S III. MULTIPLICATION

181. Pour élendre aux nombres concrets la définition di n" 25, il faut concevoir que le produit se compose avec le mulii plicande comme le multiplicatev/r est composé avec l'unité de sm espèce; de sorte que, multiplier un nombre quelconque par ui nombre complexe^ c'est multiplier le multiplicande par le rappor du multiplicateur à Vunitè de son espèce.

Cela posé, nous distinguerons deux cas, suivant que le multiplicateur sera un nombre incomplexe ou un nombre complexe.

Proposons-nous donc d'abord de multiplier 12»13'10^ par \ toises*. Le rapport de 5* à r étant le nombre abstrait 5, il s'agira simplement de multiplier 12*1 3'10^ par 5. Pour cela nouî multiplierons successivement les diverses espèces d'unités d< ce nombre par 5, en commençant par celles de Tordre inférieur, afin de réunir à chaque produit partiel les unitéâ de soi

^ On est conduit à cette opération par la question suivante : Une toise d*ou trage a été payée 12*^ 13* 10'; quel est le prix de 5 toises du mime ouvrage . £n efîet, le prix de 5 toises doit être composé avec celui d'une toise comm< ô toises sont composées avec une toise; de sorte que^ pour avoir ce prix, i n'y a qu'à multiplier 12* 13' 10* par le rapport de 5^ à F,

espèce que pourra renfermer le produit partiel précédent.

"Sïous dirons donc : 5 fois 10** font 50**, qui valent 4'+ 2^; j'écris f, et je retiens 4*; 5 fois 3', 15', et 4', 19'; j'écris 9' et je retiens l ; 5 fois l, 5, et 1, 6; 6 dizaines de sous valent 3* : je retiens donc 3*; 5 fois 12 , 60 , ct3 , 63 . Ainsi le produit deiHandé est 63* 9* 2*.

On sent que cette méthode serait trop longue si le multipli-

- cateur étail un nombre considérable : on a trouvé le moyen d'arriver plus rapidement au résultat^en décomposant les collections des diverses unités que renferme le multiplicande en

. parties aliquotes de l'unité immédiatement supérieure, c'est-à-

dire en parties qui soient des diviseurs exacts de cette unité. Cette méthode de multiplication a reçu en conséquence le nom de multiplication par les parties aliquotes.

182. Proposons-nous, pour l'expliquer, de multiplier 12» 13V10* par 535.

Pour muUipher 12* 13' 10^ par 535, nous multiplierons successivement toutes les parties de ce nombre par 535, en commençant par les unités de la plus haute espèce, et nous disposerons les calculs comme ci-dessous :

par

Produit de 10'

Le produit de 12* par 535 est 6420*. Maintenant je décompose 13' en parties aliquotes de lalivre, qui vaut 20', c'est-àdire en 10*-{-2"4- 1'; de sorte que, pour multiplier 13' par 535^

il suffira de multiplier successifement 10*, i" et 1' par 535. Or 10" sont la moitié de la livre : donc le produit de 10* par 535 csl la moitié du produit d'une livre p<»r 535 ou la moitié de 535*; on voit focilement que cette moitié est 267*10'. S' sont ^ de 10^, donc le produit de 2* par 535 sera le cinquième du précédent, c'est-à-dire le cinquième de 267* 10*. Or^le cinquième de 267* est 53% et il reste 2*, qui valent 40*, et 10", 50", dont le dnquième est 10*; ainsi le produit de 2* par 535 est 53* 10*. 1* est la moitié de 2* : donc le produit de 1' par 535 sera la moitié da précédent, on M* 15*. Il nous reste à multiplier lO' par 535. Pour cela, je décompose lO' en parties aliquotes du sou, qui vaut 12*, c'est-à-dire en 6*+ 4*; de sorte que, pour multiplier 10' par 535, il faudra multiplier ces deux parties par ce nombre; mais 6* sont la moitié du sou, et 4' en sont le tiers: donc les produits de 6' et de 4' par 535 seront respectivement la moitié et le tiers du produit de 1* par 535, c'est-à-dire de 26* 15*; ainsi il sera facile de les former. En additionnant ensuite tous les produits partiels, on obtiendra 6790* 10* pour la valeur du produit total demandé.

185. Proposons-nous maintenant de multiplier deitx nom' bres complexes tv/n par Vautre^ par exemple, 12* 13* 10* par 535"^ 5^ 8^1*.

Il s'agira donc de multiplier le multiplicande par le rapport du multiplicateur à la toise, ou, ce qui revient au même, de le multiplier par les rapports respectifs de 535 toises, de 5 pieds, de 8 lignes et des | d'une ligne à la toise. Nous allons efiectuer successivement ces quatre multiplications partielles, et nous disposerons les calculs de la manière suivante :

'*' On est conduit à cette opération par la question suivante : Une toise <f outrage a été payée 12* 13' 10**; quel sera le prix de 535^5^8* |î

Produit par 535^ 6790* 0- 10«»

3 iO e ^

4' 1 2 Vife = ,M

4 1 2 Vé = 5i^

^ 1 -^-"7- — -J-'îi-

D*abord le produit du multiplicande par 535^ a été calculé tout à l'heure. Pour obtenir le produit de ce nombre par 5**, je décompose 5^ en parties aliquotes de la toise, qui vaut 6^, c'està-dire en 3'+ 2** : or 3"* et 2** sont respectivement la moitié et le tiers de la toise. Ainsi j'aurai les produits du multiplicande par les rapports de 3^ et de 2^ à la toise en prenant la moitié et le tiers de ce multiplicande, ce qui est facile. Pour multiplier maintenant 12* 13» lO'' par 8* (c'est-à-dire parle rapport de 8* à la toise), je décompose 8^ en parties aliquotes du pouce, qui vaut 12^, et la décomposition la plus simple est évidemment tf -{- tf : de sorte qu'il s'agit de multiplier le multiplicande par 4*, Or 4^ soiit ^ de 2** : donc le produit du multiplicande par 4^ est ^ de celui de ce nombre par 2^. Mais comme il n'est pas commode de prendre directement ^ d'un nombre, j'observe que ^=1 X ^, et qu'ainsi nous obtiendrons le produit par 4> en prenant d'abord ^ du produit du multiplicande par 2^, ce qui nous donnera le produit de ce nombre par 3** (c'est ce que les arithméticiens appellent produit aiuciliaîre), et cherchant ensuite ^ de celui-ci. Nous avons eu soin de barrer le produit auxiliaire afin de n'en pas tenir compte dans l'addition des produits partiels. Enfin on obtient le produit du multiplicande

140 CJUXCL hES 50SBUS CIHPLEXES.

par { en décomposaDl celte firadioa ra parties aKquotes de ronité, qui vabt 6rirûfi?ics, c'esl-à-dire eo| = |, pliisf=|. On sera aiim coodoît, f^ioiir aïoir le produit da miilti|dkande far I de lignera prendre 2 et -^ da produit de ce nombre [« kK II ne restera pins qa*à additionner toos les prodoilspartieSs, et on aora le produit total demandé.