SIMPLIFICATION DU CALCUL DE LA RACINE CARRÉE

529. Lorsqu'on aura trov/vé plus de la moitié des chiffres entiers de la racine carrée d'tm nom^e^ on obtiendra tous les au^

très en divisant k reste par le double de la racine trouvée^ et Von ne commettra pas ainsi une erreur d'une unité.

Représentons par n le nombre proposé, par a la valeur de la partie trouvée de la racine, et par b la partie complémentaire de cette racine» de sorte que

d'où ^'-^^^H

Gela posé, désignons par q le quotient et par r le reste de la division de n— a' par 2a ; on aura

ef, en vertu du principe du n* 247,

. r — fc* , -5* — r

b — g=— T — , ou q — ô=i ,

suivant que q est < ou >6.

Or, si b renferme m chiffres entiers, son carré 6* en renferme 2m au plus, car 6"<10*'*; mais la valeur de a est exprimée par un nombre de(2m-fl) chiffres au moins, puisqu'on suppose que Ton a trouvé plus de la moitié des chiffres entiers de

la racine ; donc — est moindre qu'une unité. D'ailleurs r- < 1 ; * a ^ 2a ^ *

donc— 5 — <1, et^ <i; et comme b—q ou q—b est

Terreur que l'on commet en prenant a + g au lieu de a -f- ^t selon que g<6 ou >ô, on voit que cette erreur est moindre qu'une v/nité si la racine est obtenue par défaut, et moindre qu'une demi-unité si on l'a par excès.

Or, si la racine est exacte, b est un nombre entier, donc &=g, et partant r= 6*= g*; si g<ô, il faudra que r soit > 5* et à fortiori '^ q^ ; mais si g>ô, il faudra au contraire que r soit <&* et à fortiori <g*; donc :

La racine sera exacte^ ou approchée par défaut et à moins d'une unité, ou approchée par excès et à moins d'une demi-unité, lorsque

le reste de la division sera égal au carré du quotient de cette division^ ou plus grand que ce carré, ou plu>s petit.

II est bon de remarquer que si le premier chiffre à gauche de la racine n'est pas moindre que 5, il suffira de calculer directement la moitié des chiffres entiers de la racine, et Ton pourra obtenir tous les autres parla division, car b^ sera alors <C2a.

Exemple : Extraire la racine carrée de 67845396478952345. La racine devant contenir neuf chiffres, on calculera d'abord les cinq premiers d'après la méthode ordinaire, et l'on trouvera pour la valeur de cette première partie de la racine 260470000 et pour reste correspondant 775578952345, qu'il faudra ainsi diviser par 520940000, ce qui revient à diviser 77557895,2345 par 52094; le quotient est 1488, et le reste 420232345, quantité plus grande que le carré de 1488, car ce carré contiendra au plus huit chiffres (58) : donc la racine demandée est 260471488, valeur approchée par défaut à moins d'une unité.

SUR LA LIMITE DU NOMBRE DES DIVISIONS A FAIRE POUR TROUVER LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES.

330. Si l'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur d, et que l'on cherche le plus grand commun diviseur des deux quotients ainsi obtenus, les restes que l'on trouvera dans cette seconde série d'opérations seront respectivement égaux à ceux de la première divisés par d (80) : donc^ dans la recherche d'une limite du nombre des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on peut supposer que ce plus grand commun diviseur soit l'unité.

Cela posé, soient D, E, F, G,... plusieurs diviseurs consécutifs, et admettons que, conformément à la simplification que nous avons indiquée au n® 02, chacun de ces nombres soit inférieur à la moitié du précédent. Si la division de E par F a été faite par défaut, on a

E=ou>2F-l-G:

et, si elle a été faite par excès,

E=ou>3P— G.

Or, F étant plus grand que le double de G, on voit que 3P — G , qui est égal à 2P+F — G, est plus grand que âP+G, et qu'en conséquence, quel que soit le mode de division que Ton ait employé, on aura toujours

E=ou>2P+G; donc E>66,

puisque P>26; par suite, D>10G,

car D>>2E. Ainsi, en comptant les restes dans Tordre où ils se succèdent à partir du dernier, on pourra dire qu't^n reste quel' conque est plm grand que 10 fois celui qui vient trois rangs avant ce reste; or le dernier reste est 1, comme nous Tavons supposé; donc

le reste qui occupe le (3+ 1)**°^ rang surpasse 10 ;

par suite,

le resle qui occupe le (3+l+3)=(3.2+l)'*"»«rang surpasselO';

(3.2+l+3)=(3.3-f-l)""« rang surpasselO* ;

(3.34-l+3)=(3.44-lf "• rang surpasse 10*;

et, en général, le reste du rang (3n-|- 1) surpasse 10*.

Mais (3n-|-l) est précisément le nombre des divisions que Ton a effectuées, si l'on prend ce reste pour premier diviseur ; d'ailleurs 10* contient n + l chiffres; donc, pour que l'on effectue plus de 3n divisions, il faut que le plus petit, nombre contienne plus de n chiffres, ou autrement, le nombre des di' visions ne peut excéder le triple du nombre des chiffres du plus petit nombre.

Cette démonstration est extraite d'un article très-intéressant que M. Lionnet a inséré dans le quatrième volume desNouvelles Annales de mathématiques.

551. Les puissances successives d'un nombre plus grand quê l'unité sont de plus en plus grandes^ et croissent indéfiniment.

11 suit de la définition même de la multiplication que, si le multiplicateur surpasse l'unité, le produit est plus grand que le multiplicande : donc^ les puissances successives d^une quantité plus grande que l'unité sont de plus en plus grandes.

Maintenant, représentons par a une quantité plus grande que l'unité, et appelons b l'excès de a sur Tunité, de sorte que

KoL's aurons évidemment a,{a — l)>ô, c'est-à-dire

car, pour répéter (a^ 1) fois a, il suffit de le répéter a foiSiet de r(;trancber a du produit*. A plus forte raison aurons-nous

Or, il est clair que la somme des premiers membres des m relations [1], [2], [3]...., [m] est plus grande que celle des seconds ; mais celle-ci est m fois b ou b.m, et l'autre se réduit

à a* — 1 : car chacune des puissances a, a*, a\ a*~* est

alternativement additive et soustractive ; donc

Si donc on veut que a* soit plus grand qu'une quantité quelconque Cf il n'f aura qu'à donner à m une valeur telle que l'on ait

car à plus forte raison aura-l-on a" — l^c— 1, et par consé-

* Si a est un nombre fractionnaire^ on imitera le raisonnement fait dans la note dun* 290.

quento*>(?. Or, si l'on divise les deux membres de celle inégalité par 6, l'inégalité subsistera toujours dans le même sens : donc on aura

Ainsi Ton pourra toujours assigner à m une valeur qui rende la m**"' puissance d'une quantité plus grande que l'unité supérieure à toute grandeur donnée : donc, les puissances successives de cette quantité augmentent indéfinimenty ou ont IHnfini

pour LIMITE.

552. Les puissances successives d*une quantité moindre que Funité sont de plus en plus^tiles^ et ont zéro pour limite.

Il suit de la déHnition de la multiplication que, lorsque le multiplicateur est moindre que l'unité, le produit est plus petit que le multiplicande : donc , les puissances successives d'une quantité moindre que Funité sont de plus en plus petites.

Soit maintenant a une quantité moindre que l'unité: je désigne par d le quotient de la division de 1 par a, de sorte que a.a' = l; or, pour élever U7X produit à une certaine puis^ sance^ U suffit d'y élever ses facteurs (la démonstration est la même que celle donnée dans la noie du n* 202) ; donc a*" . 0'*"= 1 ;

et par conséquent, d'après la définition de la division, a*=-7r-,

Si donc on veut que a** soit moindre qu'une quantité quelconque - plus petite que l'unité, il faudra que l'on ait -75;<-, et c a c

partant a'** >c, inégalité à laquelle on pourra toujours satisfaire, comme nous l'avons vu tout à l'heure, puisque a'> 1. Donc, les puissances successives d'une quantité moindre que l'unité ont zéro pour limite.

533. Le théorème que nous venons de démonlrer prouve que, comme nous l'avons avancé au n° 27U, le dernier terme d^une progression géométrique décroissante est d'autant plus petit qu'il est plus éloigné du premier^ et a zéro pour limite^ lorsque la progression se prolonge indéfiniment: car, si l'on représente par

n le nombre des termes de celte progression, on a (275) I=a.r»-*, et comme. le facteur r*-* décroît indéfiniment, sin augmente jusqu'à l'infini, on voit que le produit a.r^^ décroît aussi jusqu'à devenir nul.

554. Nous avons dit (2Ô6) que si entre deux nombres quelconqv£s on insère un nombre infini de moyens proportionnels , la suite de ces moyens présentera toutes les nuances de la grandeur comprise entre ces deux nombres. Soient, en effet, (m — 1) le nombre des moyens proportionnels que l'on veut insérer entre les deux nombres proposés, et g le quotient obtenu en divisant le plus grand par le plus petit; la raison de la progression formée

par ces moyens sera ^q; de sorte que si a représente un de

ces moyens, le suivant sera représenté par a. ^q Or je dis qu'on peut assigner à m une valeur assez grande pour rendre

la différence (a. 7?—^) plus petite que toute quantité donnée 5. En effet, pour qu'il en soit ainsi, il suffira que y/q-^l <-,

ou bien que 75<l"l — > ^^ ^i^n encore que ?<(l + -) .

Or nous avons vu (551) que les puissances d'un nombre plus grahd que l'unité convergent vers l'infini en même temps que les exposants de ces puissances : donc on pourra toujours donner à m une valeur assez grande pour que ( 1 -| — j >g, ou

pour que a."/^— a<8. Donc, en insérant un nombre de moyens suffisamment grand entre deux nombres quelconques, on pourra faire que ces moyens croissent par degrés moindres que toute grandeur donnée. D'où l'on devra conclure qu'tb croîtront d'une manière continuCy lorsque leur nombre sera infini^ sans quoi l'on passerai! brusquement d'un moyen à un autre qui en différerait d'une quantité finie, ce qui est absurde, puisque la différence de deux moyens consécutifs peut être rendue moindre que toute quantité assignable.