V^ S IV. DIVISION

44. La DIVISION est une opération qui a pour but, lorsque Ton ^connaît un produit nommé dividende et l'un de ses fadeurs ap^

pelé DIVISEUR, de trouver Vautre facteur nommé quotient*.

48. Il suit de cette définition et du n*> 24, 1» que, si le diviseur est un nombre concret de même nature que le dividende on devra le regarder comme remplissant les fondions de multiplicande, et alors le quotient remplira celles de mullîpUca-

ii.«

* Cette opération se nomme division parce q}x*elle sert à diviser ou à parloger un nombre donné en plusieurs parties égales. Si Ton voulait par exemple partager 48 en 12 parties égales, il faudrait chercher un nombre qui, répété 12 fois, produisît 48 : on regarderait donc 48 comme un produit ayant pour facteurs 12 et Tune des parties cherchées.

CALCUL DIlS NOMBIŒS ENTIEKS. 25

teur : donc, quand le dividende et le diviseur sont deux nombres concrets de même nature^ le quotient est un nombre abstrait ; 2*» que si, au contraire, le dividende étant concret, le diviseur est abstrait, on devra regarder celui-ci comme un multiplicateur; par conséquent le quotient sera le multiplicande : donc le quotient est un nombi^e concret de même nature que le dividende, si le diviseur est abstrait,

^6. Le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, on voit que le quotient exprime le nombre de fois que le dividende contient le diviseur (25), et c'est de là que lui vient son nom.

C'est aussi pour cela que Ton définit quelquefois la division : une opération qui a pour but de trouver combien de fois un nombre en contient un autre.

Or, si Ton retranche le diviseur du dividende autant de fois qu'il sera possible, le nombre des soustractions indiquera combien de fois le dividende contient le diviseur, et sera par conséquent la valeur du quotient : d'après cela, si Ton veut diviser le nombre 48 successivement par 12 et par 13, on fera les calculs suivants:

l*"* soustraction. 36 , . . 35

2"^ soustraction. 24 22

Z^ soUrStraction. 12 9

4* soustraction.

Dans la première opération nous avons fait quatre soustractions: donc le quotient de 48 divisé par 12 est 4. Dans la seconde nous n'avons pu efifectuer que trois soustractions : donc le quo-

tient est 3 ; mais la division donne pour reste 9 ; d*où Ton Toit que le dividende 48 est égal à trois fois le diviseur 13, plus )e reste 9. Donc, qiumd la division laisse un resUy lequel est nécessairement moindre que le diviseur ^ le dividende est égaX au produit du diviseur multiplié par le quotient y plus ce reste.

y^ 47. Lorsque le diviseur est un nombre exprimé par un seul chiffre, et que le dividende est moindre que dix fois le diviseur , on peut trouver le quotient au moyen de la table de multipKea' tùm, II suffit pour cela de descendre dans la colonne verticak qui porte en têle le diviseur, jusqu*à ce que Ton arrive au plus grand multiple de ce diviseur qui soit contenu dans le dividende. Le numéro d'ordre de la ligne horizontale où se trouvera ce plus grand multiple sera le quotient cherché. Ainsi le quotient de 39 divisé par 7 est 5 : car, en descendant dans la septième ligne verticale, on trouve que le plus grand multiple de 7 qui soit contenu dans 39 est 35, et 35 appartient à la cinquième ligne horizontale.

^ 48. Si le dividende devait contenir un grand nombre de fois le diviseur, on voit que l'opération efïecluée d'après le procédé indiqué au n* 46 pourrait devenir très-longue: il faut donc recourir à une méthode plus abrégée. Soit proposé par exemple de diviser 79461 par 327: effectuer cette division, c'est chercher par quel nombre il faut multiplier 327 pour obtenir au produit 79461 : en comparant le diviseur au dividende, on reconnaît que le quotient contiendra,

1* des unités simples, car. . 327 x 1 = 327 < 79461

2» des dizaines, car 327 X 10= 3270 < 79461

3*» des centaines, car ... . 327 x 100 = 32700 < 79461

4^' qu'il ne contiendra pas d'unités d'un ordre plus élevé que les centaines, car pour qu'il pût renfermer seulement un mille, il faudrait que le dividende ne fût pas plus petit que 327 X 1000 =327000, et c'est ce qui a lieu ici. Le quotient contiendra donc en général des centaines, des dizaines et des unités, et par conséquent le dividende se composera des produits

Calcul des nombres entiers. 27

\}/partiels du diviseur muUplU par les centaines^ dizaines et unités ]i/iA quotient.

Cela posé, cherchons à déterminer le nombre des centaines du quotient. Si nous pouvions détacher du dividende le produit du diviseur multiplié par les centaines du quotient, en divi* isant ce produit par le diviseur nous trouverions les centaines du quotient. Or tout nombre de centaines est terminé par deux zéros: donc le produit du diviseur par les centaines du quo* tient sera aussi terminé par deux zéros (34) ; donc il sera iin nombre exact de centaines; donc il ne pourra se trouver que dans les 794 centaines du dividende. Mais 794 peut contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué delà multiplication du diviseur par les dizaines et unités du quotient, plus du reste, s'il y en a un; donc, en divisant 794 par 327, on n'obtiendra pas un nombre moindre que celui des centaines du quotient ; on ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi ce nombre surpasserait le quotient total*, ce qui est absurde: car il est clair qu'en divisant une partie du dividende par le diviseur, on ne doit pas trouver un nombre plus grand qu'en divisant le dividende tout entier par ce même diviseur**; donc en divisant les 794 centaines du dividende par le diviseur 327, on obtiendra exactement le nombre des cenUiines du quotient; il s'agit donc d'effectuer cette division, c'est-à-dire de trouver par quel nombre il faut multiplier 327 pour obtenir au produit 794. j ip

i*«*<Uii*M*i^^Mifal^

♦ Si, par exemple, le chiffre des centaines du quotient étant 2, la division de t94 centaines par 327 donnait 3 centaines, il est évident que ce nombre surpasserait le quotient qui dans notre hypothèse ne peut pas être plusgrand que 299.

^^ On peut encore démontrer ce principe de la manière suivante :

Pour qu'en divisant 794 par 327, on pût trouver une centaine de plus que le quotient n'en renferme, il faudrait que 79'i centaines continssent^ outre le produit du diviseur par les centaines du quotient^ au moins 327 centaines qui auraient reflué de la multiplication du diviseur par les dizaines et les unités du quotient, plus du reste, s'il y en a un (441); car, pour que ie quotient augmente de cent unités, il faut que le dividende augmente de cent fois le

Le produit des 3 centaines du diviseur parle quotient cstun nombre exact de centaines : donc il ne pourra se trouver que dans les 7 centaines du dividende 794, lesquelles pourront contenir encore quelques centaines qui auraient reflué de Isimnltiplicationdes dizaines et unités du diviseur par le quotient, plus du reste, s*il y en a un ; donc, en divisant les 7 cenfaines du dividende par les 3 centaines du diviseur, on sera certain de ne pas trouver un nombre moindre que le quotient cherché, mais on pourra en trouver un plus grand, car le reste peut contenir 3 centaines.

Pour vérifler si le nombre trouvé n'est pas trop grand, on multipliera le diviseur parce nombre, et Ton retranchera le produit du dividende 794; si la soustraction est possible, le chiffre que Ton a trouvé est exact ; sinon, il est trop grand, de sorte qu'il faudra le diminuer successivement de 1, de 8, etc., unités jusqu'à ce que la soustraction puisse s'effectuer. Divisons donc 7 centaines par 3 centaines: en 7 combien de fois 3! 2 fois. Je multiplie le diviseur 327 parle quotient 2 ; et comme le produit 654 peut se retrancher de 794, j'en conclus que S est bien le chiffre des centaines du quotient total. Il s*agit maintenant d'en trouver les dizaines.

Le dividende étant la somme des produits partiels du ilivi< seur par les centaines, dizaines et unités du quotient, si Ton en soustrait le produit du diviseur par les centaines du quotient, le reste sera composé des produits partiels du diviseur parles dizaines etunitésdu quotient: ce sera donc un nouvean dividende sur lequel on pourra faire les mêmes raisonnements

diviseur. Le cas le plus déravorable serait celui où les dizaines et unités dfl quotient formeraient le plus grand nombre possible, c'est-à-dire 99; maiseo multipliant le diviseur 327 par 99, on le répète 99 fois, et en y ajoutant li reste^ qui vaut au plus 326, on voit qu'il s'en faudra au moins d'une unité que Ton ne trouve cent fois 327, c'est-à-dire 327 centaines; donc il ne peut pas avoir reflué 327 centaines de la multiplication du diviseur par les dizain» et unités du quotient^ plus du reste, s'il y en a un ; donc, en divisant 794 par 327, on ne peut pas trouver un nombre plus grand que celui des centaines do quotient.

que sur le premier, et même avec cet avantage que l'on sait déjà que les plus hautes unités du quotient correspondant sont de l'ordre des dizaines. Ces raisonnements conduiront à la dé* termination des dizaines; et ensuite, de même que l'on aura passé du calcul des centaiaes à celui des dizaines, oh pourra passer du calcul des dizaines à celui des unités, et obtenir ainsi le quotient demandé.

Retranchons donc du dividende 79461 les 654 centaines qui proviennent de la multiplication du diviseur 327 par les 2 centaines du quotient, et nous aurons pour reste 14061 : or, de même que nous avons obtenu les centaines du quotient en divisant les centaines du premier dividende par le diviseur, nous trouverons ses dizaines en divisant les dizaines du deuxième dividende par le diviseur. Il s'agit donc de diviser 1406 par 327 ; mais pour diviser 794 par 327, nous avons divisé 7 centaines par 3 centaines : donc nous diviserons 1406 par 327 en divisant 14 centaines par 3 centaines. En 14, combien de fois 3? 11 y est 4 fois. Je multiplie le diviseur 327 par le quotient 4; et comme le produit 1308 peut se retrancher de 1406, j'en conclus que 4 est bien le chiffre des dizaines du quotient total; il n'y a plus qu'à chercher les unités. Or, pour trouver les dizaines, nous avons retranché du premier dividende le produit du diviseur par les centaines, et divisé ensuite les dizaines du reste par le diviseur; donc, pour calculer les unités du quotient, nous retrancherons du deuxième dividende 14061 le produit 1308 dizaines du diviseur 327 multiplié par les 4 dizaines du quotient, et nous diviserons le reste 981 par 327. Nous dirons donc : en 9 combien de fois 3? il y est 3 fois. Comme le produit de 327 par 3 est 981, on voit que 3 est bien le chiffre des unités, et que le quotient demandé est par conséquent 243.

Remarquons que l'on peut avoir le premier dividende partiel 794, en séparant sur la gauche du dividende 79461 autant de chiffres qu'il en faut pour obtenir un nombre plus grand que le diviseur 327 ; que pour former le deuxième dividende partiel 1406, il aurait suffl de retrancher du premier le produit du diviseur par le premier chiffre du quotient, et d'abaisser à

la droite du reste 140 le premier des chiffres saivants dadiiidende ; que Ton aurait obtenu de même le troisième divideoè partiel 981 en retranchant du deuxième le produit du difi par le deuxième chiffre du quotient, et en ahaîssant à la droit du reste 98 le second des chiffres suivants du di-Tidende. conséquence, on dispose les calculs comme ci-dessous :

49. En généralisant ce que nous venons de dire, on en conclura la règle suivante : Pour diviser un nombre par un auHn^ écrivez le diviseu/r à la droite du dividende^ séparez - les pat un trait vertical y soulignez le diviseur, et placez le quotSnd au-dessous. Cela fait , prenez sur la gauche du dividende aau de chiffres powr que le nombre qu'ils exprimenUy can$6M comme représentant des unités simples ^ puisse contenir le dfcîseur; vov^ aurez ainsi un premier dividende partiel , quê §m diviserez par le diviseur, ce qui vous donnera le chiffre de»fbtt hautes unités du quotient. Soustrayez du premier dioideiiéfi partiel le produit du diviseur par le premier chiffre du quoiknit et abaissez sur la droite du reste le premier des chiffres sépara dans le dividende : voufs aurez ainsi un second dividende parfîai 1 que vous diviserez par le divisevry ce qui vous donnera le secani 1 chiffre du quotient; vous récrirez à la droite du premier ^ tiX vou^s agirez sur le second dividende partiel et sur le second ckif' fre du quotient y comme vous avez fait sur le premier dividende partiel et sur le premier chiffre du quotient ; et vous continuerez cette série d^opérations jusqu'à ce que vou^ ayez abaissé le der^ nier chiffre du dividende , en ayant soin à chaque opération (Té"

frire le qiu)tient que vous obtenez à la droite du précédent. Si Vun fUs dividendes partiels était moindre que le diviseur^ ce serait un figne que le quotient n'a point d'unités de V ordre correspondant; pn écrirait donc un zéro au quotient , et Von abaisserait à la droite |2e ce dividende partiel le chiffre suivant du dividende total ^ ce ^^ui donneraitun nouveau dividende partiel que Von diviserait par le diviseur.

Pour diviser un dividende partiel par le diviseur^ il faut diviser par le chiure des pliLS hautes unités du diviseur le nombre des unités du même ordre que contient ce dividende partiel. On véri-* fiera que le quotient ainsi trouvé n'est pas trop grande en examinant si le produit du diviseur par ce quotient peut se retrancher du dividende partiel.

SO. La division a urJ dividende partiel par le diviseur ne s'effectuent que par tâtonnements, on sent que la crainte d'écrire au quotient un chiffre trop grand peut conduire à en mettre un trop petit. On reconnaîtra qu'il en sera ainsi lorsque le reste, obtenu en retranchant du dividende partiel le produit du diviseur par le chiffre dont il s'agit, contiendra le diviseur. On augmentera donc ce chiffre d'une, d&ux^ trois y etc., unités y jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste moindre que le diviseur.

Il y a toutefois une précaution qui diminuera le nombre des tâtonnements : c'est de regarder le premier chiffre à gauche du diviseur comme augmenté d'une unité lorsque le second surpassera 5 (on appelle cela forcer V unité sur ce chiffre), et d'augmenter aussi d'autant le nombre des unités de même ordre que renferme le dividende partiel. Ainsi, si Ton avait à diviser 27249 par 3628, au lieu de dire : en 27 combien de fois 3? on dirait : en 28 combien de fois 4 ? Le chiffre 7 ainsi obtenu est effectivement le quotient de la division de 27249 par 3628. On conçoit en effet que, le diviseur 3628 étant plus près de 4 mille que de 3 mille, on a plus de chance de trouver le quotient cherché en prenant pour diviseur 4 mille plutôt que 3 mille. Mais aussi on court le risque d'écrire au quotient un chiffre trop faible : car le quotient devient plus petit quand le diviseur augmente. C'est

pour diminuer celle chance d'erreur qu'on augmente d'une unilé le nombre des mille du dividende partiel.

31. On peut enfin effectuer la division d'un dividende partiel par le diviseur sans tâtonnements, par un procédé que Ton emploie avec avantage quand le quotient total doit contenir un grand nombre de chiffres. On forme le tableau des neuf premiers multiples du diviseur, et l'on y cherche quel est le plus grand de ces multiples qui soit contenu dans le dividende partiel. Le numéro d'ordre de ce multiple est le chiffre cherché du quotient. Ainsi, dans l'exemple du n** 48, nous verrons que le premier chiffre du quotient est 2 : car, en consultant le tableau des multiples du diviseur :

1" muIliiU' 327

on reconnaît que le plus grand multiple de ce diviseur qui soit contenu dans le premier dividende partiel 794 est le deuxième.

S2. Pour diviser un produit par un certain nombre y il suffit de diviser Pun de ses facteurs par ce nombre , en conservant les autres facteurs; car, en multipliant par ce nombre le nouveau produit qu'on aura obtenu par la division d'un des facteurs, on retrouvera le produit primitif (59). Veut-on, par exemple, diviser par 15 le produit de 135 par 47? ou commencera par diviser le facteur 135 par 15, ce qui donnera 9, puis on multipliera 9 par 47. Ce produit 9.47 est le quotient demandé, car en le multipliant par 15 on retrouvera le dividende 135.47. >

Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs,

ù suffU de lô diviser smcessivement par chacun des facteurs de ce produit; Mûsi^ pour diviser 360 par 8.9, on divisera ce nombre par 8, ce qui donnera 45, et on divisera ensuite 45 par 9, de «orte que le quotient 5 de cette seconde division sera celui que Ton doit trouver en divisant 360 par 8.9. En effet, en multipliant ce deuxième quotient ^ = 5 par 9, on retrouvera le premier 45 = ^|^, et en ïiiultipllant celui-ci par 8, on obtiendra 360. Donc 360 est le produit de 5 par 8.9 (58) ; donc 5 est ie quotient de la division de 360 par 8.9.

53. Si le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros y on en supprimera sur la droite de tous les deux autant qu'il y en a à la suite de celui qui en contient le moins; puis^ en effectuant la division des nombres résultants comms à Vordinaire^ on obtiendra le quotient demandé.

Ëneffet, supposons, pour fixer les idées, qu'on ait supprimé trois zéros sur la droite du dividende et du diviseur. Par la suppression des trois zéros dans le dividende, on a divisé ce dividende (27), et par conséquent le quotient, par mille; car le dividende y qui est le produit du diviseur par le quotient , ne peut être divisé par mUle, si l'un de ses facteurs ne change pas, qu'autant que son autre facteur est lui-même divisé par mille (S2). En supprimant trois zéros dans le diviseur, on Ta divisé par mille, par conséquent le quotient a été multiplié par mille : car, si un produit ne change pas, et que Tun de ses facteurs soit divisé par un certain nombre , il faut nécessairement que Tautre facteur soit multiplié par ce nombre (39 et 52). Mais c'est après avoir multiplié le quotient par mille qu'on Y a divisé par mille; donc il n*a pas changé de valeur.

54. On peut encore abréger le calcul de la division, en effectuant à la fois les multiplications du diviseur par les différents chiffres du quotient et les soustractions correspondantes. A cet effet, on soustrait successivement les produits partiels résultant de la multiplication de chaque chiffre du diviseur par le chiffre du quotient sur lequel on opère, du nombre d'unités de même ordre que contient le dividende partiel, et l'on augmente le

produit suivant d'autant d'unités qu'il a fallu ajouter de dizaines au chiffre du dividende pourrendre la soustraction possible(Sl).

Exemple. Quand nous avons voulu vérifier^ dans Texempk du n"" 48, si le second chiffre 4 du quotient n'était pas tro) grand, nous avons multiplié le diviseur 327 par ce nombre, écrit le produit 1308 au-dessous du dividende partiel 1406, et nous avons effectué ensuite la soustraction. Au lieu d'opérer ainsi , nous dirons : 4 fois 7 font 28 ; dté de 6 , cela ne se peut pas ; j'ajoute 3 dizaines pour rendre la soustraction possible, ce qui fait 36; 28 ôté de 36, il reste 8; et je retiens 3, afln d'en augmenter le produit des dizaines du diviseur par le quotient 4, et de restituer ainsi au reste sa véritable valeur. 4 fois 2 font 8, et 3, 11; ôté de 0, cela ne se peut pas; j'ajoute 2 dizaines, ce qui fait 20; 11 ôté de 20, il reste 9, et je retiens 2. 4 fois 3 font 12, et 2, 14; ôlé de 14, il reste 0. L'excès du dividende partiel 1406 sur le produit du diviseur par le chifh 4 du quotient est donc 98, comme nous l'avions effectivement trouvé.

Lorsque le diviseur est exprimé par un seul chiffre, on abrège l'opération ainsi qu'il suit. Supposons que l'on veuille diviser 76 189 par 9, on dispose les calculs comme ci-dessous :

Quotient 8465

Reste 4

puis on dit : le neuvième de 76 est 8, que j'écris au-dessous de 6; et il reste 4 unités qui valent 40, et 1, 41 ; le neuvième de 41 est 4, que j'écris à la droite de 8; et il reste 5 unités qui valent 50, et 8, 58; le neuvième de 58 est 6, que j'écris à la droite de 4 ; et il reste 4 unités qui valent 40, et 9, 49 ; le neu- /vième de 49 est 5, que j'écris à la droite de 6 ; et il reste 4. Ainsi / le quotient cherché est 8465, et le reste est 4.

^ 88. Lorsqu*on multiplie le dividende et le diviseu/t par un mé nombre, et qu'on divise les produits Vun par Vautre^ le quotjéntm change pas^ mais le reste est multiplié par ce nombre.

En effet, le dividende étant égal au produit du diviseur multiplié par le quotient, plus le reste, si Ton veut multiplier le dividende par un certain nombre, il n'y aura qu'à multiplier ses deux parties par ce nombre ; la première l'aura été par le fait seul de la multiplication du diviseur (59) : donc le quotient n*aura pas changé, et le reste sera multiplié par ce nombre.

IS6. Pour faire la preuve de la division , on multiplie le diviseur par le quotient^ on y ajoute le reste, et si la somme est égale au dividende j on en conclura que V opération a été bien faite (46).