Il suit de la définition précédente que

le 2* terme est égal au l'' plus ou moins la raison ;

le 3* au I*' plus ou moins la raison, plus ou

moins la raison, c'est-à-dire est égal au 1" plus ou moins 2 fois la raison;

le 4« au l*' plusou moins 2 fois la raison, plus ou

moins la raison, c'est-à-dire est égal au l^'plus ou moins 3 fois la raison;

le 5*. ... • au 1"^ plus ou moins 3 fois la raison, plus

ou moins la raison, c'est-à-dire est

égal au P' plus ou moins 4 fois la

raison ; etc.

Donc, en général, un terme quelconque d'une progression par

SOO PROGRESSIONS.

différence est égal au premier augmenté ou diminué cTautant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Cette règle donoe le moyen de calculer un terme quelconque d'une progression, sans qu'on soit obligé de former tous can qui le précèdent. Veut-on, par exemple, calculer le cent cinquantième terme de la progression -^2.5.8. 11. etc.; on voir, à rinspection de cette progression, que la raison est 3 et le pre* mier terme 2 : ainsi, pour calculer le cent cinquantième terme, lequel en a par conséquent 149 avant lui, il faut multiplier 3 par 149, ce qui donne 447 ; et, en ajoutant 2 à ce produit, on trouve 449 pour valeur du cent cinquantième terme.

268. Insérer des moyens différentiels entre deux nonibresdonnéSy c'est trouver des nombres qui forment une progression par différence dont les deux nombres donnés soient les deux extrêmes*

Proposons-nous d*insérer entre deux nombres donnés un certain nombre de moyens différentiels. II est clair que, si l'on connaissait la raison de la progression dont ces moyens doivent faire partie, il suffirait de l'ajouter au plus petit des deux nombres donnés pour avoir le premier moyen, de l'ajouter au premier moyen pour obtenir le second, et ainsi de suite. Cherchons donc à déterminer cette raison.

Or, il suit du numéro précédent que le plus grand des deux nombres donnés est égal au plus petit augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de moyens à insérer plus un : car c'est précisément là le nombre des termes qui précèdentle plus grand des deux nombres. Donc, si du plus grand nombre on retranche le plus petit, le reste sera égal à la raison multipliée par le nombre des moyens à insérer plus un; donc, pour obtenir la raison de laprogression demandée^ ilsuffit de diviser ladifférence des deux nombres donnés par le nombre des moyens à insérer plu^ un.

Exemple. Insérer six moyens différentiels entre 2 et 23. Pour cela, je retranche 2 de 23, ce qui donne 21 pour reste; je divise ce reste par le nombre des moyensà insérer plus un, c'està-dire par 7 ; le quotient 3 exprime la raison de la progression cherchée, qui est ainsi t2.5.8.1 1.14.17.10.23.

260. Si entre tous les termes (Tune progression par différence on insère le même nombre de moyens différentiels ^ toutes les pro^ gressions partielles ainsi formées composeront une seule et même frogressùm.

En effet, le nombre des moyens inséré entre les différents termes de la progression étant le même, ainsi que la différence de deux termes consécutifs quelconques de cette progression, la raison sera la même dans toutes les progressions partielles (S68) ; et comme d'ailleurs le dernier terme de la première est le premier de la seconde, que le dernier de la seconde est le premier de la troisième, et ainsi de suite, il est

t évident que toutes les progressions partielles formeront une

^ seule et même progression.

270. Dans toute progression par différence^ la somme de deux termes équidistants des extrêmes est égale à celle des extrêmes.

Considérons, en effet, deux termes moyens, également distants des deux extrêmes, et supposons, pour fixer les idées, que la progression soit croissante; le premier de ces deux moyens sera égal au premier terme de la progression, augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un (S07) : par conséquent, la différence qui existe entre le premier terme de la progression et le premier moyen sera égale à autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un. De même, la différence du second moyen au dernier t( rme de la progression sera égale à autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un : donc, puisque les deux moyens sont équidistants des extrêmes, ces deux différences sont égales; donc ces quatre termes forment une équi« différence, et par conséquent la somme des deux moyens est égale à celle des deux extrêmes (2 44) ; ce qu'il fallait démontrer.

271. Proposons- nous actuellement de calculer la somme des termes d'une progression par différence^ et considérons, par exemple, la progression

Supposons qu*on écrive la progression sous elle-même, en' renversant l'ordre de ses termes, ce qui donnera

Il résultera de cette disposition que les termes qui se correspondront dans les deux progressions étaient équidistants des extrêmes dans la premièi*e; que, par conséquent, si Ton additionne ces deux progressions terme à terme, leur somme se composera d'autant de fois la somme des extrêmes (SI70) qu*il y a de termes dans la progression primitive. Mais cette somme est évidemment le double de la somme cherchée : donc, pour avoir celle-ci, il faut diviser la somme trouvée par 2. Donc, la somme des termes d'une progression par différence est égale à la moitié du produit qu'on obtient en multipliant la somme des deux extrêmes par le nombre des termes.

EoDemple. Calculer la somme des n premiers termes de la progression formée par les nombres impairs 1, 3, 5, 7, etc.

Il faut d'abord calculer le n'*"* terme : en observant que la raison est 2, on trouvera pour sa valeur 1 +2 (n — 1)= 2n — 1 {2G7);donc la sommedesdeux extrêmes est2n;parconséquent,

la somme demandée est — j— =n', c'est-à-dire est égale au carré

du nombre des termes additionnés.

Ce résultat fournit le moyen de trouver deux carrés dont la somme soit elle-même un carré. Il suffit, en effet, pour cela, de prendre dans la progression -f 1.3.5.7.9. etc., un terme qui soit un carré parfait, et le carré du nombre des termes qui le précèdent; car leur somme sera égale au carré du nombre qui exprime le rang du terme carré que Ton a choisi. Ainsi, prenons 49, qui est le 25* terme; ajoutons-y le carré de 24, et nous aurons le carré de 25*.

— - — J -fa^=f — J^j ^ûi^

présentant un nombre impair quelconque.

ao3

PR0GR6SSV0S9.

"»**"], «lié ?«'•«"* ^ . „M entre ce^«^

. J «t plus 9'"*'^ . R6 • l"»?»» •• •^^'^••

raison est P' ,o. 51^: l^a:"^»^-

..î7:V.3-^*^-*'. ^ ^,,i,sanie, dont îa

„ • • '^^ ' de \a raison. ^- - i- tnuWÇ

le 6' ^L.A.d\re est ég*

par ^* ^ raison;

«le.

Donc, en généra), tin terme qtielconque (Tune progression par quotient est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance marqiUe par le nombre des termes qui le précèdent.

Exemple. Calculer le onzième terme de la progression

^6:i8:54:i62:etc.,

dont la raison est 3.

On élèvera la raison 3 à la dixième puissance, ce qui donnera 59049 : on multipliera ce nombre par le premier terme 6» et Ton trouvera que le terme demandé est 354294.

974. Insérer des moyens proportionntls entre deux nombres donnés^ c*est trouver des nombres qui foirmeni une progression par quotietU dont Us deux nombres donnés soient les deux exti'tmes.

Proposons-nous d*insérer entre deux nombres donnés un certain nombre de moyens proportionnels.

Si Ton connaissait la raison de la progression dont ces moyens doivent faire partie, il suffirait de multiplier le plus petit nombre par a tte raison pour avoir le premier moyen ; de multiplier ce premier moyen par la raison pour obtenir le second, et ainsi de suite. CherchoDs donc cette raison.

Il suit du numéro précédent que le plus grand des deux nombres donnés est égal au phis petit multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le Dombie des moyens à insérer plus un, car c'est prédsémail là le nooibre des termes qui précèdent le plus grand des deux Bombres : dcMftc, si Ton divise le plus grand nombre par le pins petit, le quotient qu*on obtiendra sera égal à la raison élevée à nue puissance mariuée par le nombre des moyens à insérer pins UXklàouc^tmÊrebùi.'tirUrmisQmëêlm prvyrBam dbnaadM; wt Ikmi émmr k jfims $rwd mÊm^kre pÊT h pbu pteil^ H f mOkmi wm rmm d'mm ëtyrv «^tl mm Mmàrt dies

£jR«9iùr. Insérer deux mo3fcns p top oit î oBBgb entre S et U. On éivfieva M par i, oe qpû éoBBCfa pur gnolk ni TT, on

braira la racine troisième (ou cubique) de ce quotient, et on ^Crouvera 3 pour la raison de la progression, qui sera ainsi

* Les deux moyens sont donc 6 et 18.

Puisque nous ne savons extraire que des racines dont riir-

i dice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3 (235), il

semble que le problème de l'insertion des moyens proportion-

^ nels n'est possible que dans certains cas particuliers; mais

nous donnerons bientôt la méthode à suivre pour extraire

d'une quantité donnée une racine d'un degré quelconque (284).

27S. Si entre tous les termes d'une progression par quotimt im insère le mime nombre de moyens proportionnels^ toutes les progressions partielles ainsi formées composeront une seule et même progression.

La démonstration est la même que celle du n^" 209.

876. Proposons-noys maintenant de calculer la somme des termes dune progression par quotient.

Nous supposerons d'abord que la progression soit croissante, et qu'elle soit, par exemple,

fj 6 : 18 : 54 : 162 : 486.

Si l'on multiplie chaque terme de la progression proposée par la raison, ce qui donnera

fj 18 : 54 : 162 : 486 : 486 X 3,

on reproduira toinles termes de cette progression, excepté le premier; mais on aura, de plus, le produit du dernier terme par la raison. Par conséquent, la différence entre la somme des termes de cette seconde progression et celle des ternies de la première sera é^alc à l'excès (486 x 3 — 6) du produit du dernier terme de la progression donnée par la raison sur son premier terme. Or, du produit de la somme des termes de la progression multipliée par la raison nous venons de retrancher

cette somme de termes : le reste sera donc encore ^al au produit de cette somme multipliée par l'excès (3 — I) de la raison sur l'onité *; donc, en divisant ce reste par cet excès, ce qm donnera ^^gjf • , nous aurons la somme des termes de la progression donnée.

DonCy pour calculer la somme des termes tfune pragressm croissante par quotienty il faut multiplier son dernier terme par la raison^ retrancher du produit le premier terme de la prognssion^ et diviser le reste par Vexcès de la raison sur VvniU.

Exemple. l]lalculer la somme des onze premiers termes de la

progression h 6 : 18 : 54 : 162: etc. Nous avons vu (273) que

le onzième terme était 354294, dont le produit par la raison

est 1062882 : donc Texpression de la somme demandée sera 1 063«82-ff ^ t o«|87ff = 531438.

277. Supposons maintenant que la progression soit décroissante, c'est-à-dire que la raison soit plus petite que l'unité, et prenons pour exemple la progression

Si nous multiplions chaque terme par la raison f , ce qui donnera

il 1 K • Q • il- fil • lia • m. N^ a

nous reproduirons tous les termes de la progression, excepté le premier; mais nous aurons de plus le produit du dernier terme par la raison. Donc, en retranchant la somme des termes de cette seconde progression de celle des termes de la première, on aura pour reste l'excès (25— f|f xf) du premier terme de la progression donnée sur le produit de son dernier terme par la raison. Mais de la somme des termes delà progression nous venons de retrancher le produit de cette somme multipliée par

* Si la raison est un nombre entier, la chose est évidente; supposons qu'elle soit fractionnaire, ^ par exemple; en multipliant la somme des termes par ^, nous en avonâ pris les -^ : ainsi, des -t^ de la somme do termes, nous avons retranché cette somme, donc il nous en est resté les ?-. c'est-à-dire le produit de cette somme par ^, ou par Tezcès de ^ sur

l'UDitÔ.

la rcdson : donc le reste sera égal au produit de cette somme nmlUpliée par Texcès (1 — f) de l'unité sur la raison*; donc,

en divisant ce reste par cet excès, ce qui donnera 1 3 >

nous aurons la somme des termes de la progression donnée.

Donc, peur calculer la somme des termes d'une progression

dieroUsanU par quotient^ il faut du premier terme retrancher le

produit du dernier multiplié par la raison, et diviser le reste par

texcèt de tunité sur la raison.

*278. D'après cela, si nous représentons le premier terme d'une progression décroissante par a, le dernier par /, la raison par r, la somme des termes par 5, nous aurons pour expression de la somme des termes de cette progression :

Or, puisque la progression est décroissante, il est évident que

le dernier terme sera d'autant yUis petit qu'il sera plus éloigné

du premier, c'est-à-dire que le nombre des termes sera plus

considérable; et nous démontrerons plus loin qu'il tend vers

*éro quand le nombre de ces termes augmente indéfiniment

(358); donc, en prenant un nombre de termes suffisamment

^''and, la valeur de / et, à plus forte raison, celledu produit i.r

(^ estune fraction) sera assez petite pour que la quantité a — l.r

^^Qère de a d'aussi peu qu'on voudra; de sorte que la quantité

"■5^-1-. difRrera elle-même d'aussi peu qu'on voudra de la I. — r

^\aantité — —• Cette demièrequantitéestdonc une Kmite dont I — f

^^ somme des termes approche d'autant plus qu'on la compose

* En effet, en multipliant la somme des termes par g, nous en avons pris ^«s §: donc, en retranchant ces J de la somme des termes, il nous en est reslô les |, c'est-à-dire le produit de cette somme par §, ou par Texcôs de Turité «ur la raison ^.

208 PKOGUESSIOiNS.

d*un plus grand nombre de termes (SISO), mais qu*elle ne peut atteindre qu'autant que la progression se prolonge à rintini : c*est alors seulement que son dernier terme / est nul, et que par conséquent le produit I.r devient aussi nul. Donc la limite de la somme des termes d*unc progression décroissante à rinflni est — — ; donc, pour calculer la somme des ter-

mes d'une progression par quotient décroissante à Vinfini^ il faut diviser son premier terme par Vexcès de l'unité sur la raison.

* 279. Considérons la fraction décimale périodique

elle est la somme des fractions partielles

etc.

Or on voit que chacune de ces fractions est cent fois plus petite que la précédente (i34); de sorte que la fraction décimale périodique proposée n*est autre chose que la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'inflni, dont le premier terme est 0,25, et dont la raison est 0,01. Ainsi, pour calculer la valeur de cette fraction périodique, il faudra, conformément à ce que nous venons de voir, diviser son premier terme 0,25 par l'excès de 1 sur 0,01, c'est-à-dire par 0,99 : la valeur de cette fraction sera donc ^^ ou, eu multipliant ses deux termes par 100, ff ; ce qui s'accorde avec la règle du n° ISil.