S I. PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
280. On appelle logarithmes une suite de nombres en progres&ion par différence commençant par zéro, qui correspondent terme pour terme à une pareille suite de nombres en progression par quotient commençant par lunité.
Le logarithme d'un nombre est donc le terme de la progression par différence qui correspond au nombi^e que l'on considère dans la progression par qu^oUent,
Ainsi, soient les deux progressions
etc.
etc.
les nombres 0, 6, 15, 18 sontjes logarilhines des nombres respectifs 1, 4, 32, 64.
Il semble résulter de cette définition que les nombres moindres que l'unité n'ont pas de logarithmes, si la progression géométrique est croissante, comme dans Texcmple ci-dessus, et que ce seraient au contraire les nombres >> l qui naui aient pas de logarithmes, si elle était décroissante. Alors, pour comprendre à la fois les nombres plus petits et plus grands que l'unité dans la progression par quotient, on n'aura qu'à ia prolonger vers la gauche, en divisant l'unité par ia raison, puis divisant le terme ainsi obtenu par la raison, et ainsi de suite.
Pour obtenir les -logarithmes de ces nonjbres, on prolongera de même la progression arithmétique ver^ la gauche, en retranchant d'abord la raison du premier ternie zéro ; mais comme cette soustraction ne peut s'effectuer, ou l'indiquera en écrivant le signe — devant cette raison ; on retranchera
encore la raison de ce terme, ce qui donnera un second terme équivalent à moins la raison moins la raison, c'est-à-dire à moins deux fois la raison, et ainsi de suite.
De cette mnnière, on aura les deux progressions indéfinies dans les deux sens :
et les termes de la seconde seront les logarithmes des termes correspondants de la première.
281. Il résulte des principes établis aux n** 267 et 273 que, dans une progression par quotient commençant par l'unité, un terme quelconque est égal à la raison élevée à une puissance marcju^e par le nombre des termes qui le précèdent, et qu*un terme quelconque d'une progression par différence commençant par zéro est égal à la raison répétée autant de fols qu'il y a de termes avant lui.
Donc, autant de fois la raison est facteur dans un terme quelconque de la progression par quotient, autant la raison de la progression par difTérence est contenue de fois dans le terme correspondant de cette progression : par conséquent, si l'on multiplie entre eux plusieurs termes de la progression par quotient, et qu'on ajoute les termes correspondants de la progression par difTérence, autant de fois la raison de fa progression par quotient entrera comme facteur dans le produit, autant de fois la raison de la progression par différence sera contenue dans la somme. Donc le produit et la somme feront partie de ces deux progressions ; car l'un sera une puissance de la raison de la première progression, et l'autre un multiple de celle de la deuxième, et de plus ils s'y correspondront mutuellement : donc la somme sera le logarithme du produit. Mais les nombres additionnés sont les logarithmes de ceux qu'on a multipliés : donc, le logarithme (tun produit de plusieurs facteurs est égala la somme des logarithmes de ces facteurs*. .
Ce principe suppose essentiellement que les deux progressions géomé»
|i ' Cette démonstration suppose que les Tacteurs dont il s*agit it tous situés dans la progression par quotient d'un même \\é de l'unité*.
ïlle s'étend également bien à un produit de facteurs situés
^■^une ms^nière quelconque dans celte progression, en regar-
'xfant un terme quelconque de la partie descendante, dans la pro-
-fression géométrique, comme égal au quotient de l'unité divi-
' -Sée par une puissance de la raison marquée par le nombre de
"'termes qui le précèdent, à partir de 1, et un terme quelconque
4e la partie à gauche de zéro, dans la progression arithméti-
4riquê et arithmétique commencent respectivement par Vunité et par %éro; et comme c'est sur ce Uiéorème et sur les conséquences qui en découlent •qu'est fondé Tusage des logariltimes, voilà pourquoi nous avons introduit cette lestriction dans la définition du n" 280.
En effet, 11 suit du n* 273 que, si le premier terme de la progression par quotient n'est pas l'unité, le produit de deux termes quelconques de cette progression sera égal au carré du premier terme multiplié par une certaine puissance de la raison : donc ce produit ne pourra faire partie de la progression qu'autant qu'elle commencera par une puissance de la raison. On verra de même que, pour que la somme de deux termes de la progression par difTéronce soit un terme de cette progression, il faut qu'elle commence par un multiple de la raison. Maintenant je dis que pour que le produit et la somme puissent se correspondre, il faut que la raison de la progression arithmétique eoit contenue, dans son premier terme, autant de fois que la raison de la progression géométrique sera facteur dans le premier terme de cette progrèsston : de sorte que ces deux termes pourront être considérés comme deux termes correspondants de deux progressions par quotient et par différence , -commençant Tune par l'unité et l'autre par zéro.
Représentons, en effet, par q et par r les raisons dos deux progressions .géométrique et arithmétique; supposons que q soit m fois facteur dans le inemier terme de la première, et que r soit contenu n fois dans le premier terme de la seconde. Les («+!)'*** et (< + 1)**** termes de la progression par quotient seront q"»**, q*+', et leur produit sera q"*"-».*/^ qu^ ce qui re- Tient au même , q". q"-»*^ : donc ce produit aura (m -{- f + 1) termes avant lui. Les (f+l/^^ et (^+1)'*** termes de la progression par différence seront «r + <r et nr + tr, et leur somme sera nr'{-nr-{-sr-\- (r, ou , ce qui revien t au mdme, iir+ (n +f + 0* ^> ^^^^ ^^^^ somme a (n-f s + termes avant elle; 4onc, pour qu'elle corresponde au produit, il faut que m + f + ^ = n4-i + <i -c'est-à-dire que m=:n\ ce qu'il fallait démontrer.
* Tout ajouter deux quanlti^x négatives (on appelle ainsi celles qui sont précédées du signe — , tandis qu'on nomme positives celles qui n'ont pas de signe eu que Ton regarde comme affectées du signe -f )> on fait la somme de ces ..deux quantités sans s'occuper du signe, et on met le signe » devant la somme.
que, comme égal à moins autant de fois la raison qu*il y a de termes avant lui, à partir de zéro. Considérons, en effet, le 1 2» terme à gauche et le 7* à droite de 1 dans la progression par quotient : le premier de ces ternies sera égal à l'unité divisée par la il* puissance de la raison, et le second sera égal à la 6" puissance de celte raison ; donc leur produit sera le quotient de la 6* puissance de la raison divisée par la 11* {ii&\ c'est-àdire qu'il sera égal au quotient de l'unité divisée par la 5* puissance de cette raison (90, 2"); donc il est le 6* terme, à partir de 1, dans la partie descendante de la progression géométrique. On verra de même que la somme du 12* terme à gauche et du ?• à droite de zéro, dans la progression par différence, est égale au 6« terme à gauche dans cette progression*, et qu'ainsi celte somme et ce produit se correspondent encore dans les deux progressions.
282. Il suit de là que le logarithme du qtiotient de la divisioîi de deux nombres est égal au logarithme du dividende^ moins le logarithme du diviseur.
En effet, le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, son logarithme est la somme des logarilhnics du diviseur et du quotienl : par conséquent, si du logarithme du dividende on retranche celui du diviseur, on aura le logagarilhme du quotient.
2(Î5. Le logarithme d'une puissance quelconque d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre, multiplié par l'exposant de la puissance.
En effet, une puissance d'un nombre est le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre qu'il y a d'unités dans l'exposant de cette puissance : par conséquent, le logarithme d'une
* Pour ajouter une quantité positive avec une quantité négativef on retranche la plus petite de lapins grande, sans faire attention aux signes, puis on donne au reste le signe de la plus grande.
iteîssance d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre liftpélé autant de fois qu'il y a d'unités dans l'exposant de cette Mssance (281).
^ 284. Le logarithme (Tune racine (Tun nombre est égal au logor Wlhme de ce nombre divisé par l'indice de cette racine.
. En effet, le nombre dont on demande la racine peut être ^considéré comme une puissance de sa racine d'un degré mar ^é par l'indice de cette racine : donc, d'après ce que nous ve- "^ons devoir, le logarithme du nombre dont on, demande la incine est égal au logarithme de sa racine multiplié par Tindice de cette racine; par conséquent, on obliendra le logarithme de la racine d'un nombre en divisant le logarithme de ce nombre par Tindice de cette racine.
285. Il suit des quatre principes que nous venons d'établir que, si parmi les termes de la progression par quotient se trouvaient tous les nombres entiers possibles (je dis entiers, car le logarithme d'une quantité fractionnaire est égal (282) à la différence des logarithmes de deux nombres entiers), on pourrait au moyen de ces principes changer les multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines, respectivement en additions, soustractions, multiplications et divisions, ce qui simpliGerait considérablement les calculs.
Mais les nombres 1, 2, 3, 4, etc., forment une progression par différence: comment donc les faire entrer dans une progression par quotient? tel est robjel de la conslruclion des tables de logarithmes.
