DA = BA — CA

C'est ce qu'il fallait démontrer. Dans le cas ou B est égal à C, Ja proposition est évidente.

Les théorèmes sur la multiplication d'une somme ou d'une différence par une somme ou une différence étant des conséquences des Ihéorènies précédents, leur extension aux nombres irrationnels est immédiate; il en est de même des propositions suivantes :

Quand on multiplie un nombre, autre que zéro, par des nombres différents, les résultats sont différents, et le plus grand produit correspond au plus grand multiplicateur; on peut multiplier membre à membre des inégalités de même sens.

434. Division, — Étant donnés deux nombres A, B dont le second n'est pas nul, diviser A par B c'est trouver un nombre C tel que l'on ait

La théorie de la division pourrait être calquée sur la théorie de la soustraction; nous arriverons plus rapidement au résultat comme il suiL

Observons d'abord que, en vertu de l'une des propositions que Ton vient de rappeler, le nombre C, s'il existe, est unique.

Ceci posé, je montrerai d'abord que, étant donné un nombre iiTationnel B, autre que 0, il existe un nombre irrationnel C tel que l'on ait

BXC'= i.

Rangeons en effet dans une première catégorie tout nombre rationnel c dont l'inverse est plus grand que B; dans une seconde catégorie, tout nombre rationnel c' dont l'inverse est plus petit que B ; puisque l'on a

on aura c < c'; ainsi tout nombre de la première catégorie est plus petit que tout nombre de la seconde ; d'ailleurs chaque nombre rationnel appartient à l'une ou l'autre des deux catégories; enfin, dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre plus grand que les autres nombres de la même catégorie, car si c est un nombre de cette catégorie, il y aura

certainement un nombre rationnel compris entre B et -; désignons son

inverse par c, ; on aura

par conséquent c < c,. De même, dans la seconde catégorie, il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres. Ce mode de partage de tous les nombres rationnels en deux catégories définit donc un nombre irrationnel C. Il est maintenant bien facile de voir que le produit de ce nombre par B est égal à un.

Si, en effet, on désigne par 6, c des nombres rationnels plus petits respec-

livenwïnt que B et que C, c sera Fioverse d'un nombre rationnel 6' plus grand que B et par suite que 6 ; on aura donc

on voit de même que le produit de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que B et que G est plus grand que un. Ce nombre C ainsi défini, tel que Ton aitBxC = CxB = i, s'appelle

Pinverse de B et se représente par = •

435. Ceci posé, soit à diviser par B le nombre A. Que B soit rationnel ou non, il existe un nombre g tel que, en le multipliant par B, le produit soit un. Le nombre obtenu en multipliant A par ^ sera tel que, en le multipliant par B, on trouve A pour quotient. En effet, pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier parce nombre un des facteurs du produit. On a donc :

Le produit de A par -g se représente par ^ •

436. Lorsqu'on s'est occupé des fractions généralisées (Ch. VI, § 4), on a donné des démonstrations de leurs propriétés qui reposaient uniquement sur ce que le numérateur (oq dividende) de la fraction était égal aa produit de la valeur de la fraction par son dénominateur (on diviseur) : ces démonstrations s'étendent donc d'elles-mêmes au cas où les termes de la fraction généralisée sont des nombres irrationnels. Ainsi on peut multiplier par

un même nombre les deux termes d'une fraction ^ dont le numérateur et

le dénominateur sont des nombres rationnels ou irrationnels, etc.. Les règles pour les opérations s'appliquent dans tous les cas.

437. Les propositions concernant les calculs approchés, tant pour la mnlliplication que pour la division, s'appliquent aussi, sans modification, lors même que les nombres auxquels on a affaire sont irrationnels.

Exemple», — Considérons le produit de \ 5 par \2; on observera

que si Ton prend les valeurs approchées 4,73 (par défaut) et 1,41 (par

défaut), les erreurs correspondantes sont moindres queT-rj^r et que t;^;

chacun des nombres V 2, V3 étant moindre que 2, l'erreur commise sur le

produit sera moindre que -jt^tt: ou w^tt^; on a d'ailleurs 1,73 X 1,41 =

2,4393 et ce nombre C5l approché avec une erreur moindre que Tan.neat. 26

0,02; on en conclut que 2,4 est la valeur approchée du produit à 0,1 près, par défaut.

438. Supposons qu'on ait la représentation décimale d'un nombre irrationnel A; il sera aisé d'en déduire les représentations décimales des nombres A X 10, A X 100, A X 1000, ... .

On a par exemple

le nombre V2 est compris enlre 1,4142135623 et 1,4142135624; donc \/2 X 1000 est compris entre 1414,2135623 et 1414,2135624; sa valeur approchée à TTTj- près, par défaut, est donc 1414,213562; c'est-à-dire que si Ton

considère le symbole

obtenu en avançant de trois rangs la virgule vers la droite dans le symbole qui représente v2, on en déduira en conservant les six premiers chiifres décimaux la valeur approchée de v'2 à -^ près, par défaut. U est clair que le raisonnement est général : il suffirait d'avoir pris un, deux,

trois, ... chiffres décimaux de plus dans la représentation décimale de v2

pour prouver que les valeurs approchées de v2 X 1000, ^^ TTjî» tts» 77>9» •••

près, s'obtiennent de la même façon. Donc :

Lorsqu'on a la représentation décimale d'un nombre irrationnel A, pour en déduire les représentations décimales des nombresAXiO, AX 100, A X 1000, ..., iisuffirad'avancer la virgule vers la droite de un, deux, trois... rangs.

Inversement il est clair que si l'on a la représentation décimale d'un nombre irrationnel, on obtiendra la représentation décimale du quotient obtenu en divisant ce nombre irrationnel par 10, 100, 1000, en reculant la virgule vers la gauche de un, deux, trois... rangs.

439. Racine n'*"«. — En désignant par n un nombre entier, plus grand que un, on appelle racine n'*"« (exacte) d'un nombre A et l'on représente par le

symbole vA un nombre qui, élevé à la puissance n, reproduit A. Ce nombre, s'il existe, est unique, car la puissance n'*'"« d'un nombre plus grand dépasserait A, puisque la valeur d'un produit augmente quand ses facteui^ augmentent : de même la puissance 7i'*"'« d'im nombre plus petit serai* moindre que A.

Disons, en passant, que dans le symbole VA, en supposant que ce sym bole ait un sens, n s'appelle l'indice de la racme : l'indice ne s'écrit

habituellement pas quand il est égal à 2 : on écrit y/x au lieu de Va. Si A est rationnel, sa racine «'*'"'= peut être rationnelle, on dit alors

que A est une puissance n'*""; si A est irrationnel, il est clair que sa racine j^ième Qç pçy^ ^|.j.g ^jjj nombre rationnel, puisque la puissance r>**"* de tout nombre rationnel est un nombre rationnel.

Si A est rationnel sans être une puissance n'*'"*^ exacte, on a défini plus haut la racine n**""* de A approchée par défaut ou par excès à « près, et

en particulier à — près; on a établi qu'il existait des nombres rationnels dont la n'*""* puissance, plus petite ou plus grande que A, difTérait de A d'une quantité moindre que tel nombre rationnel • que Ton veut fixer à l'avance.

440. Il suit de là que, entre deux nombres rationnels quelconques a, 6, il y a des nombres rationnels qui sont des puissances n'*"»«* exactes : il suffit pour obtenir de tels nombres de choisir un nombre rationnel quelconque (; intermédiaire à a et 6 et de chercher ensuite un nombre rationnel dont la j|ièmç puissance diffère de c d'une quantité moindre que la plus petite des quantités c-*-rt, b — c. Par conséquent aussi, étant doimé un nombre irrationnel quelconque A, on peut trouver des nombres rationnels dont les puissances n**""** soient inférieures ou supérieures à A et qui diffèrent aussi peu qu'on le voudra de A. Si l'on veut, par xemple, trouver un nombre dont lu puissance n'*"« soit inférieure à A et diffère de A d'une quantité moindre qu'un nombre • donné h l'avance, H suffira de choisir deux nombres rationnels a, a^y inférieurs à A, tels que la différence entre A et le plus petit soit moindre que •, puis de déterminer un nombre rationnel dont la puissance n**™« soit comprise entre a et aj.

441. Ceci posé, soit A un nombre irrationnel ou un nombre rationnel qui ne soit pas une puissance n**™« exacte. Rangeons dans une première catégorie tous les nombres rationnels dont la puissance n'*™* est moindre que A, dans une deuxième catégorie tous les nombres rationnels dont la puissance ;iiènic est plus grande que A. Chaque nombre rationnel appartiendra à l'une ou à l'autre des catégories ; les nombres de la première catégorie sont tous plus petits que les nombres de la deuxième catégorie. Enfin, dans la première catégorie il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres : soit en effet b un nombre de cette catégorie, il existe certainement un nombre rationnel 6| dont la puissance n'*""* est inférieure à A et tel que Ton ait A — 6" < A — 6** ; or cette inégalité implique 6" > 6" et par suite 6, > 6. On démontre de même que dans la seconde catégorie il n'existe pas de nombre inférieur à tous les autres.

Le mode de séparation des nombres rationnels en deux catégories déliuii donc un nombre irrationnel B et il est aisé de voir que Ton a

En effet, si nous considérons n nombres pris dans la première catégorie, leur produit sera certainement inférieur à la n**'"^' puissance du plus grand d'entre eux, et par suite à A ; on voit de même que le produit de n

401 I-EÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

nombres pris dans la seconde catégorie est supériear à A. A étant sapérieur au produit de fi nombres rationnels quelconques plus petits que B, inférieur au produit de n nombres rationnels quelconques plus grands que B,eHl égal au prodoit de n facteurs égaux à B; il est donc égal à B**, et Ton peut aussi bien écrire