S IL PARTAGES PROPORTIONNELS

LVI. Partager 240 en trois parties proportionnelles aux nom* très 2, 3y 5.

Si Ton désigne les trois parties inconnues par a?, y, z, on aura, d'après Ténoncé, la suite de rapports égaux

d'où, en vertu du principe du n* 289, et en observant que aî+y+js=240,

j a?=2.^=2.24=48; d'où I y = 3.24 =72;

et, en effet, la somme de ces trois nombres est 240.

LVII. Partager 192 en trois parties telles que la première soit à la seconde :: Q: h, et que la première soit à la troisième

Il 15 : 8.

Représentons les trois parties inconnues par a?, y, z, et nous aurons immédiatement

X » A* •• lt)« o»

Si les seconds antécédents de ces deux proportions étaient égaux comme les premiers, elles acquerraient un rapport com mun en intervertissant Tordre des moyens, et Ton retomberait dans le cas du problème précédent. Tâchons donc de rendre égaux les seconds antécédents. On y parviendrait évidemment en multipliant les deux termes du second rapport de la première proportion par 15, et les deux termes du second rapport de la deuxième par 6 : mais il sera plus simple d'opérer sur ces deux rapports comme si Ton voulait réduire les deux fractions $ et -^ à leur plus petit dénominateur conmmn (108). Le plus petit nombre divisible par 6 et par 15 est 30 ; je le divise

successivement par 6 et par 15, et je multiplie les deux termes du second rapport de la première proportion par le premier quotient 5, et les deux termes du second rapport de la deuxième par le second quotient 2, ce qui donne :

a;:i/::30:25 ] «n rsssr ( x:30::y:2b \ a?:js::30: 16 j' ^^ ^ ( a;:30 :: z: 16 j*

partant, a? : 30 :: y : 25 :: z : 16, etc.

LVIII. Trois joueurs qui s'étaient associés ont fait un bénéfice 4ê 30 francs. Le premier avait mis 20 francs j le second 60, et le troisième 70. Combien revient-il à chacun*?

Si les joueurs avaient tout perdu, celui dont la mise aurait été 2, 3, 4 fois plus ou moins grande que celle d'un autre, aurait éprouvé une perte 2, 3, 4 fois plus ou moins grande; il est donc juste qu'il gagne aussi 2, 3, 4 fois plus ou moins que cet autre; donc les gains sont proportionnels aux mises, La question revient donc à partager 30 francs en parties proportionnelles aux nombres 20, 60 et 70. On trouvera ainsi que les bénéfices des trois joueurs sont 4 francs, 12 francs et 14 francsi

LIX. Trois négociants s'étant associés ont fait un bénéfice de 4750^ On propose de le répartir entre eux, sachant que le premier avait fourni 2000' pendant 5 mow, le second 3000' pendmt 15 mow, et le troisième kOOO^ pendant 10 mois.

* Cette question et la suivante sont de celles que les arithméticiens nomment des règles de société simples et composées. On y admet que les pertes ou les gaifis des associés sont proportionnels à leurs mises et aux temps pendant lesquels ces mises sont restées dans la société; et l'on en conclut ikcile' ment que les pertes ou les gains sont proportionnels aux produits des mises par les temps. En effet, soit h le bénéfice correspondant à une mise m faite pendant le temps t ; le bénéfice correspondant à une mise m' pendant le

môme temps t sera b — ; mais si b — est le bénéfice correspondant à la misa

mm

m' faite pendant le temps ij le bénéfice h' correspondant à la même mise m' faite

fï*J t' im'{'

pendant le temps t' sera h'=l) — x -, ou b'=:'o~\ c'est-à-dire que Ton a

m t mt ^

r- = -—7, ou 5' : 5 :: m't' ; mt,

mt

' lie bénéfice produit par une somme qui est restée dans la NM^été pendant 5 mois doit être le même que celui produit une somme 5 fois plus grande placée seulement pendant mois : donc

SKOX)' placés pendant 5 mois=2000f.5 ou lOûOC placés pendant un mois.

^ On verra de même que

SXXK placés pendant 15 mois=3000M5 ou 45000' placés pendant un mois« -«00'. Id 10 =4000M0 ou 40000' id. id.

Ainsi la question revient à celle-ci : Trois négociants ont fait un hénifict de 4750'; on propose de le partager entre eux^ . puiha/nt que leurs mises respectives sont 10000', 45000' et 40000^. Le premier recevra 500*, le second 2250', et le troisième SOOC. .

LX. Trois marchands se sont associés pour fournir à un ré' gim^fitf le premier blO"^ de drap rouge^ le second 2000" de drap Heu, et le troisième dOOC de toile. La qualité du drap bleu est les ^ de celle du drap rougCy et le prix de la toile est le huitièmede eelui du drap bleu. On demande ce qui rement à chacun sur tm Unèfiu de 3750'.

Bépanse. Le premier a gagné 765', le second 2400', et le troisième 585'.

8 ni. QUESTIONS SUR LES INTÉRÊTS.

On appelle capital la somme que l'on prête ou que l'on place, et intérêt celle que Ton se fait payer par l'emprunteur pour s'indemniser de la jouissance de ce capital pendant la durée du prêt ou du placement.

Le taux de l'intérêt est la somme que rapporterait un capital de 100 francs prêté ou placé pendant un an. Le taux s'indique ainsi : 4 p. •/•» c'est-à-dire 4 pour 100.

L'intérêt est dit simple, quand le capital reste le même durant tout le placement. On dit au contraire que les intérêts iiont composés, lorsqu'à la fin de chaque période de temps con-

258 FftMLfinS.

venue, à la fin de chaque année, par eiemple, on jmnt ks intérêts an capital primitir, pour former nn nonveaa caphi qui, i son tour, produira intérêt pendant la période deleoqi suivante.

Les questions relatives aux inUriu simples se résolvent à Taide des deux principes suivants : l*rintérét, lorsque le temps ne change pas, varie dans le même rapport qne leca|Mtal; 2* rintérêt d'un même capital varie dans le même rapport que le temps du placement.

Soit, en général, uu capital A, placé pendant nn temps r, au taux i; quel sera llntérêt I produit par ce capital? Qn posera ainsi la question, qui n*est autre qu'une règle de trois r

lOC rapportent en 1 an. . . V;

et Ton trouvera facilement que

Telle est la formule générale des intèrtu simples.

LXI. Une personne emprunte 800^ à raison dé 5 pùur 100 par an ; on demande quel intérêt elle devra payer au boui de sept mois.

Celle question revient à celle-ci : lOO' rapportent 5' d^Uitirêt en 12 mois : combien 800' produiront-Us en 7 mois? et rentre dans le problème LUI.

Réponse : 2B',33.

Si Ton avait voulu résoudre cette question au moyen de la formule générale, on aurait remplacé A par SOC, i par 5, et t par t^; en effet, i représentant exclusivement Fîntérôt de 100 francs pendant un an^ t représente le temps exprimé m années; puisque le temps est 7 mois, on devra donc prendre

LXII. Pendant combien de temps faut-il placer SOO' à 5 pour 100

patr ariy pour retirer au bout de ce temps 836' tant en principal 9»*en^ intéfiu?

L'intérêt du capital 800' est évidemment 36', de sorte que la question n'est autre que celle-ci : 100' rapportent 5' d'intérêt en 12 mois; en combien de temps 800' rapporteront-Us 36'P

Béponse ; 10 mois 24 jours.

LXIII. A combien pour 100 par an faudrait-il plac&r 800' pour retirer 36' d'intérêt au boiU de ^ jours?

Ce problème revient au suivant : 800' rapportent 36' en %Q jours; combien 100^ produisent-Us en Z^O jours?

Réponse: 16',87.

Si l'on avait voulu appliquer la formule générale, on y aurait fait t=^. (Dans les questions d'intérêt» on considère chacun des douze mois de l'année comme composé uniformément de 30 jours, ce qui revient à compter seulement 360 jours dans l'année.)

LXIV. Quel est le capital primitif de 500', somme reçue tant en principal qu^esi intérêts au bout de 5 mois, Fintérêt étant de 10 pour IQO par an?

On trouvera facilement que l'intérêt d'un franc placé à 107o paranest^' pour 5 mois, etqu'ainsi l' vaut 1'+^= |f' au bout de 5 moiSi tant en principal qu'en intérêts. Donc, pour avoir la "valeur d'un capital au bout de 5 mois et à 1 % il faut multiplier Il par ce capital. Par conséquent, 500' est le produit de ff par le capital inconnu : donc on obtiendra ce capital en divisant 500' par ff, ce qui donne 41^^=480'.

On peut aussi résoudre cette question au moyen des proportions^ de la manière suivante :

Représentons par x le capital inconnu et par y son intérêt pour 5 mois : nous trouverons une relation entre ce capital et son intérêt en nous proposant cette question : Le capital lOO** f apporte 10' m 12 mois; combien le capital x' rapporter a-t^l en 5 mxm? Nous obtiendrons la solution de ce problème par la proportion

Divisant le premier moyen par 5 et multipliant le second par ce nombre (253), pour que x forme seul le conséquent du pre* mier rapport» il viendra |^

Donc, en vertu du principe du n"" &S8^ nous aurons

i200+50:a?+i/:: I200:a?, ou bien 1250:500:: 1200 :a;;

d'où X = ^^^l'i il^"^ = 480'.

LXV. Une personne qui a besoin d'argent comptant propose^ k 4 mai, à un banquier de lui escompter un billet de SOO^ payable le 12 décembre suivant. Le banquier prend {'escompte à raison de 6 pour 100 par an : quelle somme remettrart-U au porteur du billet?

Il est clair que le banquier, sortant de sa caisse une somme qui ne doit y rentrer que dans 222 jours*, doit retirer un certain intérêt de cette somme, lequel s'évalue à raison de 6 pour 100 par an d'après les conditions de l'énoncé, et dont il devra trouver le remboursement à l'échéance du billet. La question proposée revient donc à celle-ci : Quel est le capital primitif de 800% somme reçue tant en principal qrjUen intérêts au bout de 222 jours j V intérêt étant à 6 pour 100 ?

Réponse : 77 1^46 (Problème LXIV).

Mais les banquiers n'opèrent pas ainsi : ils trouvent plus commode de regarder le montant du billet comme un capital ; ils s'en font donc payer l'intérêt, et retirent par conséquent l'in-

* Od calculera le nombre de jours du 4 mai inclusivement au î% décembre

ca;ctimi?ement (28+30 + 31 +31 + 30 + 31 +30+11=222). Dans le commerce ou la banque, on compte le nombre eaeact des jours; mais, pour simplifier les

calculs, on regarde le jour comme ^^ de Tannée, et non connue «4?, ainsi

qu3 nous l'avons déjà dit (Problème LXIII).

térët de l'intérêt de la somme qu'ils devraient remettre au porteur du billet. Ainsi ils cherchent qml est Vintèrét de 800' pour 222 jour^, le taux de Vintèrét étant de 6 pour 100 par an. On trouvera de cette manière (Problème LXI) que le porteur du billet recevra 770^,40, l'escompte étant 29^60. On dit alors que l'escompte est en dehors, tandis que dans la première manière d'envisager la question il est en dedans.

Ainsi on appelle escompte commercial ou en dehors la retenue qui est faite sur le montant d'une créance qui ne doit être payée qu'au bout d'un certain temps, et dont on veut être payé avant l'échéance. La manière dont se calcule cette retenue dans la banque ou le commerce n'est pas équitable ; on retient, en effet, Tintérèt de la somme portée sur le billet (ou de sa valeur nominaie)^ et on ne paye néanmoins qu'une partie de cette somme.

LXYI. Un banquier qui a un compte courant avec un négoeUm a reçu pour lui: !• 4528' le 16 février 1847 ; 2° 3256', 75 le 13 mars; 3"1520' lel^ avril; déplus, il lui redevait^ au 31 décembre 1846, 2321', 15. Uun autre côté^ il a payé pour lui 2500' le Ik janvier, et 5000' le 3 mai. On propose de régler le compte au 30 juin 1847, sachant d^ ailleurs que le banquier s'est réservé une commission de | pour 100 sur les sommes qu'il a encaissées, et que le taux de Pintérêt est de 5 pour 100. .

On pourrait évidemment résoudre la question en calculant d'une part ce que le banquier doit au négociant, tant pour les sommes qu'il en a reçues que pour leurs intérêts, et d'une autre part ce qui lui est dû, tant pour les payements qu'il a faits que pour leurs intérêts et pour son droit de commission. Mais on a trouvé un moyen très-ingénieux d'établir un compte courant, et qui permet de le régler, presque sans calculi, le jour qu'on le désire.

Il est clair que, si le banquier qui a reçu 4528' le 1 6 février 1 847 enpayerintérèt depuis le 31 décembre 1846 jusqu'au jour oùl'on règle le compte, le négociant lui devra l'intérêt de cette somme depuis le 3Î décembre jusqu'au 16 février, c'est-à-dire pour

47 jours. On portera donc le premier de ces iajtérèts au doit Ai banquier, et le second à son avoir.

Or, puisque 100' rapportent 5' en 860 jours» Tiat^^ d'ui franc pour un jour est j^ = ^^, et par conséquent le capital 4528' rapportera en 47 jours QiSLu^^pM.çsz^^M^ Ainsi, pom avoir Pintérit d'un capital à 5 pour 100 par on, il faut multiplia le centième de ce capital par le nombre des jours pendant lesquek il a été placée et diviser le produit {les banquiers Vappelkntk nombre) par 72, de sorte que la somme des intérêts produits par différents capitaux est égale à celle des noiabkes cprrespmdatits divisée par 7^**

D'après cela, le jour même où une somme entre 4»m sa caisse ou en sort, le banquier porte en regard à son xfm ou à son noiT le nombi^ correspondant. Ainsi U écrira iPîs-Ârm de 4528 et à son avoir le nombre 2128*'^, produit de 45^28 par 47.

Veut-on maintenant régler le compte au 30 juin, par exemple: on se rappellera que le banquier doit l'intérêt de cbacune des sommes qu'il a reçues depuis le 31 décembre jusqu'au 30 juin, c*est-à-dire pour 181 jours, et qu'il a (on lui doit) l'intérêt pouf le même temps de chacune de celles qu'il a paj;ées : de sorte qu'il faudra ainsi porter àsouDOiT ou à^onAYOïRl'intéirêt pour 181 jours de la différence entre la somme des capitaux qui sont entrés dans sa caisse et la somme de ceux qui en sont sortis, différence qu'en style de banque on appelle la balance des capU

* Ce nombre 72, corre^ondant au taux de 5 pour 100, s'appelle le lovi- SEUR. A chaque taux correspond un diviseur qui en dépend et ne dépend que de lui. Ainsi, les diviseurs correspondants aux taux de 3 pour 100, 4 pour 100,

|. pour 100, sont respectiyement 120, 90, 80. En général, si Ton appelle A le capital, t le taux de Tintécét, n le nombre de jours pendant lesquels ce

capital a été placé, la valeur du nombre est ^^=î7)Â X^i ^^^^ ^^ Diyimnn

estD=^^, etrîmérôt est 1=5^

*^ Ce nombre est calculé à moins d'une demi-unité t car on conçoit qu'en le divisant par 72, le quotient ne sera pas erroné d'un eeinHme,

ses

lauœ. EUe est ici, en faveur du négociant, de i'iîi'JfiO—lbOQ' — 4125',90, somme qui pour 181 jours produit le nombre 7468, que l'on porteau doit. On voit alors que la balance des noubres est 8112, dont le quotient par 72 fournit un intérêt de 112',67 que l'on écrit dans la colonne des sommes reçues, puis on additionne celte colonne, ce qui donne 11738',57. En ajoutant ensuite aux payements faits par le banquier sa commission, qui, à i pour 100 sur une somme de 9304',75 qu'il a encaissée, produit 3l',02, on trouve pour résultat 7&3l<,02. Ainsi le banquier doit 11733',&7, et il a 7531',02 : donc ie négodant est créancier de la différence, c'est-à-dire de 4a07',&5.

On dbpose ordinairement les comptes courants comme ciaprès:

DcttT M. If*** ton. compte cowata ekes N"*, banqui

AvotR.

îd

pllDDX 41 15,90

sur S334,7i.; 3I,0S

Fé.r.

aviiVi.;""'-

nombres..., Mî.m

■j.pan, Tïic^r SO juin 1947 U07.SS

mi

XVII. Viu personne qui a besoin ^argent propote, le 30/utn 1853, à un banquier de lui escompter ûs effets suivants : l*tto6»Ue*tfe 600 francs payable le 5 septembrt 1853; V un bilta de 850',50 payable le l" décembre 1853,- 3° un bSlet de lOOO francs payable le 10 janvier 1S54. Le banquier prend rescomple à raison de 6 pour 100 .- quelle tomme remetlra-t-4i au porteur du billets?

On appliquera arautageusement à la solution de«lte qucfi-

264 PROBLËMES.

tion la méthode des nombres et des diviseurs. Le diviseur cor- ff ^ respondant au taux de 6 pour 100 est 60; on disposera le cal- r cul de la manière suivante :

Capitaux. Datet. Joars. Kombresy

600' du 20 juin au 5 sept. 77 462

850,50 » 1^'déc. 164 1395

1000 » lOjanv. 205 2050

2385,38 (à payer); ^=65', 12 (escompte).

On a compté les jours pour chaque effet, et formé les nombres correspondants; puis on a divisé la somme des nombres par le diviseur correspondant au taux donné. On a ainsi obtenu Yescompte que le banquier retient sur le montait de la valeur nominale des billets.

LXYIII. Une propriété en vignes est à vendre :

La première année, elle a produit 84 hectolitres de vin qui s'est vendu à raison de 30' Vhectolitre^ et les frais de toute espèce sé sont élevés à 212^

La deuxième année^ on a récolté 79 hectolitres qui se sont vendus à raison de 35', et les déboursés ont été de 181'.

La troisième année ^ le produit a été de 103 hectolitres qui ont été vendus à raison de 32', et on a dépensé 236'.

La qtmtrième année, la récolte a été de bl hectolitres que Von a vendus à raison de 40', et on a dépensé 218'.

La cinquième année, on a dépensé 254', et on a récolté 112 hectolitres valant 28' rhectolitre.

Le revmu d'u/ne pareille propriété s'estime en prenant la moyenne (Probl. XVII) des revenus obtenus pendant 5 années consécutives; on demande comMen un capitaliste, qui serait obligé de faire gérer ce domaine par u/ne personne à laquelle il donnerait 5 powr 100 du revenu brut, devrait racheter, pour placer son argerU à 4 | vour 100 par an.

La dépense se trouvant augmentée d'un yingtiëme du produit brut , à cause des frais de gestion , on trouvera :

Produit net pour 5 ans Il 968', 1 5.

Valeur de la propriété 53 I9l',78.

LXIX. Un manufacturier veut acheter un teirain sur lequel U froisse établir ses itsines. Il a le choix entre deux propriétés^ différentes : Vune lui est offerte pour 100000 francs , et Vautre pour 72000 francs. S*il achète celle- ci y il l'occupera tout entière; ii s'il achète la première, il lui restera des terrains quHl amodiera 1500 francs. Dans les deux cas, il doit retirer de son commerce^ qui lui produit un intérêt de 1 \ pour 100, les fonds nécessaires pour payer son acquisition. Laquelle des deux propriétés doit^il acheter?

Réponse : La deuxième propriété.

LXX. Un négociant a un compte courant avec un banquier, aux conditions suivantes: les intérêts se règlent au taux de 4 1 pour 100 par an, et le banquier prend une commission de ^ pour 100 sur chaque somme quHl encaisse. Ce négociant vient de recevoir une somme dont il ne pourra trouver l'emploi que dans 18 jours; vaut'U mieux, pour lui, la laisser dormir dans sa caisse, ou la déposer chez son banquier?

R^onse : Le négociant gardera son argent.

LXXI. Quelle est lavaUur actuelle Sun billet de 800 francspayable dans 5 ans 5 mois? V intérêt est pris à raison de 10 pour 100 par an, et Von a égard aux intérêts des intérêts.

Pour se former une idée nette de ce qu'on entend par intérêts composés, il faut concevoir qu'une personne emprunte une certaine somme, 200^ par exemple, pour un an. Elle devra à l'échéance du billet cette somme plus ses intérêts, c'est-à-dire 220'. Si donc cette personne ne peut s'acquitter alors, elle devra à son créancier, au bout de la seconde année, les 220' qu'elle lui devait à la fin de la première, plus les intérêts de

ceUe somme, ^est-ir-dire 248'; el ainsi de suite d'aDiiëe en année, jusqu'à TacquiUement de la dette, de «Nrte qu*à la fia 4e chaque année les intérêts s'ajoutent au capital pour produire eux-mêmes un int^êt. Cela posé, puisque l'intérêt est de 10 pour 100, 1' rapporte en un an ^ d'intérêt, et yaut par conséquent 1' +^ =^ au bout d'un an, tant en principal qu'en intérêts. Ainsi, pour avoir la valeur dCun capital au bout dCu» an a 10 pour 100, il faut le multiplier par |^. U suit de U que I^ au bout de 2 ans, ?audra en principal et intérêts |i .-fj ^(ii)*;

au bout de 3 (i4)*.ié=(ii)';

au bout de 5 (j^)*.

Donc, si le débiteur jouit encore de cette somme pendant 5 mois, il devra (Problème LXIV) à celte époque (ii)'.|î : telle est donc la valeur d'un fi*auc prêté à 10 pour 100 par an au bout de 5 ans 5 mois. Si donc on connaissait le capital inconnu, en multipliant (ji)". If par ce capital, on devrait trouver SOQ'; donc, en divisant cette somme par (ii)'.Mj '^ quotient

résoudra le problème. On trouvera 476',87.

En général, soient A un capital placé pendant n années à intérêts composés, i le taux de l'intérêt, G la valeur de ce capital au bout de n années ; on aura la relation

Si le placement était fait pendant n années et une fraction d'année -, on aurait

On résoudra facilement, au moyen des logarithmes, les questions sur les intérêts composés. Ainsi , dans notre pro* blême, le logarithme de la valeur cherchée sem égal A log768 4-A.(l — logll).

s ly. QuassTiONS diverses.

• LXXII: Trouver au bout de combien (f années la population de la France sera doublée y en supposant que l'accroissement ^ qui est actuellement de j^ par an, se maintienne le même.

On verra facilement (Problème LXXI) que la population de la France sera, au bout de n années, les (jM)* ^^ ce qu'elle est actuellement, de sorte que, pour qu'elle soit doublée, il faudra que ce nombre soit égal à 2. Donc le logarithme de 2^ c'est-à-dire

0,30103 = log(f|î)'»=(285)n.log{|S|) = n. 0,00223.

Ainsi 0,30103 étant le produit du nombre inconnu n par 0,00223, on aura la valeur de n en divisant 0^30103 par 0,00223, ce qui donne 135 ans environ.

LXXIII. Un corps qui tombe dans le iride à la surface de la terre parcourt 4",9 dans la première seconde de sa chute; le triple de ce nombre dans la deuxième, le quintuple dans la troisième, le septuple dans la quatrième, et ainsi de suite. Gela posé« on laisse tomber une pierre dans un puits de mine, U Von trouve qu'elle est larrivée au fond au bout de n secondes*. Quelle est laprofond&ur du puits^ en faisant abstraction de la résistance de l'air, qui est peu considérable si la pierre est loujrde, ^t du temps que le son emploie à se transmettre?

Les espaces parcourus pendant la première^ Ja deuxième, la troisième. .^t seconde de la chute, forment une progres^ou par diiférence dont la raison est le double de 4k"',9 : de mvie que la profondeur du puit3 est la ^omme des n premkers termes de cette progression^ Mais il est évident que cette somme e^ ë^e h 4°',9 multipliés par la somme des n premiers nombres impairs, c'est-à-dire par n' (Exemple du n* 271) ; de sorte que pour obtenir la profondeur du puits il faut multiplier le nombre ^,9 par le cwrvé ûm nombm de je^mfes ^ve la pierre a mif pow arriver au fond*

LXXI V. Quelle somme devra-t-on remettre à un agent de change pour acheter 800 francs de rente sur l'état en 3 pour 100 ^ et 500 francs de rente en 4 ^ pour 100, sachant : V que^ le jour de l'opération^ le cours de la rente 3 pour 100 est Iff^lb, et qw celui de la rente 4 ^ pour 100 est lOlSlO; 2* quHl est dû à Vagentde change un courtage de ^ pour 100 du prix de la rente achetée!

Puisque la rente 3 pour 100 est à 76',75j cela signifie que, pour acheter 3 francs de rente, Tagent de change devra donner 76',75; donc, pour acheter 800' de rente 3 pour 100, il devra donner ifiîipûfl== 20466', 67 (Problème LUI). De même, on trouvera que pour acheter 500 francs de rente 4 ^ pour 100, il devra donner i ff^'^<ym =:U233',33. L'agent de change

dressera donc son bordereau de la manière suivante :

800* de rente 3 •/, à 76',75 20466',67

500' de rente 4 ^ V^ à 101', 10.. . . 11233',33

Courtage (*/, p. •/•) 39', 63

On devra donc remettre 31739',63 à l'agent de change.

LXXV. Combien^ pour une somme de 22 000 francs^ pourrorP-on faire acheter de rente 3 pour 100 au cours de 76',75P

On commencera par observer que la somme de 22 000', remise à l'agent de change chargé de l'opération, se compose de la somme nette employée à l'achat de la rente, plus de ^ de cette somme pour courtage; donc 22 000' valent les f-Jé de cette somme; donc cette somme est 22 000'x|^. Or, pour 76',75 on achète 3 francs de rente; donc, pour 22000'.fgf , on aura y^ X "og^o-sott francs de rente, c'est-à-dire 858',85.

On trouverait facilement qu'en achetant du 4| pour 100 au cours de 101', 10, on aurait eu, pour la même somme de 22000', 978 francs de rente.

LXXYL Une personne a acheté une propriété 50 000' payables dans dix ans et à raison de 5 pour 100 d'intértt par an; mais

t^est réservé la faculté éC acquitter sa dette au moyen de dix fêmenls égaux effectués à la fin de chaque année. On demande ^fÊtUe est FAmujTt, c^est-à-dire quelle est la valeur de chacun de ets payements.

On voit d'abord que la dette à acquitter se compose du capital 50 000' et de ses intérêts composés pendant dix ans , et qu'ainsi sa valeur est (Problème LXXT) 50 000'. (f^)'*.

Gela posé , admettons que Ton paye un franc seulement au commencement de chacune des 10 années, et cherchons quelle partie de la dette on aura ainsi acquittée. En payant l' au bout de la première année, le (lébiteur anticipe ce payement de 9 années, de sorte qu'il se prive, en faveur de son créancier, de ce capital et de ses intérêts composés pendant 9 ans, c'est-à-dire d'une somme égale à (|^)* ; donc il éteint de cette manière une partie de sa dette égale à (fi)*. On verra de même que les payements effectués à la fin de la 2% de la 3*...., de la 9* et de la 10* année diminuent la dette respectivement de (f^)S (f^y.-, f^ et de 1' ; le débiteur aura donc acquitté une somme égale à

(5i)*+(5i)'+(My+... + i* + i,

c'est-à-dire à la somme des 10 termes d'une progression géométrique croissante dont le premier terme est 1, le dernier (f^)*, et la raison lé.En appliquant la règle du n* 876, on trouvera,

pour cette somme, ^i =[(Î4)" — l].20.Telleestdoncla

. portion de la dette que le débiteur aura éteinte au moyen de 10 annuités d'un franc ; donc , pour l'éteindre entièrement, il faudra que chaque annuité soit d'autant de francs que [(f^)** — 1].20 sera contenu de fois dans 50 000*. (fi)*% c'est-à-dire que l'annuité soit égale à

[(îi)**-i].2o"- mr-i •

Pour effectuer ce calcul , on prendra la différence des logarithmes de 21 et de 20, on multipliera cette différence par 10, ce qui donnera le logarithme de (|^)^^; on cherchera le nombre correspondant dans les tables, et, en en retranchant l'unité, on

aura la valeur da dénominateur .^ Il sera Cacile d'avoir ensuite le logarithme du numérateur, de sorte qu'il n'y aora^ plus qi^fc en soustraire le logarithme du dénomini^eurï et à chereher le nombre correspondant au logarithme résultant. Oa timwei» ainsi que l'annuité est de 6475',28.

LXXYU. Vhe compagnh affre, pouf un cnpiuU â$ 1X)00' pkd sur la Uie (Tun enfant ncwoeau^néy 3660' pagables>à swvingtièm année. Il résulte des tables de M(»talit< qu»^ sur 1 000»000 d^ei^ fanls nés la même année j il n*en* reste aprts 20 an» que 502 im On demande quel sera le bénéfice de kk compagnie si eUe assure 1000 enfants?

La somme des mises est de 1 000 OOO', capital qui, placèà ith téréts composés et au taux de 5 pour 100 par an; yau(bu 2653291' au bout de 20 aus. Or» puisque sur 1 000000 d'en* fknts nés la même année, il n'en reste que 502 216 api*ès 20'afls, sur 1000 il en restera 502; donc la compagnie aura à payer, au bout de 20 ans, 3660' X 502 =a: 1 837 320, et par conséquent son bénéfice sera de 2 653291 ^ 1 837 320 = 815 971.

LXXYIII. Une personne dgée de soixante ans possède un capital qu*elle vend à fonds perdu, moyennant une rente viagère de 7600* par an. On demande quelle est la valeur de ce capital, en supposant que le taux de Vintérêt soit de 5 pour 1 00, qu*une personne dgée de soixante ans ait la probabilité de vivre encore treize ans, eP en admettant que la rente de 7600' doive être acquittée par avance au comm^encement de chaque année.

Il suit de l'énoncé de ce problème que l'acquéreur du capital a dû supposer qu'il aurait à faire treize payements de 7600^ chacun, le premier étant effectué le jour même de la signature du contrat de vente, et le dernier au commencement de la treizième année. Ainsi, au commencement de la treizième année, le rentier aura joui du premier payement pendant douze années, du second pendant onze années, du troisième pendant dix annétô, et ainsi de suitè« Si donc sa rente était de 1', et qu'au lieu de remployer pour ses besoins , il l'eût placée chez

on banquier aux taux de 5 pour 100 par an, en laissant accumuler les intérêls, il se trouverait posséder, après le treizième payement effectué, une somme égale à

Telle serait donc la somme que l'acquéreur du capital aurait déboursée, s'il n'avait eu à payer qu'une rente de V. Puis donc que la rente est de 7600', il aura réellement payé

»"— 11. 20.7600 = 152000. [(fi)"— 1].

Or cette somme doit être égale à la valeur qu'aura acquise le capital inconnu" dans Tintervalle compris entre le premier et le dernier payement, c'est-à-dire pendant douze ans, et cette laleur s'obtient en multipliant ce capital par (f^)*' ; donc on trouTera le capital cherché en chvisant 152000^ [(f^/*— l] par (îi)", ce qui donnera

En effectuant les calculs d'après les indications données dans le problème LXXVI, on trouvera pour résultat 74960', 50. Telle est donc la valeur du capital demandé.

LXXIX. Insérer quatre moyens proportionnels entre 15 el 20.* On obtiendra la raison de la progression demandée en extrayant la racine cinquième de ^ (274), f alcul que nous effectuerons par logarithmes de la manière raivante (284) :

log 20 = 1,30103 log 15= 1,17609

0,12494 ÏO&V^= 0,02499

Donc, en ajoutant ce logarithme au logarithme du plus petit nombre, on aura le logarithme du premier moyen ; en l'ajou-

tant à ce nouveau logarithme , on trouvera celui du second moyen et ainsi de suite; donc

log l"moyen= 1,20108.... l»' moyen =15,888

log 2* moyen= 1,21607. ... 2» moyen= 16,830

log 3* moyen= 1,25106. ... 3* moyen= 17,826

log 4« moyen = 1,27605. ... 4« moyen = 18,882

LXXX. Insérer une moyenne proportionnelle entre les nombres 12 e^ 27 au moyen de la Règle à calcul.

La moyenne proportionnelle cherchée n'est autre chose que la racine carrée du produit de 12 par 27. J*amène le 1 de la Réglette sous le premier nombre 12 lu sur l'échelle supérieure de la Règle, et, au-dessous du second nombre 27 lu sur la Réglette, je trouve sur l'échelle inférieure de la Règle le nombre 18, qui est la moyenne proportionnelle cherchée. Ce nombre 18 repond, en effet, sur l'échelle supérieure de la Règle, au produit de 12 par 27 ; il est donc la racine carrée de ce produit.

DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATIONv

BT EN PARTICULIER