Exemple : on a

on a donc v's > y 2 ; on aura d'ailleurs

V3^— V2^< 1,733 — 1,414 ou < 0,319, V'3 — V^2 > 1,732 — !,41o ou > 0,317,

par conséquent 0,31 est la valeur approchée a 0,01 près par défaut do

429. Observons maintenant que les démonstrations de toutes les propositions du chapitre II, § 2 (*), relatives à la façon dont on peut ajouter à un nombre, ou en retrancher, soit une somme, soit une diiïérence, etc., reposent uniquement sur les propriétés fondamentales de l'addition et sur cette proposition : Étant donnés deux nombres A, B, tels que l'on ait A ^ B, il y a un nombre C et un seul tel que Ton ait À = B + G ; ce nombre est nul si A est égal à B, il n'est nul que dans ce cas. Dès lors, il est évident que toutes ces propositions s'étendent immédiatement aux nombres irrationnels, puisque ces propriétés fondamentales subsistent. Il en est de même des propositions relatives aux expressions obtenues en ajoutant ou en retranchant successivement certains nombres dans un ordre déterminé (n" 63). Il en est de même enfin des propositions élémentaires sur les combinaisons des inégalités par addition ou soustraction, par exemple de ces théorèmes « en ajoutant à un même nombre deux nombres différents, on obtient deux

1. Il faudrait excepter la démonstration surobondanto du n» 62 qui no s'applique qu'aux nombres entiers.

nombres différents; on peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens, etc. ... », théorèmes qui résultent immédiatement des propositions fondamentales relatives à l'addition et à la soustraction.

Il en est de même des règles relatives aux calculs approchés, pour ce qui concerne l'addition et la soustraction, car ces règles reposent uniquement sur les propositions que je viens de rappeler, et l'on voit comment la connaissance, même limitée, de la représentation décimale d'un ou plusieurs nombres irrationnels permet déjà certains calculs approchés sur ces nombres.

430. Multiplication, — La définition de la multiplication et l'extension des propriétés fondamentales de cette opération se fait exactement de la même manière que pour laddition.

Le produit de deux nombres quelconques A, B dont aucun n'est nul est un nombre plus grand que tous les nombres que l'on obtient en multipliant deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B, et plus petit que tous les nombres que l'on obtient en multipliant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B.

Tout d'abord, s'il y a un nombre C satisfaisant à cette définition, il est unique. Ou devra avoir, en efTet, quels que soient les nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a', 6' respectivement plus grands que A, B, les inégalités

ab<C<a^ b';

or si l'on suppose a' — a = «, 6' — 6 = P, on aura

a'b' — ab = (a + «)(6 + p) — ab = ap-rb% + «p,

et il est aisé de voir que, en prenant convenablement les nombres a, 6, a', 6', la quantité ap + 6a + «p peut être supposée plus petite que tel nombre rationnel que Ton voudra; si l'on désigne, en effet, par p un nombre rationnel plus grand que A et que B, et si l'on suppose « et p inférieurs à un nombre rationnel • plus petit que 1, on aura

a^ + 6a + «p < Pi + pt + t ou (2p + i) ••

Si l'on veut donc que a'6' — a6 soit inférieur au nombre rationnel X. il suffira de supposer

2p-hi

et de choisir les nombres a', 6', a, 6 tels que l'on ait a' — a<t, 6' — 6 < t.

Si donc on considère un second nombre D tel que l'on ait, quels que

soient les nombres rationnels «, b respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a\ b' respectivement plus grands que A, B,

ab<D<a'b',

on aura nécessairement D = C (n* 415).

Cela posé, si un nombre rationnel est égal ou inférieur au produit de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A, B, on le rangera dans une première catégorie; s'il est égal ou supérieur au produit de deux nombres rationnels a', 6' respectivement plus grands que A, B, on le rangera dans une seconde catégorie.

Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie.

Dans la première catégorie il n'y a pas de nombre rationnel plus grand que tous les autres, car si un nombi*e rationnel c a été rangé dans cette catégorie comme étant le produit de deux nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A, B, il suffira de faire le produit de deux nombres rationnels a^ 6i tels que Ton ait

pour avoir un nombre a^b^ de la première catégorie plus grand que ab — c. Dans la seconde catégorie il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres.

S'il existe un nombre rationnel C qui n'appartienne ni à une catégorie ni à l'autre, ce nombre est plus grand que tous les nombres tels que a6, il est plus petit que tous les nombres tels que a'6', il est le produit des deux nombres donnés A, B; par suite, il est unique.

Si aucun nombre rationnel n'échappe à la fois aux deux catégories, le précédent mode de classification des nombres rationnels définit un nombre irrationnel C; ce nombre est le produit cherché, pour la même raison que tout à l'heure, et l'on écrit dans tous les cas

C = AXB, ou G = AB.

Il est aisé de voir que tout nombre rationnel plus petit que C peut être obtenu en faisant le produit de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A, B. En effet, il n'y a lieu à démonstration que dans le cas où le nombre c aurait été rangé dans la première catégorie comme inférieur (et non égal) au produit de deux nombres a, 6; mais de l'inégalité

c <a6 on tire alors

et c est le produit des deux nombres a<A et-<6<B; c'est ce qu'il

fallait démontrer. De même les nombres rationnels plus grands que G sont les mômes que les nombres que Ton obtient en faisant le pit)duit de nombres rationnels respectivement plus grands que A, B.

431. Le produit de trois nombres quelconques A, B, G rangés dans un certain ordre se définira comme le nombre obtenu en faisant le produit des deux premiers, puis le produit du résultat et du troisième nombre. Il s'écrira A X B X G ou ABC. Les nombres rationnels plus petits que ABG s'obtiennent en faisant le produit d'un nombre rationnel plus petit que G et d'un nombre rationnel plus petit que AB; mais ce dernier nombre est certainement le produit de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A,B; donc les nombres rationnels plus petits que ABG sont les mêmes que les nombres obtenus en faisant le produit de trois nombres rationnels a, 6, c respectivement plus petits que A, B, G. De même, les nombres rationnels plus grands que ABG sont les mêmes que les nombres obtenus en faisant le produit de trois nombres rationnels a', 6', c' respectivement plus grands que A, B, G.

Si l'on se donfle autant de nombres que l'on voudra, A, B, G, D, E, ..., leur produit ABGDE... se définira connue obtenu en faisant le produit des deux premiers A, B, ce qui donne AB, puis le produit de AB et du troisième G, ce qui donne ABC, puis le produit de ABG et du quatrième D, ce qui donne ABGD,etc.

En continuant de proche en proche le raisonnement que l'on vient de faire, on voit que les nombres rationnels plus petits quele produit ABGDE... sont les mêmes que les nombres que l'on obtient en faisant le produit de nombres rationnels a, 6, c, rf, c, ... respectivement plus petits que A,B, G, D, E, ..., el que les nombres rationnels plus grands que ce même produit ABGDE... sont les mêmes que ceux que l'on obtient en faisant le produit de nombres rationnels a', 6', c', d\ e', ... respectivement plus grands que A, B, G, D, E, ... . Gomme le produit de nombres rationnels ne dépend pas de Tordre des facteurs, on voit que la détermination des nombres rationnels plus petits ou plus grands que le produit d'autant de nombres que l'on voudra ne dépend pas de Tordre de ces nombres. Donc, dans un produit de facteurs quelconques, on peut interverlir Tordre des facteurs. Les conséquences de ce théorème (iV 78) subsistent aussi.

432. Par définition, le produit de deux facteurs est nul quand Tun de ces facteurs est nul. 11 n'est nul que dans ce cas : le théorème précédent et ses conséquences subsistent quand le produit considéré comporte quelque facteur égal à 0, car il est toujours alors égal à 0.

Le produit de A par i est A; en effet, soient a, 6, a', b' des nombres rationnels qui vérifient les inégalités

a<A<a', 6<l<6'; on aura

ab < a <A,

donc