Revenons au cas oùp est premier. Puisque l'on a
i.2.3...(p — i)=--l (mod. p),
on voit que dans le cas 1* du numéro précédent, où la congruence j:* ^ D (mod. p) est impossible, on a
D 2 ^ — 1 (mod. p),
et que, dans le cas 2*, où la congruence «« ^ D (mod. p) admet une racine, on a
D 2 ^1 (mod. p);
l'un des deux nombres D * +1, D * — 1 étant ainsi divisible par p, leur produit
est certainement divisible par p ; donc, pourvu que D ne soit pas divisible parp, on a
!)/>-! 1 r-0 (mod. p).
472 LKÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
C'est le théorème de Fermai : il est démontré à nouveau, en supposant p > 2 ; il subsiste évidemment pour p = 2.
518. Prenons D = — 1, le nombre (— 1) * est égal à + i ou à— 1,
suivant que ^-^ — est pair ou impair, ou, comme Ton dit, suivant que p
est de la forme de 4n + 1 ou de Ja forme de 4n + 3. Dans le premier cas, la congruence
x« 4- 1 -- 0 (mod. p)
est possible ; dans le second cas, elle est impossible.
En d'autre* termes, si p est un nombre premier de la forme 4n -f 1, il y a un nombre entier x tel que ar* + 1 soit divisible par p; si au contraire p est de la forme 4n + 3, a?* + i n'est jamais divisible par p quel que soit le nombre entier x. C'est là une proposition qui se rattache à un beau théorème d'Arithmétique que je me contente d'énoncer:
La condition nécessaire et sufHsante pour qu'un nombre premier impair soit la somme de deux carrés est que ce nombre soit de la forme 4n + 1.
519. Nous avons rencontré, chemin faisant, une règle pour reconnaître s'il était, ou non, possible de satisfaire à la con^çruence
x^ - D (mod. p),
où p est un nombre premier impair.
Les nombres D, non divisibles par p, pour lesquels celte congruence est possible, ou, si l'on veut, les nombres D qui sont congrus (mod. p) au reste du carré d'un nombre entier, suivant le même module, s'appellent testes quadratiques de p. Les nombres D pour lesquels cette congruence est impossible s'appellent non-restes quadratiques de p, ou, plus brièvement, nonrestes.
Pour reconnaître, lorsque Ton se donne le nombre D non divisible par p, si la congruence est possible, on pourra, au lieu d'appliquer la règle précédente, former les carrés des nombres i, 2, ..., p— i et chercher ceux qui sont congrus à D (mod. p) ; il est inutile d'aller plus loin (n- 501), à cause de la périodicité des restes (mod. p) des termes de la suite que l'on obtient en remplaçant, dans a-^, x par la suite des nombres entiers. Il suffira
ni^'me de former la suite des carrés des nombres 1,2, ..., ^ ~~ , car les
carrés de deux nombres a et p — a étant congrus (mod. p), la suite des
carrés des nombres suivants ^^~— + i, — "^ + 2, ..., p — i reproduirait
les restes précédemment obtenus en ordre inverse. Quant aux carrés des nombres 1,2,..., — - — , ils sont certainement incongrus, puisque, comme on l'a vu au n'Sie, les carrés de deux nombres pris dans la suite 1, 2, ...,p — l
RESTES QUADRATIQUES. 473
ne peuvent être congrus (mod. p) que si leur somme est égale à p. Ainsi, les restes (mod. p) des nombres
restes qui sont tous distincts, seront les seuls termes de Ja suite 1, 2, ..., o — 1 qui soient restes quadratiques dep; les autres seront non-restes. 11 y
a donc, parmi ces nombres, ^-r — restes quadratiques et ^T" non-restes.
Par exemple, si p = i7, les restes quadratiques sont congrus (mod. 17) à i, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 ; les non-restes sont congrus à 3, 5, 6, 7, IQ, 11, 12, 14.
520. Ce que l'on vient de dire des nombres 1, 2, ..., p — 1 s'applique manifestement à un système complet de nombres incongrus suivant le module p, d'où Ton aurait exclu le nombre divisible par p; dans un
tel système, il y a ^-—r — restes quadratiques, ^—- — non-restes. Soient « 2
a,, fls, ..., «^i les restes quadratiques pris dans un tel système, et 6i, 6„ ..., hp-i les non-restes.
Le produit de deux restes quadratiques ou de deux non-restes est un reste quadratique; le produit d'un reste quadratique par un non-reste est un non-reste.
Soit en effet a un nombre entier non divisible par p ; la suite des nombres obtenus en remplaçant x dans ax par les éléments d'un système de p — 1 nombres incongrus entre eux et à zéro (mod. p), forme un pareil système, car (n" 505) si l'on substituait à la place de x tous les éléments d'un système complet de nombres incongrus (mod. p), y compris le nombre divisible par p, on reproduirait un pareil système et il est clair que c'est l'élément divisible par p du premier système qui engendrerait l'élément divisible, parp du second système. Par conséquent, parmi les nombres
il y a ^ "7 restes quadratiques et ^-^ — non restes. 2 ^
Or, la première partie du théorème est évidente : si a, p sont des restes
quadratiques, il y a des nombres entiers a?, y tels que Ton ait
x^ — 7L, y^ ^ P (mod. p) :
on aura donc
(xyY ~ «^ (mod. p)
et «P est bien un reste quadratique.
474 LEÇONS D'ARfTHMÉTfQUB.
Si donc a est un reste quadratique,
aa^y (Mj, ... f adp^i "i"
sont aussi des restes quadratiques, et par suite les ^-r — nombres restants
sont des non-restes : donc le produit d'un reste quadratique par un nonreste est un non-reste.
Si maintenant a est un non-reste, les nombres
(l(I|, (U?2, ... , (KZp — 1
ir
sont des non-restes, on vient de le démontrer; donc les nombres ab^y ab^y •.. , (ibp — i
sont des restes quadratiques; en d'autres termes, le produit d'un non-reste par un non-reste est un reste quadrati()ue.
Ces propositions, que l'on vient d'établir directement, résulteraient sans aucune difficulté du caractère (n* 5n] auquel on reconnaît qu'un nombre D est reste quadratique ou non-reste.
Si, par exemple, a, 6 sont non-restes, on a
a * -^ — I, 6 * = — 1 (mod. p),
ot par suite
a * 6 * = (ab) ^ e^ ( 1) (- <) ^ i (mod. ?>),
donc ab est un reste quadratique de p. Je ne nie suis occupé de Ja recherche des solutions de la congruencc
a?» = D (mod. p)
que dans le cas où le module est un nombre premier impair. C'est que, en effet, les autres cas se ramènent à celui-là, comme il résultera Tacitement (le théorèmes généraux dont je renvoie l'énoncé et la démonstration au § 7.
§ 5. — Loi de réciprocité.
521. Étant donné un nombre premier impair, p, il n'y a, comme on vient i\v le voir, aucune difficulté à déterminer les nombres D qui sont restes quadratiques de p; le problème inverse, «< étant donné un nombre D, reconnaUre quels sont les nombres premiers impairs dont D est reste quadratique, ou ceux
pour lesquels D est non-reste », est beaucoup plus âi/Rcile: sa solution repose sur un des théorèmes les plus beaux et les plus importants de TArithmétique, théorème connu sous le nom de loi de réciprocité^ il a été découvert par Euler et par Legendre. Il n'a été entièrement démontré que par Gauss, qui n*en a pas donné moins de six démonstrations distinctes. Ce théorème a depuis élé Tobjet de beaucoup d*autres travaux.
Avant d*y arriver, je donnerai d'abord une transformation du caractère qui permet de reconnaître si D est, ou non, reste quadratique de p (n* 517)- Cette transformation est due à Gauss.
522. Désignons toujours parp un nombre premier impair positif et par R
un nombre entier non divisible par p; considérons Jes ^ ■■ nombres incongrus (mod. p)
qui sont tous premiers à p; représentons Tun quelconque de ces nombi-es par aD et considérons leure restes minima (mod. p); aucun n'est nul. Désignons par «1* 04, ..., *x ceux de ces restes minima qui sont positifs, par
— p„ — p„ „., — pji ceux qui sont négatifs. On auraX + I* = ^ •
Puisque tous les nombres D, 2 D, ..., — :p-D sont mcongrus (mod. p),
tous les nombres ««, oc,, ..., «x, d'une part, pt, pt, ..., p^^, de Tautre, sont distincts. Deux nombres pris, l'un dans la première suite, l'autre dans la seconde, ne peuvent non plus être égaux; pour qu'il en fût ainsi, en effet, il
faudrait que la somme de deux des nombres D, 2D, ..., ^-^ — D fût divisible par le nombre premier p; or une pareille somme s'obtient en multipliant D, qui n'est pas divisible parp, par un nombre moindre que p. Les nombres «,, ck.^, ..., «x, p,, Pj, Pji pris dans leur ensemble ne sont donc autre
chose que les nombres 1, 2, ..., ^-^ — , puisque chacun d'eux doit être égal
tu
à quelqu'un de ces nombres, qu'ils sont tous distincts et qu'ils sont au
nombre de 5-ZI. Or les nombres D, 2D, ..., ^-^D étant respective-
ment congrus (mod. p) aux nombres «j, <Xj, ..., «>, — pj, — p^, ..., — p:* pris dans un ordre convenable, on a
1.2.3...D ^ ^ ( — l)'*«i««...«xPiPt...P,. (mod.p); on a d'ailleurs
i.2...?^ = «,«j...axPip2...P,.
476 LKÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
et, puisque p est premier avec l'un ou l'autre de ces produits, il résulte de la congruence précédente que Ton a
D * £(— if (mod. p).
Ainsi D sera reste quadratique de p, ou non-reste, suivant quo \k sera pair ou impair. Telle est la transformation annoncée, dont on verra lûentôl toute fimportance.
523. Elle invite, en tous cas, à faire une étude approfondie de la parité des nombres tels que \k. Cette étude sera facilitée par les notations suivantes.
En désignant par p un nombre positif impair (qui n*est pas nécessairement premier) et par D un nombre entier quelconque premier à p, je désignerai par le symbole
l'unité affectée du signe + ou du signe — suivant que le nombre de restes minima négatifs (mod. p) fournis par les termes de la suite
est pair ou impair.
Je viens de démontrer que, lorsque p est un nombre premier, le
symbole ( - j est positif ou négatif suivant que D est, ou non, reste quadratique dep et que, ainsi. Ton avait alors
(|.)-=.dV (mod.p);
dans ce cas, (-) est ce qu'on appelle le symbole de Legendre; dans le cas
où p n'est pas premier, ( — ], défini comme on vient de le faire, est le
symbole de Legendre généralist^{^). Observons que le signe de ce symbole, qui seul importe, est le signe du produit d^ tous les restes minima (mod. p) des
termes de la suite D, 2D, 3D, ..., ^—^ — D. Je vais en établir (]uelqiios
autres propriétés.
f Si Ton a
D' =- D (mod. pi,
on a
cette proposition est évidente sur la définition.
I. La généralisation du symbole de Legendre, sous une forme équivalente, est due à Jacobi ; la forme pn^cédente a été indiquée par MM. Schoring et Kronecker.
2* Ou a
En effet, eu supposant D = — 1, la suite des termes dont il faut prendre les restes minima (mod. p) se réduit à
i 2 ~3 -PZli-
ces nombres sont les restes minima eux-mêmes ; or, ils sont tous négatif/
et au nombre de — - — Cette proposition, dans le cas où p est premier,
ne nous apprend rien de nouveau.
3* On a
Soit en effet r le reste minimum de p (mod. 8); si Ton pose |> = 8ii H- r, r sera Tun des nombres d= 1, di 3. La suite des termes dont il faut prendre les restes minima est ici
2, 4, 6, ..., 4n, in + 2, ..., 8n + r — 1 ;
elle se compose de termes pairs, tous inférieurs à p; les termes qui fourniront des restes minima négatifs (mod. p) sont donc les termes plus
grands que ^ = 4n + -» c'est-à-dire, si r est positif, tous les termes qui
suivent 4n, et, si rest négatif, tous les termes à partir de4n ; puisqu'il y a, en
(out, 5-^ — = ^ termes et que les tennes 2, 4, 6, ..., 4n sont au
nombre de 2/j, il y a, dans le premier cas, 2n H — termes qui four-
nissent des restes minima négatifs; et dans le second cas, il y en a 2n -I — : il y aura donc un nombre pair de termes négatifs si Ton a
r = dt 1, un nombre impair si Ton a r = =b 3 ; dans le premier cas (- ) sera + i, dans le second cas — 1 : or on a évidemment
p2 i^ r« (mod. 16),
d'où (n"5l2)
î^-g-^- —^ (mod. 2);
si r est égal à ifc 1, ^— ^ — est donc pair; si r est égal à db 3, ^— ^ —
est impair; on a donc bien, comme on l'avait annoncé
478 LEÇONS D*ARITHIIÉT1QU£.
Lorsque p est un nombre premier, cette égalité nous apprend que 2 est reste quadratique de tous les nombres premiers congrus à :t. i (mod. 8], et non-reste de tous les nombres premiers congrus k±: Z (mod. 8).
4* Si D, D' sont des entiers quelconques premiers au nombre impair p, 011 a
Nous aurons besoin ici de cette remarque d'ailleurs évidente : les restes roinima (mod. p) de deux nombres égaux et de signes contraires sont euxmêmes égaux et de signes contraires.
Ceci posé, désignons toujours par «„ «,, ..., «x, — Pi, — Pi, ...* — P^ les restes minima, pris dans leur ensemble, des nombres D, 2D, 3D, ...,
?—T — D; les nombres positifs a,, o^, ..., o^, P|, Pt, ..., Py pris dans leur ensemble, ne sont autre chose que les nombres 1, 2, ..., ^-— — , et Ton a
D ailleurs les signes des trois symboles (-j, ( — ), ( j sont les
m^*mes que ceux des trois produits P, P', P" formés avec les restes minima que fournissent respectivement les nombres aD, aD', àDD' quand on y
remplace a par 1, 2, ..., ^-^ — ; pour évaluer le dernier produit P" on
peut commencer par remplacer, dans aDD', aD par son reste minimum (mod. p); P" est donc égal au produit des restes minima des termes de la suite
ou, d'après la remarque du début, au produit des restes minima des termes de la suite
«,D , 040', ..., «,D^ p,D , p,iy, ..., p^ïV multiplié par(— 1)='; mais comme les nombres «„ «„ ..., «x, P,, pj, ..., p^
les restes minima de la précédente suite ne sont autres que les restes minima de la suite.
D' *>D' £rz în'-
?'=::(— ifV
ne sont autres dans leur ensemble que les nombres 1, 2, ...,
et par suite, en écrivant que les deux membres de cette égalité ont le m<^ine signe,
Kn particulier, on a, à cause de 2*,
h" p, 7 éunt des nombres positifs impairs, premiers entre eux, on n
c'est dans cette égalité, lorsque p et ç sont premiers, que consiste la loi de réciprocité d'Ëulet* et de Legendre.
La valeur du symbole l-j dépend du nombre de restes miniroa (mod. p)
négatifs fournis par la suite
Soit o Tun quelconque des nombres i, 2, ...| ^-ô — • ^^ reste minimum
(mod. p) fourni par le terme aq est négatif ou positif, suivant qu'il existe, ou non, un nombre entier p tel que Ton ait
ce nombre entier, s'il existe, est évidemment unique. Cette double inégalité peut être remplacée par l'inégalité unique
qui est une conséquence des premières et qui les entraîne (*).
Cette dernière inégalité peut elle-même être remplacée par la suivante, obtenue en divisant chaque facteur par q,
Rappelons encore une fois que, si Ton regarde a, p, q comme donnés, il
1. Cest là un résultat bieo connu du lecteur, s'il est familier avec la discussion du trinôme du second degré.
ne peut y avoir qu'une seule valeur entière attribuée au nombre b qui rende négatif le produit
c'est la valeur entière p approchée de — à moins de ^ si celte valeur est
approchée par excès. On observera qu'elle est au plus égale à ^— — ; eti effet, la différence entre le nombre entier 5L immédiatement supérieur à ^ "7" et le plus grand des nombres fractionnaires —, savoir ^-^-— — — i
celte différence est plus grande que -» par conséquent la valeur entière pprochée de -, avec une erreur moindre q«e-, ne peut atteindre ^-^.
Si donc dans l'expression
\P qJXP 27 qj
on donne à b les valeurs 1, 2, ..., ^— ^ — > tous les résultats seront
positifs, sauf peut-être un; et il y en aura certainement un de négatif si le reste minimum (mod. p) deagest négatif: le signe de ce reste minimum sera donc le même que le signe du produit de tous les résultats
obtenus en remplaçant 6 par 1, 2, ..., ^~ — ; remarquons que le second
fadeur du produit précédent peut s'écrire
et observons que, quand on donne à b les valeurs 1, 2, ..., ^ , l'exprès-
sion i-^ b prend les mêmes valeurs en ordre inverse : il en résulte
que l'ensemble des valeurs que prend le facteur — \- w~ » quaud ou
donne à 6 les valeurs i, 2, ..., ^— ^ — y est le même que l'ensemble des
valeurs que prend l'expression - | quand on donne à 6 les mêmes
valeurs 1,2, ..., ^— ^ — ; on peut donc dire que le signe du reste minimum
(mod. p) de aq est le môme que le signe du produit P^ de tous les nombres obtenus en remplaçant successivement b par les valeurs 1, 2. .. ^ ^
dans Texpression
qui offre cette propriété remarquable de changer simplement de signe, sans changer de valeur absolue, quand on échange entre elles, d*un« part les lettres j), g, de l'autre les lettres a, 6 : ce double échange, en effet, laisse le second facteur invariable et change le signe du premier.
Le signe def ^ jest le signe du produit de tous les restes miuiraa (mod.p) des termes de la suite g, 2g, ..., ^ g; ce sera donc le signe du produit de tous les nombres P^.P,, ..., P^^^obtenus en prenant a égal à 1, 2, ..., ^^ ;
t ce sera finalement le signe du produit de tous les facteurs obtenus en remplaçant dans Texpression
Vp gJVP + g 2)
a par I, 2, ...,?-^— et 6 par i, 2, ..., ^-j- ; de môme, le signe de (^^ sera le signe du produit obtenu en remplaçant dans Tezpression
a' par i, 2, ..., ^ ^ , b' par 1, 2, ..., ^ ^ . Ces derniers facteurs, en
vertu d*une observation qui vient d'être faite, sont en valeur absolue les mêmes que les précédents, leurs signes sont opposés; comme il y a
^ - ^ -- facteurs, on voit que le second produit est égal au premier multiplié par (— 1) * ^ ; on a donc bien
p-iq-i
ou, ce qui revient au môme (*),
p-iq-i
. Cotte démonstration est duo à Kronocker.
Tanner Y. 31
ation de cette formule, on remarq ne sont impairs tous les deux que si les deux nombres p
Dans Tapplication de cette formule, on remarquera que les nombres -4 g-1
et q sont congrus à — 1 (mod. 4); sauf dans ce cas, on a
il) - it)-'
dans le cas où Ton aurait p ^ g ^— 1 (mod. 4), on aurait
On montrera tout à Tbeure comment les cinq propriétés établies
plus haut pour le symbole ( - j suffisent pour résoudre la question posée
M trouver les nombres premiers impairs p pour lesquels D est, ou non, un reste quadratique ». Débarrassons-nous auparavant d'une dernière propriété de ce symbole.
6" Si p, p' sont deux nombres impairs positifs et D un nombre entier quelconque premier à p et à p', on a
Supposons d'abord D impair et positif.
On a (3')
d'où, en appliquant la propriété (4°),
et, en appliquant encore la loi de réciprocité (5°),
D^- 1 yp' — 1 p^p' ^2 D~l
Les trois nombres D — 1 , p + 1 , p' + l étant pairs, leur produit est divisible par 8, les exposants de — \ sont pairs, et l'on a bien
W/ ' \iV\P7
Si, D, p, p' étant impairs, D était négatif, on aurait
\W)^\P~)\F~)' Or les deux membres de cette égalité sont respectivement égaux à
.et Ton a
PP'-^ p-\-p' - 2
2 2 (tnod. 2).
car cette congruence, en faisant tout passer dans le premier membre, devient
SOUS cette forme, elle est évidente. On a donc bien encore
\pp7\p)\pr
il reste enfin à examiner le cas où D est pair; soit, en désignant par 1/ un nombre impair,
ou aura, en utilisant les propriétés 3" et 4%
de même
et Ton voit de suite, puisque Ton a
que Tégalité à démontrer revient à prouver que l'on a
congruence qui équivaut à celle-ci :
^0 (mod.2):
or cette dernière est évidente puisque (p* — i)(p'' — 4) est divisible par 64. 524. Les propositions qui précèdent permettent de calculer rapidement la
valeur d'un symbole ( - j quand on se donne numériquement D et p; on
I rappelle que ces nombres sont premiers entre eux, que p est impair et ! positif. D'abord, si l'un de ces nombres contient en facteur un carré parfait,
on pourra supprimer ce facteur. Si Ton a, par exemple, en désignant parÂ
et B des nombres entiers, D = A*B, on aura
à cause de la propriété 4"; mais le produit (—)(—) est positif; on a donc
La même démonstration s'applique au cas où p admettrait un facteur carré parfait : on pourra donc remplacer D par le produit des facteurs premiers qui entrent dans D avec des exposants impairs, chacun de ces facteurs étant affecté de l'exposant un. De même pour p. L'usage des propriétés 4* et 2*
permet de ramener le calcul de (-j au cas où D est impair et positif;
ensuite on pourra remplacer f - j par un produit de facteurs symboliques
analogues avec des numérateurs et des dénominateurs symboliques premiers, positifs, impairs. En sorte qu'on pourrait se borner au cas où D et p sont de pareils nombres. Quoi qu'il en soit, on peut aussi, et cela dans tous les cas, remplacer D par son reste (mod. p). Si ce reste est pair, on pourra toujours en appliquant les propriétés 4' et 3" ramener le calcul du
symbole (-) au calcul d'un autre symbole (—1 dans lequel D' est impair et moindre que p ; en appliquant ensuite la loi de réciprocité, on ramènera le calcul de (—j à celui de (^j.On remplacera de mêmep par son reste (mod. D'), etc., on ramènera finalement le calcul à celui d'un symbole tel que ( -J, qui est égal à 1. D'ailleurs il est clair que le calcul peut se faire de différentes façons.
Soil, par exemple, à calculer la valeur <ïe("ôÔ7")'
LOI DE RÉaPROClTÉ. 4P5
On a
V 887/ " ^887/ ^ \HSy "" ^887^ '
mais 997 est égal ù 887 + 110; on a donc
le dernier facteur est égal à + I, puisque 87 est congru à — I (mod. 8); d'ailleurs, puisque 5 est de la forme 4n + i, on a
H et 87 sont de la forme 4n — 1 , on a donc
finalement, on a
525. Arrivons maintenant à la question posée au n*521 : le nombre D étant donné, trouver Jes nombres premiers p tels que D soit reste quadratique, ou non-reste, de p.
Cherchons, par exemple, les nombres premiers dont 3 est reste quadratique ; p étant un tel nombre on doit avoir
on a d'ailleurs, par la loi de récif)rocité,
la valeur du second membre dépend du reste de p (mod. 3) et de la parité de ^-^ — > c'est-à-dire du reste de p (mod. 4) : elle dépendra donc finalement du reste minimum de p (mod. 12), qui peut être -f 1, — i, -f 5, — 5. La valeur de ( ^ ) est +i dans le premier et le dernier cas, — 1 dans les
deux autres; en examinant ensuite, suivant les cas, la valeur de (—1) * ,
on reconnaît que les seuls nombres premiers dont 3 est reste quadratique sont de la forme 12n ili 1. 3 est non-reste des nombres premiers de la forme 12n ± 5.
526. La recherche des nombres premiers p, qui ne divisent pas le nombre donné D et pour lesquels la congnience
a?* — D s: 0 (mod. p)
est possible, s'est présentée de la façon suivante.
C'est un problème très ancien, problème qui ne pouvait manquer de se poser quand on a connu la propriété du carré de Thypoténuse d*un triangle rectangle, que de chercher à reconnaître lés nombres qui pouvaient être mis sous la forme de la somme de deux carrés, ou, ce qui est la même chose, des nombres que l'on pouvait obtenir en remplaçant dans Texpression a?* + y', a; et y par des nombres entiers. Une généralisation bien naturelle de cette question est de rechercher si un nombre donné peut être obtenu en remplaçant dans Texpression ax* -f bxy + cy*, où a, 6, c sont des nombres entiers donnés, x ei y par des nombres entiers, ou encore, comme Ton dit, de reconnaître les nombres qui peuvent être représentés par la forme ax^ + bxy + cj/*. C'est là un des problèmes les plus intéressants de l'Arithmétique supérieure. Un autre problème analogue est simplement de reconnaître quels sont les diviseurs d'une telle forme, c'està-dire les diviseurs des nombres obtenus en remplaçant x, y, dans ax* + bxy + cy^y par des nombres premiers entre eux. Un cas particulier de ce problème, auquel d'ailleurs se ramènent les autres, consiste à rechercher les diviseurs, et en particulier les diviseurs premiers, de la forme plus simple a;' — D?/*; il n'y a lieu que de chercher les diviseurs premiers qui ne divisent pas D, puisque ceux qui diviseraient D devraient diviser x et, ainsi, sont évidents. Il est clair que, si p est un nombre premier impair dont D soit reste quadratique, p est un diviseur de la forme «* — Dy', pour y = 1 et pour une valeur de x égale à une racine de la congruence
x* — D =: 0 (mod. p).
Réciproquement, si p est un diviseur premier impair de la forme a* — Dy*, il existe deux nombres entiers premiers entre eux a, 6 tels que l'on ait
«J 06» s^ 0 (mod. p).
Il est clair que p ne divise pas 6, car, autrement, 6 diviserait aussi a. Il existe donc un nombre entier 6' tel que l'on ait
66' -: 1 (mod.p);
en multipliant par 6'* les deux termes de Favant-dernière congruence et en remplaçant (66')^ par ^ > il vient
a* — D — 0 (mod. p) ;
donc D est reste quadratique de p. Donc les diviseurs premiers impairs de la forme x* — i)y* sont les nombres premiers impairs dont D est reste
