ira?*': a?' [3J
a/' représente le nombre des ouvriers qui sont nécessaires pour faire 42"' k^ 8?* d'un ouvrage dont la difficulté est représentée par 5, en travaillant lO"*!*^ par jour, avec une activité représentée par 72 : mais cette activité doit l'être par 77; donc nous aurons à résoudre cette quatrième question : of ouvriers, dont V activité est représentée par 72, ont fait un certain ouvrage; combien faudrait-il d'ouvriers, dont Cactivité serait représentée par 77, pour faire le même ouvrage? Puisque la seconde troupe a plus d'activité que la première, elle doit être moins nombreuse; donc
et la valeur que l'on trouvera pour oT résoudra évidemment le problème.
Pour obtenir cette valeur, nous multiplierons les proportions [1]> [2], [3], [4] par ordre (260); et comme les quantités inconnues a?, a?', a;" seront facteurs communs aux deux termes du second rapport de la proportion-produit, nous pourrons les supprimer, et il viendra
d'où l'on tire
/«*' 7 5w*'22 6-30 80 14-72 i Hout
en supprimant les facteurs communs aux deux termes de l'expression de a?*.
Méthode dite de réduction à Vunité. — Les problèmes que nous venons de résoudre (L.. . LÏI),et ceux que nous avons traités
précédemment (VIL..- XIII..., XXII.,.. XXV), sont, comme on TOit, tels, que les quantités que Ton y considère y forment les termes de deux séries parallèles : chaque terme pris dans Tune ^-^ d'elles correspond dans l'autre à un terme de même espèce ; et si l'on compare les deux termes correspondant à Tune quelconque des quantités considérées avec les deux termes correspondant à une autre quelconque de ces quantités, il arrive toujours que ces deux quantités varient, soit dans le même i*apport, soit en rapport inverse.
Tous ces problèmes peuvent aussi se résoudre par une méthode générale dite de réduction à Vunitè. Cette méthode est ainsi nommée parce qu'elle revient à décomposer chaque règle de trois simple en deux autres ayant chacune un terme égsJ à Tunité ; de ïorte que Ton est ramené à résoudre des questions identiques aux problèmes I, II, III, V et VI. Elle va être mise en évidence par les exemples suivants.
LUI. ^^ ouvriers ont fait un certain ouvrage en 126 jours^ combien faudrait-il de jours, à 24 ouvriers, pour faire le même ouvrage dans les mêmes conditions?
Nous raisonnerons de la manière suivante :
1® Si 32 ouvriers ont mis 126 jours pour faire un ouvrage, combien un ouvrier mettra-t-il de jours pour faire le même ouvrage?'
Il est clair qu'un seul ouvrier mettra 32 fois plus de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à 126JX32.
2* Si UN ouvrier met 126^X32 pour faire un ouvrage, combien 24 ouvriers mettront-lis de jours pour faire le même ouvrage?
Il est évident que 24 ouvriers mettront 24 fois moins de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à i^||âi = i263 Xiî^ 168 jours.
Ainsi, en disposantes données de la question etTinconnuQ wir deux lignes horizontales de la manière suivante :
on voit qae la valeur de Tinconnue x s'obtient en moltiplianM la quantité donnée correspondante 126 par le rapport f{ de^ deux autres quantités données, celle d'en haut étant divisée par celle d'en bas, si, comme dans notre exemple, elles varient dans un rapport inverse de celui des quantités de même espèce que Tinconnue {moins il y a d'ouvriers, plus il faut de jours), Le rapport se formerait en divisant celle d'en bas par celled*en haut, si ces deux quantités variaient dans le même rapport que rinconnue et la donnée correspondante.
LIV. 48 ouvriers f travaillant 14 heures par jour^ ont mis 54 jours pou/r creuser un fossé de 12 mètres de long sur 6 décimètres de large et 9 de profondeur , dans un terrain dont la difficulté est représentée par 14 : combien de jours mettraient 36 ouvriers ^ qui travailleraient 10 heures par jour, pour creuser ^ dans un terrain dont la difficulté est représentée par 8, un fossé de 225 décimètres de long sur 8 de large et 4 de profondeur? L* activité et la force des premiers ouvriers sont représentées par 15 et 21, et celles des se^ condspar 18 et 20.
Nous commencerons par disposer sur deux lignes horizontales les quantités correspondantes, données et inconnue :
48°"\ lk\. 54J..' 120^. e\. 9P'.. 14*.. 15-.. 21'.
Supposons d'abord que les ouvriers travaillent le même nombre d'heures par jour; que le travail soit le même, ainsi que leur force et leur activité, etc.; nous dirons : 48 ouvriers ont mis 54 jours pour faire un certain ouvrage; combien 36 ouvriers mettront-ils de joui's pour faire le même ouvrage dans les mêmes conditions ?
1 ouvrier mettra 54ix48
36 ouvriers mettront.... ^(p = 54ixJJ. ».
Ainsi 36 ouvriers, travaillant 14 heures par jour, mettent &<^^X 13 pour creuser un fossé de 120 décimètres de long sui* 6 décimètiHîs de large, etc.; combien de jours mettraient 36 ou-
vriers, travaillant 10 heures par jour, pour creuser un fossé de
225 décimètres de long sur 8 de large, etc. î Nous supposerons
que les dimensions du fossé, la force et l'activité des ouvriers
soient les mêmes, et nous dirons : des ouvriers ont mis
5^X il pour faire un certain ouvrage en travaillant 14 heures
^ parjour ; combien les mêmes ouvriers mettraient-ils pour faire
le même ouvrage en ne travaillant que 10 heures parjour?
En travaillant une heure parjour, ils mettront 54i x Jf X 1^«
En travaillant 10 heures parjour, ils mettront S^— —
=54ixfiXfJ. Ainsi 36 ouvriers, travaillant 10 heures par jour, mettent 54ixf|Xi5pour creuser un fossé de 120 décimètres de long sur 6 décimètres de large, etc. ; combien de jours mettrait le môme nombre d'ouvriers, travaillant le même nombre d'heures, pour creuser un fossé de 225 décimètres de long sur 8 de large, etc. ? Nous supposerons que la longueur du fossé varie seule, toutes les autres conditions restant constantes, et nous dirons : des ouvriers ont mis 54ix|îX{^ pour creuser un fossé de 120 décimètres de long ; combien mettront-ils de jours pour creuser un fossé de 225 décimètres de long?
Pour creuser un décimètre, ils mettront -|^; — î^.
54JX4-«x~
Pour creuser 225 décimètres, ils mettront r^r — ^ X 225
= 54ix|f X BXfto' ^^ continuera de la même manière, en réduisant successivement à Vunité chacune des quantités de la première ligne, et déterminant ce que devient le nombre de ju. On trouvera ainsi :
a?=54ixitXl^XfigX|XfXAXi|X|i, 541.48.14.225.8.4. 8.15.21 ,^.
OU bien a?= — oa ^(^ ion ^ Q 1/ 1Q oA =^^JQ^rs.
(H est bien entendu qu'avant d'effectuer les opérations ou aura soin de simplifier la valeur de a?, en supprimant aux deux termes de la fraction tous les facteurs communs que l'on apercevra.)
Ainsi, nous avons ramené le problème composé à la résolution de plusieurs problèmes simples analogues au problème LUI; rinconnue de chaque problème simple devient une donnée du suivant, et chacun d'eux se résout par la réduction à l'unité. Il est facile d'arriver à la règle générale suivante :
Les données de la qiiestion et V inconnue étant disposées surdem lignes horizontales j en faisant correspondre les quantités de mtm espèce^ la valeur de l'inconnue est égale au produit de la quantUé donnée correspondante par les rapports successifs des quantités données de même espècCy divisées : celle d*en bas par celle d'en ha\A quand elles varient dans le même rapport que les quantités de {espèce de l'inconnue; celle d'en haut par celle d*en bas quand eUe$ varient dans le rapport inverse,
LV. 75 ouvriers, travaillant 9*»f par jour, ont fait un oih vragede 184", 8, dont la difficulté était représentée par f : combien faudrait-il d'ouvriers, qui travailleraient 10**^ par jour^ pùur faire, dans le même nombre de jours, 84",7 d^un ouvrage dont la difficulté serait représentée par J, en supposant d'ailleurs que f activité de la première troupe soit représentée par 72, et celle de la seconde par 11%
On commencera par convertir chaque nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction ; puis on réduira au même dénominateur les fractions qui expriment des collections de parties de la même unité, et l'énoncé de la question proposée deviendra celui-ci :
75 ouvriers, travaillant ^^ d'heure par jour, ont fait un ouvrage de 1848 décimètres dont la difficulté était représentée par f|: combien faudrait-il d* ouvriers, qui travailleraient ^ d'heure par jour, pour faire, dans le mime nombre de jours^ 847 décimètres d'v/n ouvrage dont la difficulté serait représentée par -f|, en sup^ ' posant d'ailleurs que V activité de la première troupe soit repré^ senièe par 72, et celle de la seconde par 11 ?
On trouvera facilement pour le nombre d'ouvriers cherché :
rp — 7r-«uT vx 22f> S<' 84.7 . v^/ JLi -yc: 72 — 07
eu
