Les deux inégalités

entraînent Tinégalité.

En effet, les deux premières inégalités veulent dire qu'il existe des nombres rationnels a,6 tels que l'on ait

les nombres a, b étant l'un plus grand, l'autre plus petit que B, il est clair, d'après la condition I, que l'on a a > 6, et par suite A > 6; les inégalités

impliquent A > C, puisque b est rationnel. D'après cela il est légitime ae réunir les deux inégalités A > B, B > C dans la suite d'inégalités

Tannery. '2o

415. Il est souvent commode, pour démontrer que deux nombres A, B sont égaux, de s'appuyer sur la proposition suivante.

Deux nombres rationnels ou irrationnels A, B sont égaux si, quelque petit que soit le nombre rationnel a, il existe des nombres rationnels a, a' qui comprennent entre eux les nombres A, B et dont la différence soit moindre que «.

En effet, si A et B sont inégaux, supposons, par exemple,

il y aura une infinité de nombres rationnels compris entre A et B; soient p, q deux de ces nombres, tels que Ton ait, par exemple,

Les nombres A, B étant compris entre a, a', on aurait

et, en vertu des inégalités précédentes,

Al < A < p < q < n < a\

Les nombres rationnels p, q étant compris entre a, a', la différence entre* ces derniers nombres ne peut être plus petite que q — p.

416. Ces notions, relatives à l'égalité et à l'inégalité, vont permettre de développer une notion importante, celle de valeur approchée.

Considérons un nombre irrationnel A, c'est-à-dire, encore une fois, une loi de partage des nombres rationnels en deux catégories, qui jouissent des propriétés I et 11.

Soit « un nombre rationnel quelconque; envisageons la suite des multiples de a

0, «, 2a, 3a, ..., >ïa, (n : 0*» ••• î

chacun de ces nombres, étant rationnel, appartient à la première ou à la seconde catégorie, est plus petit que A, ou plus grand. Le premier, 0, est certainement plus petit que A; d'ailleurs, en s'avançant assez dans la suite, ou finit par trouver des nombres plus grands que tel nombre rationnel que l'on voudra, et par suite des nombres plus grands que A.

On appelle valeur approchée de A à a près, par défaut, le plus grand lerme de cette suite qui soit inférieur à A; si na est ce terme, (n 4- !)« sera plus grand que A ; ce sera d'ailleurs le plus petit nombre de cette suite qui soit plus grand que A; c'est par définition la valeur approchée de A à « près, par excès.

La considération de ces valeurs approchées montre clairement que, si on se donne un nombre rationnel • quelconque, on peut toujours trouver deux nombres rationnels, l'un plus petit que A, l'autre plus grand et qui aient entre eux une différence moindre que t. 11 suffit en effet de prendre a plus