S II. RACINE CUBIQUE
SIS. On appelle cube cf un nombre le produit de trois facteurs égaux à ce nombrCy ou, ce qui revient au même, le produit de ce nombre multiplié par son carré. Ainsi le cube de 6 est 6.6.6 = 216.
On appelle racine cubique rfwn nombre le nombre qui, élevé au cube, reproduit le nombre proposé. Ainsi la racine cubique de 216 est 6.
Pour indiquer que Ton doit extraire la racine cubique d'un
nombre, on écrit ce nombre (100) sous le signe ^ entre les
branches duquel on place le chiffre 3. Ainsi v^l26 signifie que l'on doit extraire la racine cubique de 126.
916. La racine cubique de 1000 étant 10, on voit que la racine cubique de tout nombre plus petit que 1000 est moindre
que 10, et se trouve par conséquent exprimée par un seul chiffre; qu'au contraire, la racine cubique de tout nombre plus grand que 1000 sera plus grande que 10, et renfermera par conséquent des dizaines et des unités.
Nous distinguerons donc deux cas dans V extraction de la racine cubique des nombres entiers^ seUm que le nombre proposé sera moindre ou plus grand que 1000.
217. Pour extraire la racine cubique dun nombre plus petit que 1000, on formera un tableau contenant sur une première ligne horizontale les neufs premiers nombres^ et au-dessous leurs cubes respectifs :
Cela fait y on cherchera dans ce tableau le plus grand cube contenu dans le nombre proposé^ et sa racine cubique sera la racine demandée^ à moins d'une unité.
Si Ton voulait, par exemple, la racine cubique de 400, on dirait : Le plus grand cube contenu dans 400 est 343, dont la racine cubique est 7 : ainsi 7 est la racine cubique de 400, à moins d'une unité (102).
En raisonnant comme on l'a fait au n" 193, on verra que, quand la racine cubique d'un nombre entier nest pas entière^ elle n'est pas non plus fractionnaire, de sorte que, ne pouvant pas ôlre exprimée exactement en nombre, elle est incommensurable,
218. Voyons maintenant comment on pourra obtenir la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000. Gomme elle doit renfermer des dizaines et des unités, nousallons auparavant étudier la composition du cube d'un pareil nombre. Représentons par a les dizaines de ce nombre et par b ses unités : ce nombre sera représenté par a-}- 6. Pour former son cube, nous rélèverons d'abord au carré, ce qui donnera (note du n" 104) ;
et il restera à multiplier ce dernier nombre par a-\-b.
Pour y parvenir, nous mulliplierons chaque partie du multiplicande successivement par chaque partie du mulliplicatcur; et, en observant que ^a.b.a peut s'écrire 2a.a.6=:2a*.6, que de même 2a.b.b=^a,b^ (SB)» nous aurons le calcul suivant :
Produit du multiplicande par a. . . a'+2a*.6+ a.6' Produit du multiplicande par 6. . . a*.6+2a.6'-j-6*
En comparant cette expression à celle (a-f-2^) du nombre proposé, on voit que te cube d'un nombre qui renferme des dizaines et des unités se compose de quatre parties^ savoir : du cube des dizaines^ du triple carré des dizaines multiplié par les unités^ du triple des dizaines miUtiplié par le carré des unitéSy et du cube des unités.
219. Revenons maintenant à l'extraction de la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000. Sa racine contiendra, comme nous l'avons vu, des dizaines et des unités; de sorte qu'on pourra considérer le nombre proposé comme formé de quatre parties, savoir : du cube des dizaines de sa racine, du triple carré de ses dizaines par ses unités, du triple de ses dizaines parle carré de ses unités, et du cube de ses unités.
Gela posé, si nous pouvions détacher du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, en en extrayant la racine cubique, nous obtiendrions les dizaines de la racine demandée. Mais le cube de ces dizaines étant un nombre exact de mille (34), ne peut se trouver que dans les mille du nombre proposé, lesquels peuvent contenir, en outre, des mille qui auraient reflué des trois autres parties du cube de la racine, plus du reste, s'il y en a un. Par conséquent, si Ton extrait la racine du plus grand cube contenu dans les mille du nombre proposé, on n'obtiendra pas un nombre plus petit que les dizaines de la racine. On ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi cette
174 EXTRACTION DES RAGllfBS.
racine du plus grand cube contenu dans les mille du nomlbre proposé surpasserait au moins d'une unité la racine totale {wât du n"" 195), c'est-à-dire la racine du plus grand cube conUm dans le nombre tout entier ^ ce qui est évidemment absurde : donc, en extrayant la racine du plus grand cube contenu dam les mille du nombre proposé, on trouvera exactement les dizaines de la racine demandée.
Si maintenant on retranche du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, le reste ne contiendra plus que le triple carré des dizaines de la racine par les unités, le triple des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités. Mais la première de ces deux parties, étant un nombre exact de centaines, ne peut se trouver que dans les centaines du reste, lesquelles peuvent contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué des deux autres parties du cube et du reste, s'il y en a un : donc, si l'on divise les centaines du reste par le triple carré des dizaines de la racine, on ne pourra pas trouver un nombre plus petit que les unités de cette racine ; mais on courra le risque d'en trouver un plus grand [on verra d'ailleurs (223) que le reste seul peut contenir autant de centaines qu'il y en a dans le triple carré des dizaines de la racine].
Pour vériGer si le chiffre trouvé n'est pas plus grand que celui des unités, on n'aura qu'à élever la racine totale au cube, et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé.
On pourra s'assurer, et même plus simplement, que le cbifire mis à la racine n'est pas trop grand, de la manière suivante : à la. droite du triple des dizaines, écrivez le chiffre des unités; multipliez le nombre ainsi formé par les unités , ce qui donnera le triple des dizaines par les unités^ plus le carré des unités ; ajoutez ce produit au triple carré des dizaines, ce qui vous donnera le triple carré des dizaines, le triple produit des dizaines par les unités, et le carré des unités; multipliez celte somme par les unités, et vous aurez le triple carré des dizaines par les unités, le triple des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités. Gomme ces trois parties se trouvent dans le reste, leur somme doit pouvoir s'en retrancher : donc, si la
«oostraction n'est pas possible, on sera certain que le chiffre trouvé pour les unités de la racine est trop grand, et par conftëquent on devra le diminuer d'une ou de plusieurs unités.
920. Ainsi, pour extraire la racine cubique (Tun nombre pli» grand que 1000, extrayez la racine du plus grand cube contenu dans les mille de ce nombre^ ce qui vous donnera les dizaines de la racine demandée; retranchez le cube de ces dizaines du '^j^mbre proposé y et divisez les centaines du reste par le triple carré des dizaines trouvées; vous obtiendrez ainsi un nombre qui ne sera pas plus petit que les unités de la racine. Pour vérifier si cenombre n*est pas plus grandy vous pourrez élever la racine totale au cubCy et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé. Mais il sera plus simple d^ écrire le chiffre des unités à la droite du triple des dizaines^ de multiplier le nombre ainsi formé par les unités^ Rajouter le produit au triple carré des dizaines et de multiplier la somme par les unités : le produit devra pouvoir se retrancher du reste.
221. On verra, comme au n° 197, que la règle que nous venons d'énoncer pourra s'appliquer successivement à des nombres qui ne contiennent pas plus de 6, 9, 12, etc., chiffres, et que par conséquent elle est générale.
•222. Gomme le chiffre des unités s'obtient par une division, on sent que la crainte d'écrire à la racine un chiffre trop grand expose à en mettre un trop faible. Gomment donc s'assurer que le chiffre qu'on aura écrit pour les unités n'est pas trop petit?
Représentons la racine trouvée par a : si elle est (rop faible d'une unité, la véritable valeur de la racine î^era 0+ 1 ; de sorte qne le nombre dont on extrait cette racine doit contenir le cube de a-f-l» c'est-à-dire (i^-}"3a*4-3fl-|-l. Mais on en a retranché le cube de la racine trouvée, c'est-à-dire a* : doncle reste doit encore contenir 3a*+3a + l| c'est-à-dire le triple carré de la racine trouvée, plus le tiiple de cette racine, plus 1.
On sera donc certain que te chiffre qu'on aura écrit à la racine ne sera pas trop faible quand le reste correspondant sera
moindre que le triple carré de la racine trouvée^ plus trois fois cette racine, plus une unité.
225. Il suit de là que U reste qvHon, obtient en extrayait ia racine cubique d^wn fwmbre entier vaut au plus te triple carreau
cette racine^ plus trois fois cette racine, et que la différence du cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale au triple carré du plw petit f plu^ le triple de ce plus petite plus une unité.
224. Appliquons la méthode que nous venons de développer à la recherche de la racine cubique du nombre 50 651 889. On disposera les calculs comme ci-dessous :
Le nombre proposé étant plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra d^s dizaines et des unités ; et, pour avoir les dizaines de cette racine, il faudra extraire la racine cubique da plus grand cube contenu dans les 50651 mille de ce nombre. Mais 50651 étant plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines et des unités : de sorte que, pour déterminer ces dizaines, il faudra extraire la racine du plus grand cube contenu dans 50 mille. Le plus grand cube contenu dans 50 est 27 , dont la racine est 3 : ainsi la racine cubique de 50651 contient 3 dizaines, que j'écris à la place réservée pour la racine, à la droite du nombre proposé. Pour obtenir les unités de cette racine, je retranche du nombre 50651 le cube de 3 dizaines, ce qui revient à retrancher 27 mille de 50 mille, et à abaisser à la droite du reste la tranche 651, ce qui fait 23651. Je divise les 236 centaines de ce nombre par 27 centaines, triple carré des 3 dizaines de la racine, et le quotient 6 exprime les unités de celte racine. Pour vérifier si ce chiffre
l'est pas trop grand, je l'écris à ladroiledu triple des dizaines, ze qui donne 96; je inuUiplie ce nombre par 6, et j'ajoute le produit 576 à 27 centaines, triple carré des dizaines de la racine; je mulliplie enfin la somme 3276 par 6, et je retranche le produit 19656 de 23651, ce qui donne pour reste 3995. Ainsi le chiffre 6 n'est pas trop grand; mais nous pourrions craindre qu'il ne fût trop petit, puisque nous l'avons obtenu en divisant 236 par 27, et que le quotient de cette division est réellement 8. Pour lever tous les doutes à cet égard, nous allons exanoiner si le reste 3995 est moindre que le triple carré de la racine trouvée 36, plus le triple de cette racine, plus une unité (222). Formons donc le triple carré de 36.
Or 576 se compose du triple produit
des dizaines de 36 par ses unilés, plus du carré de ses unilés;
d'un autre côlé 3276 se compose du triple carré des
dizaines de 36, du triple pro- « dult de ses dizaines par ses uni-
tés, et du carré de ses unilés; si à ces deux nombres nous ajoutons 36, carré des unités de 36, la
somme 3888 se composera du triple carré
des dizaines de 36, de six fois le produit de ses dizaines par ses unilés, et du triple carré de ses unités, c'est-à-dire du triple carré de 36 (194). Si à cette somme nous ajoutons le triple de 36 et encore une unité, le résultat 3997 surpassera le reste 3995 : donc le chiffre 6 n'est pas trop faible ; mais d'ailleurs nous avons reconnu qu'il n'est pas trop grand; donc il est exact; donc 36 est la racine du plus grand cube contenu dans 50651. Ainsi la racine demandée contient 36 dizaines. Il faudra, pour en trouver les unités, retrancher du nombre proposé le cube de ces 36 dizaines. Or ce cube est un nombre exact de mille: donc il suffira de le rolranchcr des 50651 mille du nombre proposé, et d'abaisser à la droite du reste la tranche 889. Mais nous avons précisément retranché le cube de 36 de
50651 : car nous avons d'abord soustrait de ce nombre le cdbt de 3 dizaines, ce qui a donné pour reste 2365 If ; et de ce nsli nous avons retranché 19656, c'est-àrdire le triple cairé éa 3 dizaines par les 6 unités, plus le triple produit de ces dizaâna par le carré de ces unités, plus le cube de ces umtés. Afausani donc la tranche 889 à la droite du re^ 3995, ce qui dcnom 3995889, et divisons les centaines de ce nombre par 38889. trifli carré des trente-six dizaines de la racine. Le quotient 9 sera k chiffre des unités. Il est évident qu'il a'est pas trop petit Fo« vérifier s'il n*est pas trop grand, on Téerira à la droke dntii|à des 36 dizaines; on multipliera le nombre ainsi formé 1099 par ce nombre 9 ; on ajoutera le produit 9801 à 3888 centaines;0B multipliera la somme 398601 par 9, et, en retranchant le produit 3587409 de 3995889v on trouvera pour reste 408480, ce qui prouve que le chiffre 9 n'est pas trop grand, et qu'ainsi 369 est la racine cubique de 50651889, à moins d'une unité.
225. Ce n'est que dans des cas très-rares que l'on ob endra exactement la racine cubique du nombre proposé : car dans le premier million, par exemple, il n'y a que cent cubes parfaits. Alors on trouvera la racine demandée à moins d'une unité; mais si Ton a besoin d'un plus grand degré d'approximation, on pourra l'obtenir par la méthode suivante :
Supposons, par exemple, qu'on demande la racine cubique de 7 à moins de ^ Jf observe que H Van muUipli^un wmibn par wa aiUrey Ul racim cubique de>. leur produit sera égale au produit de leurs raoinee aubiques : car, pour élever un produit au cube^ U suffit d'y élever chacun de sesfactsurs (la démonstration est la même qiie celle donnée dàna- la première note dit n*" 202) ; de sorte que pour extraire la racine cubique éf utr produit^ il suffit d'extraire la radne cubic^ de chaque facteur j et de multiplier ces racines entre, elles. Donc, si l'on multiplie le nombre 7 par le cube de 5 et qu'on extraie la racine cubique du produit 7. 5', la racine qu'on obtiendra sera égale à la racine demandée multipliée par 5 :
donc, en divisant la racine cubique de 7.5* par 5, on aura exactement celte de 7 :
or 7. 5* = 875, et la racine cubique de 875 tombe entre les deux nombres entiers consécutifs 9 et 10; donc la racine demandée tombe entre ces deut nombres divisés par 5, c'est-àdire entre f et J^ ; donc elle diffère de cliacun d'eux de moins qu'ils ne diffèrent entre eux, c'est-à-dire de moins de ^ ; donc, en prenant f pour la racine demandée, on aura cette racine à moins de {.
Concluons de là que, pour extraire la racine cubique d'un nombre à moins (Tune unité fractionnaire donnée, U faut multiplier ce nombre par le cube du dénominateur de cette unité ^ fractionnaire^ extraire la racine cubique du produit à moins Sune unitéj et diviser cette racine par le dénominateur de la fraction proposée*.
226. Il suit de là que, pour extraire la racine cubique d'un nombre entier à moins d^une unité décimale donnée, il faut écrire à sa droite trois fois plus de zéros qu'on ne veut avoir de décimales à la racine, extraire la racine cubique du résultat à moins et une unité, et séparer sa^ la droite de cette racine autant de décimales qui on en a demandé (205).
227. Lorsqu'on veut extraire la racine cubique d'un nombre décimal, on distingue deux cas, selon que le nombre des décimales est ou n'est pas un multiple de 3.
1» Si le nombre des chiffres décimaux est un multiple de 3, eagtrai^ez la racvftie CfJbbique, dbsVraetion faite dé la virgule ; puis stparei sur la droites de cette racine trois fois moins de décimales jqifU n'y en et dans le nonfibre proposé. Le raisonnement est ie^ ifléme qp'au «• 2»% P.
* On parviendra encore à cette règle en remplaçant, dans la démonstration qui fait le sujet de la seconde note du n*> 202', les mots carré et racine carrée par ceuz-d : cube et racine e\thiqu&.
2*» Si le nombre des chiffres décimaux rCest pas un multiple de 3, écrivez à la droite du nombre proposé un ou deux zéroSy selon qu'il sera nécessaire, pour rendre le nombre des décimales divisible par 3, et vou>s retomberez ainsi sur le cas précédent (204, 2«;.
Exemples : 1" Quelle est la racine cubique de 50,651889? Réponse : 3,69, — 2« Quelle est la racine cubique de 2,6518? Réponse : 1,38.
228. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine cubique d'une fraction.
Si les deux termes sont des cubes parfaits, il suffira, pour avoir la racine cubique, d'extraire séparément celle de cei deux termes. Ainsi :
On démontrera, comme au n® 205, que si les deux termes d'une fraction irréductible ne sont pa^ des cubes parfaits, sa racine cubique est incommensurable.
229. Si des deux termes d'une fractionle dénoràiruUeur seul est un cube parfait, l'application de la règle précédente donnera la racine demandée à moins d'une unité de l'ordre marqué par la racine cubique du dénominateur. Car, si Ton demande, par exemple, la racine cubique de ^, on devra extraire la racine cubique de 55 (206), laquelle tombe entre 3 et 4, el celle de 343, qui est 7 ; de sorte que la racine demandée tombera entre ^ et ^ : donc ^ est la valeur de cette racine à moins de 4*
250. Si le dénominateur de la fraction proposée n'est pas ùîi cube parfait, on ramènera ce cas au précédent en multipliant les deux termes de cette fraction par le carré de son dénominateur y et alors on obtiendra la racim demandée à moins d'une unité fractionnaire de Vordre marqué par son dénominateur.
Soit proposé, par exemple, d*exlraire la racine cubique de la fraction |2|. On multipliera les deux termes de cette fraction par le carré de 528, qui est 278784, ce qui donnera ^^l{^^^ \ on
EXTRACTION DES UACINES. 181
extraira les racines cubiques des deux termes de cette fraclion ; et comme celle du numérateur tombe entre 403 et 404, on en conclura que m est la valeur de la racine à moins
de*
* S5i. II n*est pas toujours nécessaire de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le carré de son dénominateur pour la transformer en une autre dont le dénominateur soit un cube parfait. On observe que, lorsqu'un nombre est un cube exact, les exposants de ses facteurs premiers sont des multiples de 3; en conséquence, on n'aura qu'à décomposer le dénominateur en ses facteurs premiers et multiplier les deux termes de la fraction par ceux de ces facteurs premiers dont les exposants né sont pas divisibles par 3, et autant de fois par ces facteurs qu'il le faudra pour qu'ils aient dans le nouveau dénominateur des exposants qui soient des muUipies de 3. On extraira ensuite la racine cubique de ce nouveau dénominateur en divisant par 3 les exposants de ses facteurs premiers.
Exemple: Extraire la racine cubique de ti|^. On trouve (88) que 4320 = 2'.3'.5 : ainsi on multipliera les deux termes de la fraction j^ par 2.5*, ce qui donnera 2^3^53; la racine cubique du numérateur est 9 à moins d'une unité; celle du dénominateur est 2*.3.5 =60 : donc V^-riiu^iPa = îo» ^ moins de^.
252. Pour extraire la racine cubiqtie (ïune fraction à moins d*une unité fractionnaire donnée, il faudra multiplier dette fraction par le cube du dénominateur de cette unité fractionnaire^ extraire à moins d'une unité la racine cubique du plus grand nombre entier contenu dans le produit, et diviser cette racine par le dénominateur de F unité fractionnaire donnée.
Exemple : Calculer la racine cubique de 5 -^j à moins de ^. Je multiplie 5 ^ par le cube de 20, c'est-à-dire par 8000, ce qui donne 43076 j^; la racine du plus grand cube contenu dans 43076 est 35 : donc fB = î est la racine cubique de 5 -j^ à moins de ^ (210).
255. Il suit d^ ce qui précède que, pour trouver la rasm cubique d'une fraction ordinaire à moinfi i%mt \jmU dédmak donnée^ on convertira celte fraction en décimales^ en ayant sm de continuer le calcul relatif à cette conversion jusqu'à ce qu*m ait trois fois plu^ de décimales que Von n'en demande à la racine, et la racine cubique de la fra^ion risuttftnU sena la racine demandée.
Ainsi, si l'on veut avoir la racine cubique de fff à moins de -fify on réduira cette fraction en décimales en s*arrêtant au chiffre des millièmes, ce qui donnera 0,445; et, en extrayant la racine cubique de cette fraction, on trouvera 0,7 pour valeur de la racine demandée à moins de ^.
254. En raisonnant comme au n"* 214, on- verra que lorsr que Vindice d'une racine à extraire sera une puissance parfaite de 3, il suffira, pour obtenir cette racine^ d'extraire du nombre proposé un nombre de racines cubiques successives marqué par l'exposant que 3 a dans l'indice de cette racine,
255. Nous sommes maintenant en état d'e^Ltraire d'un nombre toute racine dont l'indice n'a pas (}'autres facteurs premiers que 2 et 3, et même d'extraire cette racine avec tel degré d'approximation que Ton voudra. Supposons, en effet, pour fixer les idées, que l'on demande d'extraire d'un nombre la racine du degré 2*. 3'= 72. Si nous extrayons d'abord die ce nombre la racine du degré 2* = 8 (214), et que de celle racine nous extrayions la racine du degré 8' s= 9 (254), nous obtiendrons la racine 12* du nombre proposé : car Ja racine 9» de la racine 8* entrera 9 fois comme facteur dans cette racine 6% mais celle-ci est 8 fois facteur dans le nombre proposé: donc la racine 9* de la racine 8* est 9 fois 8 fois ou 72 fois facteur dans ce nombre; donc elle en est bien la racine 72*.
Pemande-hon maintenant la rofiim ^(Uaème 4h 1 à moins d'^n dis^ième? on verra, en raispno&plt cpn^me au n^ S02, que pour l'obtenir, il faut multiplier ce nombre par IQ*, e^roire fa racine sixième du produit 7000000 à moins çTune unité^ et diviser ensuite cette racine par 10. Extrayons donc la racine
EXTRAGTIOri DES KAGINES. 183
sixième de 7000000, et pour cela extrayons d'abord la racine cûrrée de ce nombre. Nous trouverons 2645 pour résultat. Ex* trayons actuellement la racine cubique de 2645. CetU^ racine est 13, et je dis que 13 est la racine sixième de 7000000 à mdns d'une unité. En effet, il est d'abord évident que le carré du cube de 13, c'est-à-dire la sixième puissance de 13, e^ moindre que 7000000, D'un autre côté, le cube de Usurpasse 2645 au moins d'une unité, et comme le carré de 2646 est plus grand que 7000000, il s'ensuit que le carré du cube de 14, c'est-à-dire la sixième puissance de 14, surpasse aussi 7000000 : donc la racine sixième de ce nombre est comprise entre IZet 14, et par conséquent la racine de 7 tombe entre 1,3 et 1,4; donc 1,3 est la racine sixième de 7 à moins d'un dixième.
* 236. Nous avons démontré aux n°* 37 et i 18 que l'on pouvait intervertir l'ordre des facteurs d'un produit sans altérer sa valeur, lorsque ces facteurs étaient incommensurables; il convient actuellement d'examiner si ce principe est encore vrai, quand les facteurs que l'on considère sont incommensurables; mais il faut auparavant établir un principe qui est d'une ;grande importance, et d'abord définir ce qu'on entend par limiie d'une quantité variable.
On appelle limite d^une quantité varuble une quantité fixe dont elle s'approche indéfiniment^ c'est-à-dire de manière que leur différence puisse devenir moindre que toute grandeur donnée^ sans cependant se réduire jamais rigoureusement à zéro. Ainsi nous avons vu au n* 164 que la fraction décimale 0,99999.... différera de l'unité aussi peu que Ton voudra, si on la compose d'un nombre suffisant de chiffres 9, mais qu'elle ne sera jamais ri^goureusement égale à l tant que le nombre de ces chiffres sera limité.
*237. Il suit immédiatement de cette définition que si deux quantités variables restent constamment égales entre elles dans tous ks états de grandeur par lesquels elles passmtj leurs limites seront égales.
Soient, en effet, a et & deux grandeurs variables, et A et B les limites vers lesquelles elles tendent respectivement : on pourra assigner à a et par conséquent à 5, qu'on suppose lui être constamment égale, une valeur qui diffère de B d'aussi peu qu'on voudra; donc  est a&ssi limite de b; donc  égale B, puisqu'il est évident qu'une même quantité ne peut pas tendre en même temps vers deux limites inégales.
* 258. Nous pouvons maintenant démontrer que la valeur (fun produit de facteurs incommensurables ne change pas si Von intervertit tordre de ces facteurs. Je fais d'abord observer que Ton peut toujours trouver une quantité commensurable qui diffère d'aussi peu que l'on veut d'une grandeur incommensurable donnée; en second lieu, que la définition du n' 23 n'ayant aucun sens si le multiplicateur est incommensurable, on doit regarder un produit de facteurs incommensurables comme la limile vers laquelle tendent les produits que Von obtient, lorsqu*on remplace les facteurs irrationnels par des facteurs rationnels qui en approchent indéfiniment. Or, ces produits successifs de facteurs commensurables ne changent pas de valeur lorsqu'on intervertit l'ordre de leurs facteurs : donc il en est de môme du produit des facteurs incommensurables proposés, puisque les limites de deux quantités égales sont égales (257); ainsi, a et 6 désignant deux nombres commensurables variables qui s'approchent indéfiniment de deux quantités incommensurables A et B, on aura constamment a.6==6.a; donc les limites A.B et B.A de tes deux produits sont égales (237); donc A.B=B.A.
