XXIX. Quel est le nombre qui surpasse ses ^ de 420 î

Un nombre surpasse ses ^ de ses |; donc les | du nombre inconnu font 420; donc, clc.

Réponse : 945.

♦ C'est-à-dire que, pour faire payer 10 roubles à Pétersbourg^ il faut payer 44' à Paris ; et comme 10 roubles ae valent réellement que 40^ on YOit que le prix du change est de 4'.

XXX. Quel est le nombre qui, augmenté de ses J, fait 650? Réponse : 450.

XXXI. Qusl est le nombre qui^ diminué de ses i, fait 72 î Réponse: 180.

XXXII. Quatre joueurs se sont associés : le premier a gagné 35'; le second, le neuvième du gain total; le troisièm^e^ les i de ce gain; et le quatrième, les -^ de ce mime gain. Combien chaque joueur a-t'il gagné?

Si l'on observe que i + 1 + -^ = f^, on verra que le gain total se compose de ses §$, et en outre de 35' ; donc 35' sont les ^ de ce gain : donc, etc.

Réponse : 360'.

XXXm. Un père, en mourant, ordonne que Vatné de ses enfants prendra le quart du bien qu'il laisse ; le second, 12000' et le cinquième du reste; le troisième, 8000', le cinquième du reste €l b seizièmô des deux premiers, plus 5000' ; enfin, que le quatrième receora le reste, 24000'. Quelle est la part de chaque enfant?

Uinconnue de la question est évidemment la valeur de Théritage. Or Talné, prenant le quart du bien, ne laisse que les { à partager entre ses frères. Sur cette somme le second prélève d'abord 12000' : le reste est donc égal aux | du bien diminués de 12000', quantité dont le cinquième égale ^ de l'héritage, moins 2400'. La part du second fils est donc composée des ^ delà succession et de 12000'— 2400' = 9600'; la somme qu'il laisse aux deux autres est donc égale à (f — ^) de l'héritage, moins 9600', ou aux | du bien, moins 9600'; en sorte que les deux aînés ont eu { de la succession augmentés de 9600'. Le troisième enfant prélève 8000' sur ce que ceux-ci ont laissé ; ainsi le reste vaut { du bien, moins 9600', moins 8000', ou moins 17000^ Il en prend le cinquième, c'est-à-dire ^ de l'héritage, moins 3520'; il reçoit encore un seizième des deux premiers, plus 5000', ce qui fait ^ du bien, plus 600', plus 5000', •ou plus 5600' ; la part du troisième enfant est donc égale à SOOO'-f '^ du bien — 3520' + A du bien + 5600'= |f^ du luen 4- 10080'. U laisse conséquemment au quatrième | du

bien — 9600' — ^ du bien— 10080', ou ^ de rhérilagc lin diminués de 19680'. Mais le quatrième enfant a pour sa|>ar( Ifp 24000' : par conséquent,

^V de rhérilage— 10680' égalent 24000';

donc ^ de Théritage égalent 24000' +19680' =43680';

5^5 de l'héritage égale ^^«-^=480'.

L'héritage vaut donc 480' X 200 = 96000'.

Le père a donc laissé 96000' à ses enfants. Effectuant maintenant les opérations indiquées dans Ténoncé, on trouve que chaque enfant devait recevoir 24000'.

XXXIV. Un ouvrier n'avait plus, que 6' lorsque on lui paya ^ semaines de travail; 2 semaines après ^ il avait déjà dépensé la \ de tout son argent; mais ayant alors reçu le prix de son travcM pour ces deux semaines j il se trouva avoir 21'. Combien gagnait-il par semaine?

Deux semaines après avoir reçu le prix de son travail pour 5 semaines, cet ouvrier ayant dépensé les | de tout sou argent, il ne lui en restait plus que le quart, c'est-à-dire le quart du prix de son travail pour 5 semaines, plus |'= l',5, ou, ce qui revient au même, | de ce qu'il gagnait par semaine, plus l',5. Mais il reçoit alors le prix de ces deux semaines : donc les 21' qu'il possède alors se composent de l',5, plus des | et encore des I de son gain par semaine, ou des ^ de ce gain, plus l',5 : donc les ^ de ce gain valent 21' — 1',5= 19',50, etc.

XXXV. Une femme de campagne porte des œufs dans une ville de guerre où il y avait trois corps de garde à passer. Elle vend au premier la moitié de ses œufs, plus la moitié d^vn cmf; au second^ la moitié des œufs qui lui restent ^ plus la moitié d'un œuf; au trot" sièmCy la moitié des œufs qui lui restent^ plus la moitié d'un omf^ et arrive au marché avec 36 œufs. Combien a-t-elle laissé d^œufi dans chaque corps de garde ?

Puisqu'elle laisse dans le troisième corps de garde la moitié des œufs qui lui restaient^ plus la moitié d'un œuf, les 36 œuf$ qu'elle porte au marché valent la moitié de ce nombre d'œufs.

moins la moitié d'un œuf; donc elle était entrée au troisième €orps de garde avec 36^X2 = 73 œufs; donc elle y en a laissé 37. On verra de même qu'elle avait 73 JX2 = 147 œufs en arrivant au second corps de garde, et qu'elle en avait Vendu 74; enGn qu'elle était partie de chez elle avec 147 4x2 = 295 œufs, et qu'elle en avait laissé 148 au premier corps de garde.

XXXVI. Une personne charitable rencontre des pauvres aux-' quels elle distribue le quart de Vargent qu^elle a dans sa bourse^ moins { d^ franc : DieUy pour la récompenser ^ double ce qui lui reste. Alors elle entre dans une église^ et dépose dans un tronc le tiers de ce qu'elle a dans sa bourse^ plus J de franc; Dieu triple ce qui lui reste. Elle se rend ensuite dans une prison, où elle distribua la moitié de ce qu*elle a, plus j franc; Dieu quadruple ce qui lui reste; et elle rentre chez elle avec 100^ Combien avait- elle en sortant?

Réponse : 17'.

XXXVII. Un marchand, prélève tous les ans une somme de 4000' sur les fonds qu'il a dans le commerce, et cependant chaque anniée sa fortune augmente du tiers de ce qui lui reste, et elle se trouve doublée au bout de trois ans. Combien avait-il au commencément de la première année?

Réponse : 59 200'.

XXXYIII. Un banquier voudrait payer 95' en employant 10 pièces tant de 5' que de 20'. Comment doit-il s'y prendre?

Si le banquier n'employait que des pièces de 5', il ne payerait que 50*, et il redevrait ainsi 95' — 50'= 45'. Or, s'il substitue une pièce de 20' à une pièce de 5', il paye 15' .de plus; donc, en remplaçant 3 pièces de 5' par 3 de 20', il aura atteint le but qu'il se propose. Ainsi il devra donner 7 pièces de 5' et 3 de 20', ce qu'il est facile de vérifier.

Remarquons que, si Ton avait proposé de payer une somme moindre que 50' avec dix pièces tant de 5' que de 20', le pro* blême eût été impossible.

XXXIX. Un marcliand à reçu deux caisses contenant chacune 150 kilogrammes de thé; il les a payées ensemble 4800', et Vune lui

150 PROBLËMëS.

coûte 600' de plus que Vautre. Il veut faire un envoi de 100 fcilogrammes y qu'on lui payera 2000'. Combien doit-U prendre de chaque esptce de thé pour gagner 3S20 par hologramme f

Réponse : 70 de Tune et 30 de l'autre.

XL. Un orfèvre a deux lingots d'or aux tiêres de 0,920 et 0,760 (109). Combien doit-il prendre de grammes de chacun pour e» composer un lingot de 850 grammes au titre de 0,840?

Réponse : 400' à 0,750 et 450* à 0,920.

XLL Un orfèvre a deux lingots de 1800 grammes chacmy Vun au titre de 0,920, et Vautre à celui de 0,750. Combien doU-^ ajouter de grammes du 2' au 1*' pour en abaisser le titre à 0,840 î

Réponse : 1600 grammes.

XLII. Un orfèvre a un lingot de 1200 grammes au titre es 0,750. Combien doit-il y ajouter d^or pur pour en élever le tUreà 0,840?

Ce problème peut se ramener aux précédents, en regardanl Tor pur comme étant au titre de 1000 millièmes,

Réponse : 675 grammes.

XLIII. Trois frères ont acheté une propriété moyennant 50 000'. // manque au premier ^ pour la payer à lui «eu/, la moitié de r argent qu'a le second; celui-ci payerait l'acquisition si le premier lui donnait le tiers de ce qu'il a; enfin le troisièmCj enjoignant à ce qu'il possède le quart de la fortune du premier^ pourrait payer les 50000'. Combien chaque frère a-t-il d'argent?

Il résulte de la première condition que le double de la fortune du premier, augmenté de celle du second, forme 100 000* ; mais, d'après la seconde condition, la fortune du second frère jointe au tiers de celle du premier compose 50 000'; donc Texcès du double de la fortune du premier sur le tiers de cetite même fortune égale Toxcès de 100 000' sur 50 000', ou, ce qui revient au même, les \ de ce que possède le premier forment 50 000'; donc, etc. Le premier avait 30000', le tsecond 40000',. le troisième 42 500'.

XLIV. Un ouvrier travaillant chez un particulier pendant l2jourSy sur 1 desquels il a eu avec lui sa femme, a reçu 74'. Il (l

PROBLËUES. 151

travaillé ensuite chez le mime particulier 8 autres jours sur 5 desquels il s^est encore fait aider de sa femme, et il a reçu 50'. Combien Fouvrier gagnait-il par jour y et combien sa femme gagnaitelle aussi pendant le mime temps?

En comparant les temps pendant lesquels Touvrier et sa femme ont travaillé dans le second cas, avec les nombres qui expriment les quantités analogues dans le premier, on verra qa*en travaillant (12 — 8) = 4 jours sur (7 — 5) = 2 desquels il a eu avec lui sa femme, Touvrier gagnait (74^—50') = 24'; donc, en travaillant 8 jours, sur 4 desquels il a eu avec lui sa femme, il gagnait 48*. Mais en travaillant 8 jours, sur 5 desquels il a eu avec lui sa femme, il gagnait 50'; donc la femme gagnait (50' — 48') = 2' par jour, et partant 10' en 5 jours ; le mari recevait donc, pour 8 jours de travail, 50'— 10' = 40', et par conséquent il gagnait 5' par jour.

XLV. Deux joueurs vont au jeu avec 425' et perdent 200'; ils comptent alors leur argent^ et il se trouve que Vun a perdu les f de son argent, et Vautre la moitié du sien. Combien avaient-ils chacun en entrant au jeu ?

En supposant que nos jouteurs aient fait une perte double de la leur, vous trouverez qu'il ne leur resterait plus que S5', qui exprimeraient alors le cinquième de la mise du premier, etc.

Réponse : Le premier était entré au jeu avec 125', et le second avec 300'.

XLVI. Une personne qui a des jetons dans les deux mains dit : Si fen fais passer un de la main gauche dans la droite y il y en Ofwradeux fois plus dans celle-ci que dans Vautre; si au contraire fen fais passer un de la droite dans la gauchCy il y en aura le mtme nombre dans les deux mains. Combien y en a-t-il dans chacune?

n résulte de la seconde condition qu'il y avait deux jetons de plus dans la main droite que dans la main gauche ; donc, si Ton fait passer un jeton de la gauche dans la droite, il y aora dans celle-ci 4 jetons de plus que dans l'autre. Mais la droite doit en contenir 2 fois plus que la gauche ; donc il y a

alors 4 jetons dans celle-ci et 8 dans celle-là; donc il y m\\ 5 jetons dans la main gauche et 7 dans la droite.

XLYII. Trois personms ont mesuré successivement la dtstaiu» entre deux objets : la première a trouvé 536"'^25, la seeonà 636'",40, et la troisième 535",90. Cependant il importe de connaître cette distance le plus exactement possible. Comment faire?

Si chaque personne avait opéré exactement, la somme des résultats qu'elles auraient trouvés formerait le triple de la distance cherchée, qui par conséquent serait le tiors de cette somme. Or, les trois résultats trouvés étant difTcrents, il est probable qu'aucun n*est exact, et que le véritable est compris entre le plus grand et le plus petit des trois. Eu ajoutant ces trois résultats, les erreurs dans un sens détruiront en partie celles qui sont dans Taulre, en sorte que leur somme approchera plus du triple de la véritable distance que ne le ferait le triple de chacun de ces résultats en particulier; donc aussi le tiers de leur somme différera moins de la distance cherchée que ne le fait chacun de ces nombres. On aura donc, d'après cela :

Distance cherchée = 6:?n'"g»^HH7'^o^<^a^-Too =;536"^i8.

Cette distance s'appelle distance moyenne, parce qu'elle tient à peu près le milieu entre les résultats trouvés.

XLVIII. Un marchand a trois sortes de vins, savoir : 48 litres à 0^55 le litre; 72 à 0',45, et 60 à 0',75. Il les méle^ et on demande à combien lui revient le litre du mélange *?

48 litres à 0',55 valent. 0',55 X 48 = 26S4 72. . . . 0,45. . . . 0,45X72 = 32,4 60. . . . 0,75. .. . 0,75X60 = 45,0

Donc les 180^ du mélange valent 10i^8

et par conséquent le litre du mélange revient à ^t«^=^S^S à moins d'un demi-centime.

* Ces sortes de questions sont connues des arithméticiens sous le nom de règles d'alliage.

XLIX. Un marchand a du frin qui lui coûte 15 décimes le litre. Combien doit-il y ajouter t mu pour gagner 6 décimes par litre?

Lorsque dans une certaine quantité de vin on substitue un litre d'eau à un litre de vin, on diminue la valeur de cette quantité de vin du prix d*un litre de vin, c*est-à-dlre de 15 décimes dans notre exemple; on la diminuera donc de 1 décime en remplaçant -^ litre de vin par -^ litre d*eau : le marchand diminuera conséquemment le prix d*un litre de vin de 6 décimes en substituant à -^ = I litre de vin la même quantité d*eau. Le litre de mélange sera alors composé de \ de vin et de|d*eau; donc un mélange de 6 lilres sera composé de 8 litres de vin et de S d*eaa : donc il faut à un litre de vin en ajouter f d'eau.