenant U donné sur toute la surface S^ ses valeurs étant compatibles, c'est-à-dire que les valeurs données sur Sa sont déterminées par les autres comme il vient d'être dit, et cherchons ce que représente le potentiel de double couche de densité U sur toute la surface S. Pour simplifier, supposons K négatif sur toute la région So {fig- •'>)-^L'' volume V, compris entre S, et S et le volume Vo compris entre Sa et S sont tous les deux convexes en moyenne, et, de même qu'à l'intérieur du premier la solution est représentée par U,, potentiel de double couche étalé sur S, à l'intérieur du second elle est représentée par L o potentiel de douille couche étalée sur So. Le signe du potentiel de doujjle couche dépendant du sens positif de la normale; ce dernier terme change de signe si, au lieu de considérer la surface Sj comme limitant Vo, on la considère comme limitant le volume V intérieur à S. Le potentiel de

CIIAI». \. — fONCTlONNEI.l.KS llAHMONlyLtS. 4<>7

tl(»ul)lc couche (Ir (Inisilc ( siir huile hi surlacc S ;i donc lu \;ileui- U, — Uo. Comme diius |c ciis d uue siirluee cousexe, il reiiri-^enl c [ à riulérieur cl y.rio ii ICxlei ieiir (ausM lueii iiiiu>- \ , (|ii en dcliois de ce volume).

On reiuanjuc fju'il estcouliuu à la lra\ crsce de ï. On aiiriiil |ii( se demander si une sucface telle (jue S, « surlace minima houcliant les trous d'une surface S », ne pourrait pas être une suiface de discontinuité pour le potentiel de doulile couche, il n'eu est rien, et l'on ne trouve comme surfaces de discontinuité, cpie celles déjà signalées, c'est-à-dire les sui'faces attirantes, et les surfaces minima limitées, soit aux contours de surfaces attirantes, soit aux contouis sur lesquels la densité est discontinue.

l!27. La notion de variété minima; conclusion relative au problème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique par ses valeurs sur une variété quelconque. — Les remarques du n° 123 relatives aux variétés situées sur une surface convexe s'étendent aisément au cas de variétés qui ne sont situées sur aucune surface convexe. Elle> s'étendent aussi aux cas de variétés définies par une infinité de conditions d'égalité ou d'inégalité. Pour pouvoir énoncer les conclusions sous une forme générale, nous allons introduire la notion de variété minima. Nous dirons quiine vaiiété t est minima si toute sur/ace la contenant a sa courbure moyenne nulle en chaque point de t. Ainsi le contour, intersection de deux surfaces minima non tangentes., a sa courbure moyenne nulle, et est une variété minima. 11 en est de même de l'intersection de p surfaces minima si, pour les points de cette intersection, sauf peut-être certains points particuliers, les plans tangents à ces p surfaces ont des équations indépendantes.

4o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Pour qu'une variété n soit minima, il est nécessaire et suffisant que :

i" Elle soit assez étendue;

2° Elle ait sa courbure moyenne partout nulle.

Précisons d'abord le sens de la première condition. En un point M de a-, choisissons un système complet d'axes orthogonaux qui soient tous tangents ou normaux à n. 11 faut qu'ils soient presque tous tangents, au sens du Chapitre III, c'est-à-dire que, si on les range dans un ordre normal, la fréquence de ceux qui sont normaux à t tende vers zéro. Cette condition sera sûrement remplie si la variété t est définie par un nombre fini de conditions.

La moyenne d'une fonctionnelle du second degré, sur une sphère de centre M, est la moyenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités des axes considérés. La condition précédente expiime donc qu'il suffit de considérer ceux tangents à S, et que par suite la moyenne dans la sphère considérée de l'espace fonctionnel est égale à sa moyenne dans sa section par le plan tangent à rr. Cette section constitue presque toute la sphère. En particulier, la courbure moyenne d'une surface S contenant rj est la moyenne des courbures de ses sections normales tangentes à la variété t.

Supposons alors la courbure moyenne de t nulle au point M. Pour presque toutes les directions tangentes à 7, on peut tracer sur 7 une ligne tangente à la direction considérée et dont la courbure soit nulle. D'après le théorème de Meusnier, la section normale de S tangente à cette direction a a fortiori sa courbure nulle, et pai' suite celte surface a sa courbure moyenne nulle.

Si d'ailleurs l'une des conditions précédentes n'était pas réalisée, on pourrait aisément définir une surface contenant a- et dont la courbure moyenne ne soit pas nulle. Ces deux conditions sont donc bien nécessaires et suffisantes poiii' que la variété a- soit minima.

La deuxième condition équivaut à dire que la variété a- peut être définie comme intersection de surfaces minima dont les plans tangents soient indépendants, c'est-à-dire qu'aucune de ces surfaces n'est tangente (sauf peut-être en des points particuliers) à l'intersection des autres.

Si l'on considère, sur une variété o-, une variété définie par une condition d'égalité, sa courbure movenne est évidemment é2,ale à sa

rHAP. V. — FO.NCTIONNEM.KS IlARMOMyl KS. ioç)

«•oLirhuie ucotloiciiic rnovcimc. Si clic ot nulle, c'ol-à-din; si celle \ariélé est une géodésique do 7, c'est une variele niiniiua à un(i dimension de moins que t. Elle peut être délinie comme intersection de 1 et d'une suiface minima non tangente à t. Réci|>io(|nemont, nue telle intersection est une géodc'sique de g-.

On peut, au >ujel de ces variétés, se proposer de delermiuer nue \ariété minima 1 limiu'-e à une varic'-lé non minima \'\ f.a xdulion est la suixante : t e>l le lit-u do points V tels (|ue la peispeclive dc^;^ vue de A. sur une splièic de centre \ (ou du moins le \niMnage de celle j)erspeclive), constitue pres(|ue toute celle sphère.

Si la variété V> n'est pas assez étendue, la varif-h- 7 ne comprend aucun point.

On peut alors énoncer de la manière suivante le> r<'Mdlats relatifs au problème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique ï ]>ar la donnée de ses \aleuis sur une variété v'^ :

1" La réi^ion où l est délermiiK- e>l la xaiielé minima r: limili'-e à V^

2" Le contour de t eonq)reud de> porlii)Us de \' ; il peut comprendre en outre des géodésiques i\e t. qui sont elles-mêmes des variétés minima sur le contour dcscpiels on peut faire des remarques analogues.

Si \'^ comprend, soit des portions de telles géodésiques. soit des points n'appartenanl pas au contour de o-, la donnée de L pour ces points est surabondante.

3" Soit X,>' une variété délinie sur <,> par la condition V =-.u] la variété minima limitée à <,>' constitue dans a- le lieu des points pour lescpiels L = M.

On peut rendre ces résultats intuitifs en concevant qu'une variété minima puisse être matérialisée par une nappe d'un liquide visqueux, comme une surface minima de l'espace ordinaire. La portion d une telle variété que Ion doit concevoir comme pouvant être ainsi matérialisée doit être limitée par un contour convexe, c'esl-à-dire qu en aucun point sa courbure géodésique moyenne n'est dirigée vers l'extérieur. Concevons de plus qu'une telle nappe puisse exister si elle est maintenue sur les parties de son contour non constituées par des géodésiques. La région a- considérée ci-dessus est alors constituée parla nappe pouvant être maintenue parla variété V'.

Si <> est une surface, n est unc^ portion de volume. Si. pour faciliter

i:o TROISIEME PARTIE. — MOVEXNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

la représentation des nappes considérées, par analogie avec l'espace ordinaire, on admet qu'elles peuvent au plus constituer des surfaces, il faut alors concevoir le volume où L est défini comme limité par la surface V) et par des nappes de liquide visqueux bouchant les trous de cette surface.

128. Cas des variétés minima. — Les variétés minima jouent dans ce qui précède un rôle particulier. Une fonctionnelle harmonique est harmonique sur une telle variété, c'est-à-dire que AU = A5L, A^U étant défini comme AsU dans le cas d'une surface. U est alors défini sur T si 1 on se donne ses valeurs sur le contour de cette variété, comme cela a lieu dans le cas des surfaces minima.

Pour faciliter le langage, plaçons-nous dans le cas dune surface mininia finie ^.

Etudions d'abord le potentiel de double couche de densité U étalée sur 2i;. 11 est nul dans tout l'espace. Des deux côtés de S, cela résulte évidemment de la possibilité de faire passer par chaque point de cette région une surface minima ne contenant pas S. (Si la surface Z était illimitée, si par exemple elle était constituée par un plan indéfini, elle serait vue d'un des points considérés sous un angle égal à la moitié de l'angle solide total; le potentiel de double couche serait alors égal à la moitié de la moyenne des valeurs de U à l'infini.)

Pour un point A de ^, on peut montrer que, sur un contour C entourant ce point, vu de A, l'angle du plan tangent à S avec le rayon venant de M est presque partout nul. La surface 5 est alors vue tellement en raccourci que sa perspective sur une sphère de centre A est presque partout sans épaisseur. Bien que le voisinage de cette perspective constitue presque toute cette sphère, la surface II est donc vue de A sous un angle solide nul, et le potentiel de double couche est nul (' ).

129. Lne autre question se pose, au point de vue delà détermination (le L dans le voisinage de S, d'un côté déterminé de cette

(') II n'en esl pas de même du potentiel de simple couclie. Le potentiel de simple couche sur une variété minima, en particulier sur un plan à w — i dimensions, est dans cette variété analogue à ce qu'est dans l'espace le potentiel de volume, que nous étudierons plus loin; il vérifie l'équation de. Poisson, A étant seulement remplace pnr A.. Kn dehors de cette variété, il esl nul.

CIIAIV \. — lOXrTIONNELI.ES llAnMONIQl FS. ^\ l

siiirarc. La valeur iiiilialc ilf l i-^l liai iiH)iiii[iir mit 1", r eNl-à-tliif (iiic Avll=:o. ()il('ll<'s M»iil les (1)11(1 il loir, i m |)(is{'tn aii\ dciivées nonualcs succcsNiscs ?

Parlons (le rcxiiicssKui (iiii doimcj la vaiialiou de la \al(iii' de — p—

i'(daliv(' à une dircclKHi itriiuipalc, ([iiaiid (Hi i'cm|da((' - par une .siirlacc j):iiMll(''lf inliiiiincMl voisin»^. ()n a

as- (Is- ils- (Is as- as-

oii, en pi'enanl la niovenne [loiir loiilcs les direelions principales, rangées dans un onlic luuinal.

/ fP U

et, d'ftprès la formule (5),

( 1 3 ) 0 Al = Av- 0 L -I- xin D\l ( /- — — - — K — r— on — o K -r- •

\ ds- ) dn- (In

Deux cas sont alors à dislin^uer pour les Mirtaees minima.

Premier cas. — Surfaces mininia pour lesquelles presque tous les rayons de courbure deviennent infinis; oK est alors nul {voir n" 87 ), el la forninle (i5) s'écrit

(iG) SAU=Av;oL.

de sorte que la condition à imposer à -t-j poui- que AL reste nul, est

que cette dérivée soit harmonicpie sur Z. DenK-nie toutes les dérivées normales successives sont harmoniques sur -.

Deuxième cas. — Surfaces miniina pi)ur les(|uelles presque tous les rayons de courlinre ne deviennent pas infinis.

Il existe d'autres termes dans la formule à écrire, qui prend la

forme

, dV d{]

Av-7 -a- b = o,

- dn dn

a et b étant des fonctionnelles déterminées snr S. Daprès le n" 10!2. on peut raisonner sur les équations de ce type comme si A ou Av étaient des dérivées ordinaires. Cette équation s'intègre alors comme

4l2 TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FOXCTIONNI.L.

une éqiialion difTérentielle ordinaire du premier ordre ( ' '). La solulion est de la forme

'JiU -h '^,

a et ,3 étant des fonelionnelles déterminées, et u une fonctionnelle harmonique sur 2.

Les mêmes circonstances se reproduisent puni' le calcul d(^s dérivéo norniîiles successives.

130. Revenons sur le premier cas, et supposons que la valeur de U sur la surface S soit constante. Cherchons quelle est la condition pour qu'une surface 2' voisine de S. la dislance de S' à 2 ayant en chaque point une valeur ô«, soit minima. Il est à cet effet nécessaire et suflisant qu'une fonctionnelle, égale sur 2 à une constante u et sur 2' à une constante u -f- ùu, soit liarmonique sur 2', c'est-à-dire d'après le

numéro précédent, que ^ soit harmonique sur 2. Or, d'après le

n" 100, ^r- et — sont harmoniques en même temps. La condition on ou 1 1

nécessaire et suffisante pour que 2' soit minima est que o/i soit harmonique sur 2.

Ce résultat s'étend au cas où la surface 2' n'est pas infiniment voisine de 2. Si, en chaque point M de 2, on porte sur la normale une longueur ^IM'=y(M). la condition nécessaire et suffisante pour que la surface lieu du point M' soit minima, est que /(M) soit harmonique sur 2. Cet énoncé, comme celui relatif au cas où la surface 2' est très voisine de 2, ne s'applique bien entendu que si 2 appartient à la première des catégories de surfaces minima distinguées au n° 87 et au n° 129.

Il s'applique en particulier si i est un plan. Désignons par a,, «27 •••, ««, ... un sjstème de coordonnées rectangulaires, rangées dans un ordre normal; prenons pour 2 le plan rt,^o. jNous vojons que la condition nécessaire et suffisante pour que la surface

'^l = /'>'2, «3, • ••, On, ■ ■ •)

(') L'opération de quadrature est seulement remplacée par la résolution de l'équation Av;U = <i>, qui s'exprime par un potentiel de simple couche (d'après la note précédente ). On généralise de même aisément la tliéorie des équations ou systèmes d'équations linéaires d'ordres quelconques.

ClIAP. V. — FONCTIONNELLES 11 AHMONIQUES. /i 1 3

soil minima est que lit louctiony soit harmonique. C'est un résullat déjà connu; cela revient eu elï'et au même de dire quey est uiui fonetion harmonique de «07 • • •? ^h? • • -i <>» que /' - a, est une fonction harmonique de tt,, (f.,, . . ., a„, ... ; eehi (h)nc revient aussi au même (]ue de dire que les surf'acesy' — ■ a, = eonst. (déduites de l'une d'elles par une Iranslalion), sont minima.

131. Le potentiel de simple couche. — Pour monirer les analogies et les dillerences entre le potentiel de simple eouehe et le potentiel de double couche, il nous suffira de nous placer dans le cas d'une surface S fermée et convexe, ou du m(»ins à courhure moyenne toujours dirigée vers l'intérieur.

Soit, dans l'espace E^, un potentiel de sinq)le couche, de densité u..

Si on le multiplie par le facteur — introduit à propos du

potentiel de double couche, nous avons vu au n" Hl que le produit tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. Si au contraire on le

multiplie seulement par — > il prend, d'après le n" 111, la valeur

(17) U.v^orcAf;^-^.

\ cosU

qui a un sens bien déterminé, et reste finie, pour n infini; c'est cette valeur que nous appellerons « potentiel de simple couche de

densité u. ». C'est un potentiel de double couche de densité u. -'

' ^ ' ciisO

En chaque point A, cette remarque en définit bien la valeur, mais comme cette densité est fonction de A, il est nécessaire de préciser les propriétés qui résultent de cette définition.

En premier lieu le potentiel de simple couche est évidemment nul, comme le potentiel de double couche, à l'extérieur de S.

Considérons maintenant un point A, situé sur la normale en un point M de la surface, du côté intérieur, à une distance très petite h. Par ce point, faisons passer une surface minima S, normale à AM, et telle que la courbure normale relative à chaque direction ait la valeur k — K, k étant la courbure normale de la surface S en M relative à la même direction, et K la courbure moyenne de la surface S en M (cette surface S a déjà été considérée n" 12o). Vue du point A, la surface S paraît concentrée dans le voisinage de son inter-

4l4 TROISIEME PARTIE. — JiOVEXNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

section C avec S. Or sur le contour C, vu de A. a presque par-

tout une même valeur, qui tend vers R= — quand li tend vers zéro; <x a de même presque partout une même \aleur (jui tend vers jj.,,. Donc le potentiel de simple couche prend en A une valeur qui tend vers RuLp quand h tend vers zéro. Il se comporte, au point de vue des valeurs à l'extérieur et des valeurs sur la surface, comme un potentiel de double couche de densité uR, R étant le rayon de courbure moyenne.

Ce résultat nous met sur la \oie du théorème suivant, déjà établi par Gâteaux dans le cas de la sphère : Le potentiel de simple couche de densité <x est égal au potentiel de double couche de densité [jlR.

Pour le démontrer, on peut employer deux procédés :

1° 11 suffit, étant donnés les résultats déjà obtenus, de démontrer que le potentiel de simple couche est harmonique. On peut le démontrer en reproduisant les raisonnements des n°* 116 et 117, qui s'étendent sans difficulté au potentiel de simple couche, pourvu que 1 on suppose R uniformément continu.

2° On peut le vérifier directement.

La distance r d'un point quelconque M de la surface S au point intérieur A, la surface étant vue de ce dernier point, a presque partout une même valeur o. L'intersection C de S et de la sphère de centre A et de rayon p, constituant presque toute cette sphère, a sa courbure géodésique moyenne presque partout nulle, c'est-à-dire qu'en presque tous les points le plan osculateur moyen de C est normal à la sphère. Pour les points où il en est ainsi, on a, d'après le tliéorème de Meusnier.

' cos 0 ' ces 0 ' ' et, comme ces points, vu de A, constituent presque toute la suilace

(1 8) Ua = -TcA i:^-^)! = ORa<' u R),

\ cos'J/

ce qui démontre le résultat énoncé ( ' ).

(') Si le point A est variable, la seconde expression est évidemment préférable à !a première. S'il est fixe, il peut être indiqué d'employer la première qui no fait pas intervenir le rayon de courbure moyenne de la surface, mais seulement le plan tanscnt.

CIIAP. V. — lONCTIONNEI.I.KS IIAIlMO.MQLES. 4|j

lli!2. Le potentiel de volume. - ( ".oasidérons, diins IV'spuco E,,. \c |)(>t('nlirl l „ (lii à dos lua.sSfs cl(; (Jciisiu'- -^ réparlics dans un vnliimc \ „. L.C voliiinc \ „ peut êlrr considéré connue dc< ril par des smlacrs S„ <l«''|)cndaMl d lin paraiiiclrc ). (pil varie de a à 'j. Dilinissons la délointalion de la surlace S„, <piand /. aiij^nienle de (//,. jtar la donnc'-e du déplacement normal de cIkkjiic |K»int, o// =^ -^ r/).. Désignons j>ar //„

le potentiel dû à une sminle coiielie de dmsilé -^ é-lahlie sur la

surface S„. On a

( Kl 1 r

n= I Un 'I'-

Supposons (pie // aMi;in.nle iiidetinimeut. \ „ cl S,^ désignant les n'^"^"^ sections d'un volume \ et d'une surface S de l'espace fonctionnel. Pour que la formule (19) reste vraie à la limite, il suflil que u,i tende uniformément \ers sa limite u. Le potentiel u se ramenant par la formule (17) à un potentiel de double couche, celte con- \crgence uniforme s'établit par le même raisonnement qu'au n" H6, moyennant certaines hypothèses assez peu restrictives sur la continuité de ;jL et le choix des surfaces S : il faut ciue -j. et '-r- soient con-

linus au sens du n" 116; il faut é\iter que presque tout le volume \ . ^ u de A, paraisse concentré sur une seule surface S, comme ce serait le cas si l'une de ces surfaces était une surface minima contenant A. On évite sûrement toute difficulté en prenant pour surfaces S des s|)hères de centre A. ou bien des sphères a^aut pour centre un point dillerent B, si la sphère de centre B passant par Ane contient aucune masse attirante.

Le potentiel U de densité a dans le volume \ étant par définition la limite de L« pour /) infini, nous avons alors la formule

Supposons en particulier qu'on prenne pour surfaces S des sphères de centre A. Désignons par R le maximum de la distance à A d'un point du volume \, et par ;)H,.(a) la moyenne de la densité sur la sphère de ravon /•; il vient

4l6 TROISIÈME PARTIIi. — MOVENXE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

On peut interverlir Tordre des deux intégrations, c'est-à-dire écrire

l'intégrale étant prise le long de chaque demi-droite parlant de A, et 3rc(-) désignant la moyenne des valeurs obtenues. Cette formule s'établit sans difficulté en écrivant la formule analogue dans l'espace E«, et passant à la limite. Dans celte formule, on peut remplacer les limites d'intégration par /•' et /•", dislances à A des points où chaque demi-droite partant de A entre ou sort dans le volume \ . ce qui donne

(23) U = OÏL ( / \xrilr

si A est dans le volume \ . et Ion retrou\e Texpi-ession utilisée formule (i3).

Enfin, une fonctionnelle définie sur une sphère étant presque partout égale à sa moyenne, on peut remplacer r' et ; " par leurs moyennes p' et p", et écrire

( 24 ) U = niL l f [x r r/r ] = f ^^l'L r(lJ-) '• <Ir.

133. De ces formules, de la dernière par exemple, résultent immédiatement les propriétés suivantes :

1° Le potentiel L est nul en tout point par lequel oti peut faire passer une surface minima ne coupant pas le volume \ .

En effet, chacun des potentiels de surfaces dont il est la somme est nul dans ces conditions.

La région où U est nul est alors la même que s'il s'agissait d'un potentiel dû à des masses réparties sur la surface qui limite le volume V. Celle où U n'est pas nul comprend le volume ^ ; de plus, si ce volume est limité par une surface composée de plusieurs nappes (nappe extérieure S, nappes intérieures S', S". ...), ou si la nappe extérieure comprend des régions S,, So, ..., où la courbure moyenne est dirigée vers l'extérieur, la région où U n'est pas nul comprend les volumes intérieurs aux surfaces S', S". . . . , et ceux

CHAI'. V. — l'ONCTIONMiLI.ES 11 A U.MOMOI KS. 417

compris ealrc les |)()ili(jiis de .siiilaccs S, ri les siirracfs niiiiiin.i ï, liinll(';es à leur coiilotir.

2" Dans toutes les régions où il n' y a pus de ni fisses al tirantes^ le potentiel est harnionifjiie .

I*(jiir le démoiilrcr. il siiKil de nu)nlicr (iiic sa Nalciir an ccntK; d'uiic sphère est ('-^alc à la moyenne de ses valeurs sur la surfaee de la s|)hère, s'il \\y a pas d(; niasses à son inl<''rieui'. Celte ])ropriété ri'sultc aisément de ee fju'elle est vraie pour chacun des potentiels de surfaces dont l csl la >onime.

13i. Eludions mainicnant le potentiel au point de vue de la continuité.

Remarquons d'ahord qu'au centre d'une sphère de rayon p le potentiel dû à des masses de densité inférieure en valeur absolue à un nombre donnt' 'j. réparties à l'intérieur de celle sphère, est inférieur

a |J. — • Il iJnd vers o avec p. De cette circonstance résulte la continuité du polenliel à rintéiieiir des masses attirantes; le raisonnement est exactement le même que dans la théorie ordinaire du potentiel; il repose sur la convergence uniforme de l'intégrale qui définit le potentiel.

Il j a toutefois une différence, provenant de ce que nous n'avons pas démontré que le potentiel est continu en tout point n'appartenant pas au volume Y . Ce résultat n'est pas exact. On peut alors seulement énoncer le résultat suivant : Si le potentiel est discontinu en un point A, celte discontinuité n^a pas une cause locale; elle subsiste certainement si Von supprime les masses situées dans une sphère de centre A et de rayon suffisamment petit.

Ce résultat s'applique en particulier si le point A est situé sur une surface où la densité est discontinue, par exemple sur la surfaee S qui limite le volume ^ . Mais en ces points la dérivée normale est discontinue. Pour nous en rendre compte, considérons un point A. où le rayon de courbure moyenne de S ait une valeur .^il, et soit dirigé vers l'intérieur. Prenons sur la normale en A à la surface S, du côté intérieur, un point B situé à une distance h du point A. Ln plan normal à AB passant par B coupe la surface S à une distance équivalente dans presque toutes les directions à \^iAh. Le potentiel en B est

4l8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

alors équivalenL à un polentiel de densité u^ dans nne sphère de centre B et de rayon y/aAA, c'est-à-dire à ^.^lA/i. La dérivée normale, comptée positi\ cnient vers rintérieui", augmente donc brusquement, quand on passe de l'extérieur à l'intérieur, de o à [i-x^^- (Dans ICspace ordinaire, on sait que la dérivée du potentiel de volume est continue dans ces conditions.)

Considérons maintenant un point A de la surface S, dans le ^oisinage de laquelle cette surface soit minima. Soit C le contour de la portion S de cette surface qui est minima. Dans presque toutes les directions, la distance des points de C au point A a une même valeur 0. Supposons pour fixer les idées qu'au delà de i] la courbure moyenne de S soit dirigée vers l'intérieur, de sorte que la surface S peut être prolongée de manière à ne pas couper le volume \ . En un jxnnt voisin de A extérieur à \ , le potentiel est nul, tandis qu'en un point intérieur voisin de A il a la valeur

JOH,.(lJi)/w//-.

Il est donc discontinu. Il est de même discontinu toutes les fois que la densité est discontinue sur une surface mininia.

Ceci n'est pas en contradiction avec le fait que la discontinuU('' ne peut pas avoir une cause locale. On peut modifier la densité à l'intérieur d'une sphère de centre A et de rayon p'-< p, de manière à la rendre continue. La discontinuité subsistera, mais n'aura plus que la valeur

J DÏLrilJ-)'' ftr.

Vinsi les régions voisines de A contribuent à la discontinuité pour une fraction infinitésimale, et LI ne peut augmenter brusquement d'une quantité fini^ que si la surface minima sur laquelle la densité est discontinue s'étend à une distance finie du point A.

On remarque que celte discontinuité peut exister en un point où la densité soit continue. La seule cause de discontinuité possible est r€x:lstence d'une surface minima S à la traversée de la({uelle u. augmente brusquement d'une quantité [j., . Le potentiel H augmente alors à la traversée de S d'une quantité égale au potentiel dû à uiu^ simple couche de densité ul, étalée sur i\ Si le contour de S est composé de

<:n\p. V. — foN(:ti()NNKlij:s iiAiiMONiyt'KS. /Jk)

plusieurs {j;irLu;>, (»u s il n'a pas sa «onrhurc ^(]i}(\{',s'uuic moyenuo liiujours dirigée ^■c^.s i], il c.visle ries |)(>iiiis napparloiianl pas à Soù 1<^ polcnliel de surface considéré iiCsi |»as nul. I>c polenliir-l <'|c Ndlunio rsl alors (lis(M)nlinu en ces poinis.

i'riti. (léni-ralisons uiainlcuMUl la loiinnlr de l'(->issnn. lelalisr ;i l.i valeur de Al en un poinl A. PSous utiliserons [)Our y arriver le résullal du n" '2:2, d'après le(juel la uioyenne de l — Uy sur nne

sphère de eenlrt; V <'l de ra\ou tics petit /• est e(pii\alenle à '^ AU^.

pour calculer cette moyenne, divisons le potentiel en deux ternies Ll' et V", le priMuicr correspondant au\ masses extérieures à la |)etit(; sphère, le deuxième aux masses intérieures. Le terme U' étant harmonique à l'intérieur de la sphère de rayon y, la moyenne de 1 — L'a est nulle; il n'y a qu'à tenir compte de U" — U'^. Or, sur la sphère, U"=o, ce potenti<d étant continu, et nul à l'extérieur; l \ est d'autre pari ('quixalcnt à u^ — • 11 vient donc

(2J ) AU\-4- ;jiA — o,

formule qui constitue bien la i;énéralisatlon de celle de Poisson.

De ces propriétés résulte que le potentiel de volume joue liien, pour la résolution de l'équation de Laplace à second membre, le rèjle que nous attendions. Dans un volume limité par une surface dont la courbure moyenne est toujours différente de zéro et dirigée \ers l'intérieur, il est nul sur la surface, et le problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace à second membre est bien résolu par la formule (i3). Dans le cas contraire, nous savons que la solution du problème relatif à l'équation sans second membre n'est pas possible en général, et il en est a jOrliori de même de l'équation à second membre.

130. Le problème de Neumann. — Dans l'espace E^, on sait c|ue la solution du proldème de Neumann est analogue à celle du problème de Dirichlet, le r(Me que joue le potentiel de double couche dans ce dernier problème étant seulement joué par le potentiel de simple couche. On pourrait s'attendre à ce qu'il en soit de même dans l'espace fonctionnel; il n'en est rien, et la symétrie entre les deux problèmes disparaît. Dans la formule de Green, le potentiel de sim])le couche

devient négligeable devant le potentiel de double couclie, et l'étude directe du potentiel de simple couche nous a montré qu'il n'était pas en réalité distinct du potentiel de doidjle couche.

Dans ces conditions, on peut se demander si le problème de Neumann, comme celui de Dirichlet, peut se résoudre d'une manière plus élémentaire que l'on ne s'j attendrait d'après ce qui a lieu dans l'analjse ordinaire. La réponse semble être affirmative.

Il est probable en effet que les théories relatives à léquation de Laplace à second membre dans l'espace fonctionnel s'étendent à léquation analogue relative à une surface non minima de cet espace ('), soit

(•26) AsUm=/|[M]|,

M désignant un point quelconque de la surface S. S'il en est ainsi on peut ramener à des calculs de moyenne la détermination de la solution de cette équation prenant une valeur constante sur le contour C de la surface S considérée, si celle-ci est ouverte; le cas de la surface fermée S se traite comme cas limite; il est évidemment nécessaire |)our qu'il existe une solution que la fonction/ (M) soit j)resque partout nulle, et dans ce cas \] n'est déterminé qu'à une constante près. Pour la détermination d'une fonctionnelle harmonique à l'intérieur d'une surface fermée S, cela revient au même^ d'après la formule (5),

de se donner sur la surface les valeurs de -p- ou celle de A^U. 11 faut

an

que -r^ soit nul presque partout. D après les remarques qui précèdent

sur l'équation (26), U est déterminé à une constante près sur la surface, et par suite à l'intérieur.

(') Dans le cas des surfaces minima, nous savons que le prol)Icme n'esl p;is distinct du problème analogue dans l'espace.