etc

194 BAPPORTS ET PROPORTIONS.

on en déduira

2 + 3+5 + 7: 4 + 6-(.io + i4:: 7: 14

En etteiy les deux premiers rapports de la suite proposée forment la proportion

Mais comme nous venons de démontrer que dans toute proportion la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent, cette proportion donnera

Or, au rapport de 3 à 6 on peut substituer le rapport équivalent de 5 à 10 : ainsi Ton aura

Si Ton applique à cette proportion le principe du numéro précédent, il viendra

2+3+5:4+6+10 ::5:io;

et en substituant au rapport 5 : 10 le rapport équivalent 7:14, on aura

En appliquant enfin à cette dernière proportion le principe du numéro précédent, nous aurons

2 + 3 + 5+7:4+6+10+14:: 7:14, ce qu'il fallait démontrer.

200. Si Von multiplie plusieurs proportions par ordre^ c^est-àdire terme à terme Jes produits qu'on obtiendra formeront uneprO'^ portion.

f^Aiosii des proportions

în tirera la proportion

Pour démonirer que ces quatre produits forment une pro- (rtion, il suffit de prouver que le produit des deux extrêmes est égal au produit des deux moyens (252).

.' Or, le premier extrême 2.5.8 est le produit des premiers .extrêmes des proportions données; de même, le second extrême 6*21.18 est le produit des seconds extrêmes de ces mêmes proportions; donc le produit des deux extrêmes 2.5.8 et 6.21.18 est le produit de tous les extrêmes des proportions données (58). On verra de même que le produit des deux moyens 4.15.16 et 3.7.9 est le produit de tous les moyens Hô ces mêmes proportions. Mais dans chacune d'elles le produit des extrêmes est égal à celui des moyens : donc le proiuit de tous leurs extrêmes est égal à celui de tous leurs me yens ; donc, dans la proportion que nous voulons établir^ le produit des extrêmes est égal au produit des moyens; donc cette proportion est vraie.

261. Concluons de là que les carrés^ les cubesy et en général les puissances semblables de quatre qiMntités en proportion sont aussi en proportion, c'est-à-dire que de la proportion

on déduira, par exemple,

En effet, nous obtiendrons cette proportion en multipliant la première deux fois par elle-même, et nous venons de prouver ijue les produits seraient en proportion.

196 UAPPOUTS ET PROPORTIONS.

2G2. Les racines carrées, cubiqueSj et en général les racines semblables de quatre quantités en proportion sont aussi en proportion.

Soit, en eflet, la proportion

je dis qu'on aura, par exemple,

En effet, on tire la proportion énoncée (240)

Mnis nous avons vu que la racine cubique d'un produit s'obtient en extrayant séparément les racines cubiques de chacun de ses facteurs (22S} et en multipliant ces racines entre elles ; nous aurons donc, d'après cela,

î/Ï6x'6=v^Xv^8,

ce qui prouve que, dans la proportion à démontrer, le produit des extrêmes est <^gaî au produit des moyens, et que par conséquent cette proportion est vraie (2S2).

Si Von divise deux proportions terme h terme^ les qtu)tients foi^meront une proportion.

C'csl-à-dire que des deux proportions

ou tirera |:^-.'î^il-

En effet, le produit des extrêmes de la proportion à démontrer est une fiaclion $f^ qui a pour numérateur le produit des extrêmes de la première des proportions proposées, et pour dénominateur le produit des extrêmes de la seconde. Le produit des moyens de cette même proportion est une fraction ^^' qui a

numérateur le produit des moyens de la première, et

dénominalepr le produit des moyens de la seconde;

dans chacune des proportions énoncées le produit des

èmes est égal à celui des moyens : donc les deux fractions

et ^^j qui expriment le produit des extrêmes et le produit

moyens de la proportion à démontrer, ou des numérateurs

ux et des dénominateurs aussi égaux ; donc elles sont égales,

ne celte proportion est vraie."

S64. Quoique les principes que nous venons d*établir raient ""fêlé en conbidérant des quantités commensurables, ils n'en sont ^Pas moins applicables à des quantités incommensurables. Il Biiffity pour s*en convaincre, de bien déiinir ce qu'on entend TÊ^ le rapport de deux grandeurs irrationnelles. Or, puisqu on [.^ |ieul toujours assigner une quantité commensurable qui difTùre d*aassi peu que Ton veut d'une quantité incommensurable f donnée, on regarde le rapport des deux quantités incommensu» râbles comme la limUe (256) vers laquelle tendent les rapports successifs que Von obtient en remplaçant ces quantités incommensurables par des valeurs commensurables qui en approcliont de plus en plus. Donc les propriétés dont jouissent les rapports de quantités commensurables conviennent également aux rapports de quantités incommensurables ; caries limites vers lesquelles tendent deux grandeurs, qui sont constamment égales dans tous les étals de grandeur par lesquels elles passent, sont aussi égales (i^37).

SOS. Nous avons dit qu'on appelait rapport par quotient le résultat de la comparaison de deux quantités, laite dans le but de savoir combien de fois l'une contient l'autre. Si la première quantité contient la seconde un nombre exact de fois, le rapport de ces deux quantités est évidemment ce nombre luimême, c'est-à-dire le quotient de leur division ; ainsi 18 contient 3 fois 6; U rapport de 18 à 6 est 3=-^. Si la première quantité ne contient pas exactement la seconde, on les compare toutes les deux à une troisième quantité prise pour commune mesure; soient, par exemple, les deux quantités 18 et 7;

l'unité est contenue 18 fois dans la première, et 7 fois dans seconde : donc la première quantité vaut 18 fois la septième] partie ou les 4j?de la seconde; c'est-à-dire que leui- rapport! est une fraction dont les deux termes sont les nombres de mesures communes contenues dans les deux quantités que I'ob a comparées. Or une fraction exprime le quotient de son numérateur par son dénominateur (04) ; on voit donc que les expressions fraction, quotient, rapport, peuvent être considérées comme signifiant la niéme chose, et les mots numérateur , dénominateur, comme synonymes d^antécédent et de conséquent.

En considérant les rapports sous ce nouveau point de vue rien ne sera plus facile que d'arriver aux propriétés démontrées aux n«" 249 et suivants. Ainsi, la proposition fondamentale du n» 249 se démontrera immédiatement en réduisant les deux rapports considérés au même dénominateur. Le principe important du n« 289 se démontre avec la même facilité : soient en effetyles rapports égaux

on a évidemment :

h h' if'f^ ^*^'»

d'où Ton tire, en ajoutant ces égalités membre à membre :

et par suite

C'est d'ailleurs le même principe que nous avions déjà démontré au n^" lOtt.

CflAPITRE XUI.