Les restes (mod. b) des termes de la suite

se reproduisent périodiquement ; il en sera de même évidemment des restes des termes de la suite

...,— 3a + a', — 2a + a', —a -fa', a', a + a', 2a + a', ...,

obtenus en ajoutant à chaque terme de la première suite le nombre entier a' ; il est clair, en effet, que si deux nombres de Tune des suites soiiL congrus suivant le module 6, il en est de même des termes correspondants de Tautre suile.

Si donc on désigne, comme précédemment, par h le plus pelit nombre entier positif tel que son produit par a soit divisible par 6, la période des restes, pour la seconde suite, se composera de h termes comme pour La première : toutefois, ici, on ne peut pas affirmer que Tun de ces restes soit nul.

En désignant par x, y deux nombres entiers quelconques, les deux nombres ax -r a', ay + a' seront congrus ou non (mod. 6), selon que x et y seront congrus ou non (mod. h).

Eu particulier, si a et 6 sont premiers entre eux, la période des restes aura b termes, tous distincts : elle ne pourra être formée, ici encore, que des nombres 0, 1, 2, ..., b — i. Les deux nombres ax + a', ay + a' seront congrus ou incongrus suivant le module 6, selon que les nombres X, y seront congrus ou non suivant ce même module.

505. On appelle système complet de nombres incongrus suivant le module b un système quelconque de b nombres dont deux quelconques sont incongrus suivant le module 6 ; tel est, par exemple, le système de nombres 0, 1, 2, ..., 6 — 1 ; d'ailleurs, comme un nombre quelconque est congru à l'un de ces nombres 0, 1, 2, ..., b — i, il est clair qu'il ne peut pas y avoir plus de b nombres incongrus deux à deux suivant le module b. Un système de 6 nombres entiers consécutifs est un système complet de nombres incongrus (mod. i),

La définition qu'on vient de donner, jointe aux remarques qui la précèdent immédiatement, conduit à la proposition que voici :

En supposant que a, a^ 6 soient des nombres entiers et que a, b soient premiers entre eux, les 6 nombres que Ton obtient en remplaçant, dans l'expression ax + a', x par les éléments d'un système complet de nombres incongrus (mod. 6) forment eux-mêmes un système complet de nombres incongrus (mod. b). Parmi ces éléments, un seul est nul. Ainsi :

En désignant par a, 6 des nombres entiers premiers entre eux et par a' un nombre entier quelconque, il y a des valeurs entières qui, attribuées à Xy donnent pour oa? + a' un résultat congru à zéro (mod. 6). Toutes ces valeurs sont congrues entre elles (mod. b); en d'autres termes, si a?o est l'une d'elles, on les obtiendra toutes en donnant à x les- valeurs comprises dans la formule Xq -f m6, m étant un nombre entier quelconque.

§ 2. -— Congrrnences à une inconnue.

506. Une congraence peul être Tanalogue d'une équation, en ce sens qu'elle n'est vérifiée que par certaines valeurs attribuées à une ou plusieurs lellres, qu*on regarde comme des inconnues. On n'a pas donné à ces congruences de nom spécial. Bornons-nous aux congruences à une seule inconnue.

Une telle congruence sera, en général, delà forme

AoOî" -+- AjO?"-* + ... + A,^,x + A„ = 0 (mod. 6),

A^, A|, ..., An étant des nombres entiers donnés, ainsi que le module 6. Une racine ou solution de cette congruenoe sera une valeur entière Xq attribuée à X telle que le nombre A(^; + AiarJ"* + ...4-A„«jXo + A„ soit divisible par b. Il résulte évidemment du n"500 que si Xq est une racine de cette congruence, tous les nombres congrus kx^ (mod. 6) seront aussi des racines de cette même congruence ; ces racines ne sont pas regardées comme distinctes. Deux racines distinctes de la congruence doivent être incongrues (mod. 6). On trouvera toutes les racines distinctes en prenant un système de nombres incongrus (mod. b), par exemple 0, 1, 2, ..., b — 1, et en cherchant ceux de ces nombres qui vérifient la congruence.

507. Deux congruences sont équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes racines. Il est clair que si, dans la congruence précédente, on remplace les coefficients A^, A,, ..., A„ par des nombres qui leur soient respectivement congrus (mod. 6), on obtiendra une congruence équivalente. En particulier on pourra remplacer les nombres A©, A|, ..., A„ par leurs restes respectifs (mod. b). On pourra les ramener à être tous positifs et moindres que la valeur absolue de 6; on reconnaît aussi bien qu'on peut les ramener à être,

en valeur absolue, au plus égaux à - : en effet, si b est impair, les 6 nombres consécutifs

forment un système complet de nombres incongrus (mod. 6); chacun des nombres Ao, A,, ..., A„ se trouve donc être congru (mod. b) à l'un d'entre eux, qui n'est autre chose que son reste minimum (mod. 6). Si 6 est pair, la suite des 6 nombres successifs

formera encore ua système complet de nombres incongrus. On voit aussi qu'on peut supprimer tous les termes de la congruence

CONGRUENCES A UNE INœNNUE. 461

dont les coefficients sont divisibles par 6. Le degré de la congruence est le degré da terme le plus élevé dont le coefficient ne soit pas divisible par 6. On voit encore qu'on déduit d'une congruence une congruence équivalente en multipliant les deux membres par un même nombre premier au module. En d*aulres termes, si Ton désigne par « un entier premier à b, la congruence

«A^o:" + «Ajo:"-* + ... + «A^.^aî + «A« h= 0 (mod. 6)

sera équivalente à la proposée. En efTet, il est clair que toute racine de la proposée satisfera à celle qu*on vient d'écrire; réciproquement, toute racine de cette dernière vérifiera la première, car si x^ est une telle racine, le nombre «(A^rJ-l- AjxJ"* -f ... + A^,aro + A„) devra être divisible par 6, et comme b est premier à «, 6 devra diviser le nombre A(^ + Aiopj"* + ••• + K-i^o + ^n'f ®" d'autres termes, on aura

AoarJ + Aja?;-* + ... + K^^x^ + A,» ^ 0 (mod. b),

ce qu'il fallait démontrer. De même, si tous les coefficients Aq, ..., A,, sont divisibles par un même nombre «, premier à 6, on pourra supprimer partout le facteur «, et la nouvelle congruence ainsi obtenue sera équivalente à la précédente. Cette réciproque est, en effet, impliquée par le théorème direct. En particulier, on pourra changer les signes de tous les termes d'une congruence.

508. Nous avons, dans ce qui précède, tout ce qui est nécessaire pour traiter des congruences du premier degré à une inconnue.

Une pareille congruence est de la forme

ax +a' ^ 0 (mod. 5),

a, 6, a' étant des nombres entiers donnés. Supposons d'abord que a et 6 soient premiers entre eux. Nous savons qu'une pareille congruence admet une racine et une seule. On la trouvera en mettant successivement à la place de x les éléments d'un système complet de nombres incongrus suivant le module 6 : il y en aura certainement un et un seul qui vérifiera la congruence; on s'arrêtera dès qu'on l'aura trouvé. Ces essais se font 1res rapidement si le nombre b n'est pas très grand; on ramènera a à être au

plus égal à -, et on essaiera 6 nombres consécutifs; après en avoir essay»*

un, on ajoutera a au résultat de la substitution, ce qui reviendra à essayer le suivant; on ramènera d'ailleurs toujours, en reiranchant, s'il y a lieu, des multiples de 6, les résultats de la substitution à être positifs et plus

petits que 6, ou, si l'on préfère, à être au plus égaux à ^, en valeur absolue. Soit, par exemple, à résoudre la congruence

21 jr } o- 0 (mod. 29);

elle équivaut à la congnience

— 8x+5=0 {mod.29),

puisque 21 est congru à — 8 (mod. 29) ; elle équivaut encore à la congruence

8x — 5 ^ 0 (mod. 29).

On remplacera successivement dans le premier membre x par 0, 1, 2, ..., 28 : en appliquant la règle précédente, c'est-à-dire en ajoutant 8 après chaque essai et en réduisant les résultats, s'il y a lieu, on trouve successivement les nombres

Le dernier nombre provient de la substitution de 26 = — 3 (mod. 29). Par conséquent — 3 est une solution de la congruence proposée: toutes les racines s'obtiendront en ajoutant à — 3 un multiple de 29.

509. On remarquera que la recherche d'une racine x de la congruence proposée

2laî + 5 ^ 0 (mod. 29)

équivaut à la recherche d'un système de nombres entiers x, y qui vérifient lequation

a chaque racine de la congruence correspond une solution Xoi Vo de l'équation ; inversement, si a^o, Vo est une solution de l'équation, Xq est une racine de la congruence.

Les diverses racines de la congruence sont données par la formule — 3 -h 29m, m étant un nombre entier quelconque; à chacune de ces racines correspond une valeur de y déterminée par l'équation

21(— 3 + 29m) +5 = 29y ou

— 58+21 X 29m = 29j/, doù

y= — 2 + 21m; toutes les solutions de l'équation

21a; - 29y + 5 = 0, en nombres entiers, sont donc données par les formules 3?=:— 3 + 29m, y = — 2 + 21m.

On voit de suite que les solutions en nombres entiers de Téqualion

qui se déduit de la précédente en changeant y en — y, sont de même données par les formules

où m est un entier quelconque.

Ces résultats se généralisent immédiatement, et Ton arrive aux conclu sions suivantes.

Soit

ax f by I ç = 0

une équation du premier degré à deux inconnues et dans laquelle les coefficients a, 6, c sont des nombres entiers : si les coefficients a, 6 sonl premiers entre eux, on peut satisfaire à cette équation en donnant h x, y des valeurs entières : si a?o, y^ est une solution en nombres entiers, toutes les solutions seront données par les formules

-y — t'o -h- mb, y = î/o — ma,

où m est un entier quelconque.

En supposant toujours a et 6 premiers entre eux, la résolution d^ la congruence

flw? = 1 (mod. 6)

offre un intérêt particulier : si on en connaît une racine x = Aq» ^" 6" déduira immédiatement une racine de la congruence

(Mr + a' = 0 (mod. 6),

quel que soit le nombre entier a' ; en effet a^ est cerlaineraenl premier à b : car, si ces deux nombres avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait oaq — 1, qui est un multiple de b; il devrait donc diviser I, il ne peut être que un. Par conséquent (n® 507) la congruence précédente esl ér|uivalente à la congruence

aa^x + a'ùQ = 0 (mod. b) ou à la congruence

X + a'GQ ^ 0 (mod. 6),

puisque a^a est congru à 1 (mod. 6); or cette dernière congruence se résout immédiatement et Uon en tire

x^ — fl'^o (mod. 6).