S I. PRINCIPES GÉNÉRAUX
04. Nous nvons vu que, quand la division laisse an reste, le dividende est ^gal au produit du diviseur multiplié par le quotient qu'on a trouvé, plus ce reste (46) : ce quotient tfest donc pas le sorond facteur du dividende ; il en diffère, comme on voit, d'une (|uanlilé qui, multipliée parle diviseur, doit reproduire le rrsle, c'est-à-dire du quotient de la division de ce dernier reste par le diviseur. Ainsi, si l'on avait eu à diviser 19 par/^, on aurait trouvé pour quotient 2 et pour reste 3, de sorte que le véritable quotient eût été 2+|. Or, 3 étant plus petit que 8, comment se former une idée précise du quotient de 3 divisé par 8 ? Pour cela , on conçoit l'unité partagée en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur, c'est-à-dire en 8 dans notre exemple; chacune de ces partieSi qui exprime le quotient de 1 par 8, est un huitième de l'unité, et nous avons une idée parfaitement nette de la grandeur de cette quantité; mais le quotient de 3 unités divisées par 8 est évidemment 3 (ois plus grand que celui d'une unité divisée par 8 : donc il vaut trois huitièmes de l'unité. Sous ce point de vue, la quantité I n'offre plus rien d'obscur, et le quotient de 19 par 8 se compose de deux unités et de trois huitièmes d'unité.
« Ainsi, comme l'a dit Lacroix dans son excellent Traité d' Arithmétique^ lorsque la division laisse un reste, le quotient se compose de deux parties : l'une est formée d'unités entières, tandis que l'autre ne peut s'obtenir qu'après qu'on a réellement effectué le pai*tage des unités concrètes ou maté rielles du reste dans le nombre de parties marquées par le divi-
seur. Jusque-là on ne fait que l'indiquer , en (lisant qu*i/ faut concevoir Vunitè du dividende partagée en autant de parties égales quHl y a d^v/nitès dans le diviseur^ et prendre autant de ces parlies quHl y a d'unités dans le reste, pour compléter k quotient cherché, »
08. Cette quantité que l'on ajoute au quotient trouvé pour en compléter la valeur, se nomme une fraction. On dit donc qu'une fraction est une partie de Vunitéy ou la réunion de plusieurs par^ ties égales de Vunité, On emploie, pour l'exprimer, deux nombres que l'on sépare par un trait horizontal; le nombre inférieur se nomme dénominateur ^ il indique en combien de parties égales tunitéest partagée; l'autre se nomme nwm^ra^ewr, et tndiquede combien départies de Vunité la fraction se compose.
Le numérateur et le dénominateur se nomment conjointement les deux termes de la fraction.
Ne.
16. Pour énoncer une fraction y on énonce d'abord le numéraleur y puis le dénominateur, en ajoutant après celui-ci la terminaison ième. Il y a exception pour les fractions dont le dénominateur est 2y Z ou tk : alors, au lieu d'énoncer le dénominateur, on prononce demiy tiers ou quart.
Ainsi f et I s'énoncent respectivement trois septièmes et trois quarts.
07. De la définition que nous avons donnée des fractions (OS) découlent immédiatement les quatre principes suivants : • ^ l"* Pour multiplier une fraction par un nombre entier, multipliez son numérateur par ce nombre, en conservant le dénominateur.
En effety en multipliant le numérateur de la fraction proposée par 3y par exemple, on rend ce numérateur trois fois plus grand ; or le numérateur indique de combien de parties de Tunité la fraction se compose : donc un numérateur trois fois plus grand indiquera que la fraction se compose de 3 fois plus de parties. Mais, comme on a conservé le dénominateur, ces. parties sont restées les mêmes : donc la nouvelle fraction étant composée de 3 fois plus de parties que la première et de*"
mêmes parties, est trois fois plus grande ; donc la fraction proposée a bien été multipliée par 3 (25).
On verra, d'après cela, qne ijx3=-4t^=tî-
2<* On prouverait de la même manière que, pour diviser une fraction par un nombre entier y il suffit de diviser le numérateur parce nombre, en conservant le dénominateur *.
Ainsi ^ : 3 = ^li^ =^.
3* Pour multiplier wne fraction par un nombre entier, an peut encore diviser son dénominateur par ce nombre, en conservant le numérateur.
En effet, en divisant le dénominateur de la fraction proposée par 3, par exemple, on le rend trois fois plus petit; mais le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est partagée : donc un dénominateur 3 fois plus petit indique que l'unité est partagée en trois fois moins de parties, et .que par conséquent ces parties sont trois fois plus grandes. Or on conserve le même numérateur : donc la nouvelle fraction est toujours composée du même nombre de parties que la première; mais ces parties sont trois fois plus grandes : donc elle est trois fois plus grande ; donc la fraction proposée a bien été multipliée par 3.
' On verra, d'après cela, que ^ x 3 = j|^ = ^.
Il suit du principe que nous venons d'établir, qu*en supprimant le dénominateur d'une fraction, on la multiplie par ce nombre.
Ainsi 5 est 9 fois plus grand que |. .
(k* On démontrerait de la même manière que, pour diviser vm fraction par un nombre entier, on peut encore multiplier son dénominateur par ce nombre, en conservant le numérateur.
Ainsi M : 3 = ^3 = ^.
* Cette démonstration suppose que pour diviser un nombre quelconque par un nombre entier, il suffit de le rendre ce même nombre de fois plus petit; mais cela résulte de la définition même de la division (4:4) ; car le dividende étant le produit du quotient par le diviseur, est autant de fois plus grand que le quotient qu'il y a d'unités dans le diviseur : donc, réciproquement, le quotient est autant de fois plus petit que le dividende que le diviseur conti d'unités.
08. La multiplication de la fraction ^ par 3 nous a conduit à deux résultats, f^ et ^, remarquables en ce que le numérateur de chacune de ces expressions surpasse le dénominateur. Or, puisque le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est partagée, il faut, pour former une unité, prendre autant de ces parties qu'il est marqué par le dénominateur : donc, si le numérateur d*une fraction contient deux, trois, quatre, etc., fois le dénominateur, cette fraction contien* dra deux, trois, quatre, etc., unités, et, en général, elle en renfermera autant que le dénominateur sera contenu de fois dans le numérateur : d'où il suit que, pour extraire les unités -entières contenues dans une expression fractionnaire^ il faut effectuer la division du numérateur par le dénominateur (94).
On verra ainsi que fj = 2^, et que ^ = 2|.
09. On tire des principes établis au n*" 97 les conséquences isuivantes : 1" On ne change pas la valeur d'une fraction en mul" tipliant ses deux termes par un même nombre. En effet, en multipliant le numérateur d'une fraction par un certain nombre, on la rend ce nombre de fois plus grande. La même opération eflfecluée sur le dénominateur rend la fraction ce même nombre de fois plus petite; mais c'est après avoir rendu la fraction proposée un certain nombre de fois plus grande, qu'on la rend le même nombre de fois plus petite; donc elle n'a pas changé de valeur.
2* On prouverait de la même manière qu'en divisant les deux termes d'une fraction par un même nombre^ on ne change pas sa valeur.
* iOO. Ici se présente naturellement cette question : Altèret-on la valeur d'une fraction en augmentant ou en diminuant ses deux termes d'un même nombre?
Puisque, pour former une unité , il faut prendre autant de parties que l'on en conçoit dans cette unité , on voit que la différence d'une fraction à. i uni té est une seconde fraction qui a le même dénominateur que la première, et qui a pour numérateur la diiférence des deux termes de cette première ;
ainsi la différence entre ^ et l'unité est ^5^ = f^. Si donc on ajoute un même nombre aux deux termes de la fraction proposée , la différence entre l'unité et la nouvelle fraction aura le même numérateur que la première différence ; mais elle aura un dénominateur plus grand : donc la fraction qu'on obtient en augmentant d'un même nombre les deux termes d'une fraction donnée , diffère moins de l'unité que celle-ci, donc elle est plus grande ; donc on augmente une fraction tn augmentant ses deux termes d'v/n même nombre.
Il suit évidemment de là qu'on diminue wne fraction en diminuant ses deux termes d'un même nombre.
En raisonnant comme tout à l'heure, on verrait qu'on diminue ou qu*on augmente une expression fractionnaire plus grande que Vunilè^ en augmentant ou en diminuant ses deux termes c^un même nombre,
101. Il suit du premier des deux principes du n* 99 que les fractions |, t^, |^, -^j etc., sont toutes équivalentes à ^ ; car elles proviennent de la multiplication des deux termes de celle-ci respectivement par 2, 5, 27, 437; mais, de toutes ces fractions, ^ est celle dont on apprécie le plus facilement la grandeur.
Cet avantage, joint à celui d'opérer sur des nombres plus petits, a fait sentir l'utilité de réduire une fraction à sa plus simple expression^ c'est-à-dire de trouver une fraction équivalente à la fraction proposée^ et dont les deux termes soient les plus petite nombres possibles. On y parvient en divisant les deux termes de la fraction par leur plus grand commun diviseur.
* i02. Pour justifier cette règle, il faut démontrer que, lorsque les deux termes d'une fraction sont premiers entre eux, elle est
irréductible. Soient t une fraction dont les deux termes sont
a' premiers entre eux, et rr une autre fraction équivalente à.
celle-ci , de sorte que l'on ait r = n*
Si l'on multiplie ces deux fractions par le dénominateur V de
la seconde, les produits -^(97, 1») et a' (07, 3*) seront égaux.
Mais le second est un nombre entier : donc le premier doit en être aussi un ; donc il faut que le produit a.6' soif divisible par b. Or b est premier avec le facteur a : donc il divise l'autre facteur V (80) ; donc b' est un certain multiple de b ; donc a' est le
a' même multiple de a, sans quoi la fraction 77 ne serait pas
égale^ à la fraction -r (99, !•). Ainsi les deux termes de toute
d fraction équivalente à la fraction -r, dont le numérateur et le dé^
nominateur sont premiers entre eux, sont des équimuitiples des deua termes de celle-ci. Donc toute fraction équivalente à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, est exprimée en termes moins simples que celle-ci^ donc celte dernière est irréductible.
*i03. Dev^x fractions irréductibles égales sont identiques ^ c'està-dire que leurs numérateurs sont égaux entre eux, ainsi que leurs dénominateurs.
En effet, puisque la première fraction est irréductible, ses deux termes sont premiers entre eux : donc la seconde ne pourra lui être égale qu'autant que ses deux termes seront des équimultiples de ceux de cette première (102) ; donc ils leur seront respectivement égaux, puisqu'ils doivent être aussi premiers entre eux.
104. Il n'esj pas toujours nécessaire, pour réduire une {vnc' 65^ tion à sp^ds simple expression, de recourir au plus grand coISmun diviseur de ses deux termes ; on peut encore y parvenir de la manière suivante. Si les deux termes de la fraction proposée sont terminés par des zéros, supprimez-en à la droite de tous les deux autant quHl y en a à la droite de celui qui en contient le moins^ puis divisez les deux termes de la fraction résultante par 2^ si la chose est possible ; et poursuivez la même opération sur les deux termes de la nouvelle fraction , si vous le pouvez; et ainsi de suite, jusqu'à ce que vous trouviez une
tion dont les deux termes ne soient pas divisibles par 2; ils ne le seront par conséquent non plus par aucun des multiples de 2, sans quoi ils le seraient encore par 2 (59). Essayez de diviser par 3 ou par 9 les deujX termes de cette dernière fraction, et si cette division réussit j divisez encore les deux termes de la fraction résultante par 3 ou par 9, et ainsi de suite tant que cela sera possible. Vous arriverez ainsi à une fraction dont les deux termes ne seront plus divisibles par 3 ni par aucun de ses multiples. Continuez de diviser ainsi les deux termes de la dernière fraction obtenue par le nombre premier consécutif à celui qui vient de vous servir de diviseury et autant de fois par ce nombre que cela se pourra. Vous vous arrêterez lorsque vous serez parvenu à essayer un diviseur plus grand que la moitié du plus petit des deux termes de la dernière fraction obtenue ; et si d* ailleurs ce plus petit terme ne divise pas le plus grandy la fraction dont il s'agit aura évidemment ses deux termes premiers entre eux^ et sera par conséquent irréductible (i02).
Exemple. La fraction -^auboo prend successivement les formes suivantes :
1J?6 22 5 14 02f> 4ft7ft 03 5 1 87 il i
iTêTl&O» 190;{60* 6545U' iao9U>. 2018» 238> Tf'
On a divisé successivement par 10, 9, 3, 5, 5, 11 et 17.
*i06. Si Von a une suite de fractions égales entre elles , la
somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment une
fraction égale à chacune des fractions considérées.
Soient, en effet, plusieurs fractions supposées égales, r» jp
jp; ; soit - la fraction irréductible égale à Tune quelconque d'entre elles; elle le sera aussi à toutes les autres. Donc les deux termes de chacune des fractions-, r?, t^t- sont deséqui-
multiples des deux termes de la fraction - (102); c'est-à-dire
que Ton aura :
d'où ron tire
ce- qu'il fallait démontrer.
