S IV. DIVISION

184. Nous distinguerons deux cas prindpaux, selon queb dividende et le diviseur seront de nature différente au de mmt nature.

Si le dividende et le diviseur sont de nature différente^ U pourra se faire que le diviseur soit un nombre incomplexe ou un nombn complexe.

Examinons sncccssivement ces différents cas.

!•' Cas. — Diviser 166* 17* Z*{ par 2T*.

Puisque le dividende doit toujours être considéré comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs, on voit que l*un d'eux doit être un nombre concret de même nature que le dividende : donc il faut dans cet exemple que le quotient soit un nombre de livres; de sorte que la question revient à trouver un nombre qui, multiplié par le nombre abstrait 27, reproduise 166» 17» 3^^; donc le quotient est la 27* partie de ce nombre, et on l'obtiendra par conséquent en divisant successivement chacune de ses parties par 27.

On disposera les calculs comme il suit :

* On est conduit à cette opération par la question suivante : 27 toises cfou* vrage ont été payées 166** 17* * quel est le prix de la toise?

Le quotient de 166» par 27 est de 6*, elle reste est 4*, qu'il &at eDCore diviser par 27. Pour cela on convertit ces 4* en sous en les multipliant par 20, ce qui fait 80% et ces 80' réunis aax 17' du dividende forment 97% que l'on divise par 27. Le quotient de cette seconde division est 3*, et le reste est 16*. Ces 16" doivent encore être divisés par 27. Mais 16* valent 16 fois 12'^ ou 192*; en les ajoutant aux 3*^ du dividende, on trouvera 195**^ qu'il faut enfln diviser par 27 : le quotient est 7** if (127). Ainsi le quotient demandé est 6*3* 7*^.

Ce procédé revienty comme on voit, à diviser successivement le$ collections des diverses espèces d'unités du dividende par le dknseur^ en commençant par celles de V ordre le plus élevé, et à convertir en unités de Vordre immédiatement inférieur le dernier reste de chaque division partiellCy en y ajoutant le nombre d*unilés t. ie celte espèce que contient le dividende , ce qui donne un nouveau dividende partiel que ton divise par le diviseur,

18». 2« Cas. Diviser 14* 5* 5*" par 5*^ 4"* 3p.

En raisonnant comme dans l'exemple précédent, on verra

que le quotient doit être de même nature que le dividende, et

exprimer par conséquent des livres ; de sorte que la question

. revient à trouver un nombre qui, multiplié par le diviseur,

lk% CALCUL DES HOStUS OOmUOSM.

c'est-à-dire par son rapport à la toise (181), reproduise le li-l Tidende. Il s*agit donc de di?iser 14*5* d' parce rapport, ee] qai nous ramène au cas précédent.

Or 5^4^3^=411'; une toise Taut 72* : donc le rapportiil diviseur à la toise est ^=^. Ainsi il faut diviser lk*^v\ par ^, ce qui donne m^j^iJi (126) = g^^y» =2» Mp! (184).

186. 3* Cas. — Examinons enfin le cas où le dividende ^' le diviseur sont deux nombres complexes de même nature, et proposons-nous, par exemple, de dvoiser 14* 5" 5^ par 2* 10^, U quotient devant exprimer des toises^ pieds et pouces*.

Le dividende est le produit du diviseur par le quotient, c'està-dire parle rapport du nombre de toises demandé à la toise: donc on aura ce rapport en prenant celui de 14*^ 5" 5"* à 2*^ 10*. Or 14* 5* 5*= 3425* ; 2» 10'= 600* : donc le rapport demandé 6^^ ^ii<P=W> ^^^^ 1^ nombre de toises cherché esl le quotient de la division de 137^ par 24. En effectuant cette division par la règle du n* 184, on trouvera pour quotient 5^4f 3r.

187. On ramènerait immédiatement le calcul des nombres complexes à celui des nombres incomplexes, en réduisant les subdivisions de l'unité principale de chaque nombre comfdexe en fractions de cette unité. Ainsi, dans la question du n* 18S, on observerait que 4^ 3? valent 51', tandis que la toise en vaut 72, de sorte que 5''4'3p=5^^=5''4Î; que de même 14« 5» 5*= 14* il, de sorte que Ton trouvera le prix de la toise en divisant 14* H par 5 ^.

* Quand le dividende et le diviseur sont des nombres' concrets de même espèce, renoncé de la question qui conduit à la division proposée indique toujours de quelle nature doit être l'unité principale du quotient. Supposons, par exemple, cette question : Une toise d'ouvrage a coûté 2* 10*^ combien ferat'on de toises du même ouvrage pour 14* ô* 5^? Si l'on connaissait le nombre de toises demandé, il est évident qu'en multipliants" 10*, prix d'une toise, par ce nombre, on devrait trouver l** h* 5*; donc, en divisant 14* h* 5* par U^ 10', on obtiendra ce nombre de toises i

\. Les preuves de Vaddition et de la soustraction se font e celles des mimes opérations sur les nombres incomplexes, à la preuve de la multiplicationy il n'y a qu'à multiplier ^ÀX facteurs par un> mkM' nombre^ et le nouveau produit être égal au premier multiplié par le carré de ce nombre, r faire la preuve de la division, multipliez de même le diviet le diviseur par u/n mêms nombre; recommencez là dttntt vous devrez encore trouver le mime quotient.