Nous venons de voir que l'on pouvait concevoir une

progression géométrique commençant par l'unité, qui renferm&t tous les nombres possibles : soient n et vJ deux nombres quelconques, (p+l) et (p' + 1) les rangs qu'ils occupent dans cette progression ; si Ton appelle r et r' les raisons de deux progressions arithmétiques dont le premier terme est zéro et qui correspondent à notre progression géométrique, on aura évidemment

et L' . n = pr'^ V .n!= pW\

en désignant parles caractéristiques L. et U. les logarithmes du premier et du second système. Il suit immédiatement de là que

Ainsi, k$ logarithmes d'un même nombre^ dans deux systèmes différents, ont entre eux un rapport constant. Or, si n' désigne la base du second système (note du n*» 286), L'.n' sera l'unité, el Ton tirera par conséquent de l'égalité précédente

L'tn=-r— -jXL.n.

jLi . n

Ainsi, pour former une table de logarithmes y dans le système dont la base est un nombre donné n', il suffira de multiplier les logarithmes renfermés dans la table déjà calculée y par une fraction dont le numérateur est F unités et dont le dénominateur est le logarithme de cette base, pris dans l'ancien système. Cette fraction se nomme le module.