S V. APPLICATIONS

Problème L Un mètre d'étoffe coûte 19 francs : quel sera le prix de 42 mètres de cette étoffe* ?

Il est évident que 42 mètres coûteront 42 fois plus qu'un mètre, et qu'ainsi le prix de ces 42 mètres sera 42 fois 19 fr., c'est-à-dire 19' X 42 = 798'.

II. 20 ouvriers ont mis 30 jours pour faire un certain ouvrage; combien faudrait-il d'ouvriers pour faire le même ouvrage en 1 jour ?

Pour faire l'ouvrage en un jour, il faut évidemment 30 fois plus d'ouvriers que pour le faire en 30 jours, et par conséquent 30 fois 20 ouvriers, c'est-à-dire 20°"^ X 30 = 600°"\

III. Un ouvrage a été fait en Ib jours par 16 ouvriers qui travaillaient 10 heures par jour : combien un seul ouvrier aurait-il mis d'heures?

Travailler pendant 15 jours et 10 heures par jour, c'esî travailler pendant 15 fois 10 heures, c'est-à-dire pendant 10^X15=150^. Or, si 16 ouvriers ont mis 150 heures pour faire un certain ouvrage, il est clair qu'un seul emploiera 16 fois 150 heures, ou 1 50»» X 16 = 2400*».

* Pour indiquer un nombre d'unités concrètes, nous écrirons au-dessus de ce nombre, et un peu à droite, la lettre initiale du nom de cette unité; ains 19' représentera 19 francs*

IV. On sait que le jour se compose de 24 heures, l'heure de 60 minutes, et la minute de 60 secondes : on propose de trawxt combien il y a de secondes dans Tannèb tropique (on appelle aioa rintervalle de temps qui s'écoule entre deux passages consécotirs du soleil par Téquinoxe du printemps), qui est à fortpn fyrh de ZQb jours 5 heures 48 minutes b\ secondes*.

On verra facilement que 365 jours 5 heures valent 8765^, que 365 jours 5 heures 48 minutes valent 525948', et qu'enfii l'année contient 31 556 931".

Y. 42 mètres Sétoffe ont coûté 798' : quA est le prix A mètre ?

Il est clair qu'un mètre coûtera la quarante-deuxième partie du prix de 42 mètres, c'est-à-dire une somme qui , multipliée par 42, reproduira 798'. Ainsi le prix du mètre est le quotiait de la division de 798' par 42, ou 19'.

VI. On a employé une troupe de 600 ouvriers pour faire un cet' tain ouvrage en 1 jour : combien faudrait-il d^ouvriers pour Fexécuter en 30 jours?

Pour faire l'ouvrage en 30 jours, il faut 30 fois moins d'ouvriers que pour le faire en 1 jour; il faudra donc la trentième partie de 600 ouvriers, c'est-à-dire ^""^= 20»"'.

VIT. 42 mètres d'étoffe ont coûté 798' : qu^l sera le prix A 25 mètres de cette étoffe?

Cherchez le prix du mètre, et vous retomberez sur le problème I.

Réponse : 475 francs.

VIII. 20 ouvriers ont fait un certain ouvrage en 30 Jours : eomr bien aurait-il fallu â^ ouvriers pour VexécvUr en 12 jours?

Cherchez combien il faudrait d'ouvriers p» jur fah'e l'ouvrage en 1 jour, et vous serez ramené au problème VI.

Réponse : 50 ouvriers.

* Pour indiquer un certain nombre de minutes ou de secondes^ on est convenu d'écrire au-dessus de ce nombre, et un peu à droite^ un ou deux ac^ cents: ainsi 48' ô^ signifiera 48 minutes 51 secondes.

IX. 45 mètres d'étoffe ont coûté 15' : combien aurait-on de mètres de cette étoffe pour 25'?

r Cherchez combien on aurait de mètres pour 1'.

é X. 25 ouvriers ont fait un certain ouvrage en 9 jours : combien m 15 ouvriers auraient-ils mis de jours à le faire? I Cherchez combien un ouvrier mettrait de jours.

XI. 14 ouvriers ont fait 1008 mètres d'un certain ouvrage: ^' combien 11 ouvriers en feraient-ils?

■ Cherchez combien un ouvrier ferait de mètres.

XII. Un ouvrier a fait 58 mètres d'ouvrage en 348 jours : combien aurait-il mis de jours pour en faire 160?

Cherchez en combien de jours cet ouvrier ferait 1 mètre.

XIII. Une troupe (ï ouvriers a fait 180 niètres d'un ouvrage dont la difficulté était représentée par 1 5 : combien auraient-ils fait, dans le même temps, de mètres d*un ouvrage dont la difficulté serait représentée par 36 ?

Réponse : 75 mètres.

XIV. Un ouvrier, dont Cactivitè est représentée par 28, a mis kb jours pour faire un certain ouvrage : combien de jours mettrait un ouvrier dont Factivité serait représentée par 35 ?

Réponse : 36 jours.

XY. Une garnison composée de 1800 hommes n^ avait plus que pour 14 jours de vivres, quand elle fait une sortie dans laqu^iUe elle perd 400 hommes : combien pourrortelle tenir de jours en supposant qu'elle ne fassepas de nouvelles pertes?

Réponse : 18 jours.

XYI. Un salon a 72 décimètres de long sur 57 de large; on voudrait le parqueter en employant des planches de 2 décimètres de largeur sur IS de longueur : combien faudra-t-il de ces planches?

Réponse : 114.

XVII. Deux courriers partent en même temps de Dijofi cl do Paris, pour aller à la rencontre Vun de Vautre ; le premi&r faii

20 kilomètres par heure, le second 12; la distance des poinUil départ est de 320 kilomètres : comMen leur faudrait-il d* Aeure| pour se rencontrer?

Paris et Dijon étant éloignés de 320 kilomètres, les deul courriers doivent par conséquent se rapprocher de cette dk- (ance ; mais, puisqu'ils marchent à la rencontre run de l'autre, et qu'ils parcourent respectivement 20 kilomètres et 12 Idlomètres par heure» ils se rapprochent de 32 kilomètres en une heure et par conséquent de 320 kilomètres en 10 heures, b effet, l'un aura parcouru 20^.10 = 200 kilomètres, l'autre 12^.10= 120 kilomètres, et 200^+ 120^ = 320 kiloinè-| très.

XYIII. Résoudre le même problème, en supposant que les | deux courriers marchent dans le même sens.

XIX. Partager 184 en deus parties dont la différence soit 16. Si la plus petite partie était connue, en y ajoutant la diOé-l

rence 16 on aurait la plus grande : donc le nombre 184 se' compose du double de la plus petite partie, plus 16 ; donc, en I en retranchant 16 on aura ce double; donc la plus petite partie vaut ^^^ = iM = 84, et par conséquent la plus grande est égale à 184—84=100.

XX. Partager 216' entre quatre personnes, de manière qw la deuxième ait le double de la première, que la troisième a\t]A triple de la deuxième, et que la quatrième ail autant que les trw autres ensemble.

Puisque la troisième a le triple de la deuxième, elle recevra 3 fois 2 fois ou 6 fois la part de la première ; alors la part de la quatrième, qui doit être la somme des trois autres, se composera de 1 fois la part de la première, plus 2 fois cette part^ plus encore 6 fois cette part, c'est-à-dire de 9 fois cette même part La somme à partager vaut donc 1 fois -j- 2 fois -f 6 fois -f- 9 fois, c'est-à-dire 18 fois la part de la première ; donc cette part est la dix-huiiième partie de 21 ff; donc elle vaut 12'. Alors la deuxième recevra 12'.2 = 24'; la troisième, 24^3=72'; et b

quatrième, 12' + 24*+ 72'= 108'; et, en effet, ces quatre part réunies font 216.

XXI. Un joueur, interrogé sur les gains quHl a faits aux quatre parties qu'il ajouées^ répond : Ala deuxième partie, mon gain a été le triple de celui que fai fait à la première^ moins 12'; à la troisième, fai gagné autant qu'aux deux premières , plus 6'; à la quatrième, fai gagné deux fois plus qu'à la deuxième, et encore trois fois plus qu'à la troisième, moins 126'; et mon gain total est 126'.

Le gain de la troisième partie se compose de celui de la première, de 3 fois ce gain moins 12', plus 6', c'est-à-dire de 4 fois le gain fait à la première partie moins 6'. A la quatrième, notre joueur a reçu, d'une part, 6 fois le bénéGce qu'il avait fait à la première, moins 24'; et d'une autre part, 12 (ois ce même gain, moins 18', moins 126' : donc le gain qu*il a fait à la quatrième partie égale 18 fois celui de la première, moins 168'; par conséquent le gain total 126' se compose de 1 fois, plus 3 fois, plus 4 fois, plus 18 fois le gain de la première partie, moins 12', moins 6', moins 168', c'est-à-dire de 26 fois ce gain, moins 186'; si donc on ajoute 186' à 126', la somme 312' vaudra 26 fois le gain que notre joueur a fait à la première partie; donc ce gain égale ^'=12'; donc il a gagné à la seconde partie 12'.3 — 12 = 24'; à la troisième, 12' + 24' + 6'= 42'; enfin, à la quatrième, 24'.2 + 42'.3 — 126 = 48' : en effet, la somme de ces bénéfices partiels compose le gain total 126'.